Тема 1. Процентные и дисконтные расчеты

Задача 1

Условие:

Капитал, величиной $2000 вложен с 6.07.93 по 6.07.96 под 100% годовых. Найти величину наращенного капитала.

Решение:

Предположим, что используется простой процент.

Тогда F = P * (1 + N * i),

где F – величина наращенного капитала.

F=2000*(1+3*1)=$8000.

Задача 2

Условие:

На сколько лет нужно вложить5000000 рублей при ставке 50% годовых, чтобы получить 80000000 рублей, при условии ежегодной капитализации процентов.

Решение:

Срок N вычислялся с использованием средств Microsoft Excel согласно следующей формуле:

КПЕР (j/m, 0,-P,F)/m, где

J – номинальная ставка

M – число начислений в году

Р – первоначальная сумма

F – конечная сумма

Значение функции КПЕР (0,5/1, 0,-5000000,80000000)/1=1,15

Задача 3

Условие:

16.09.96 учтен вексель сроком погашения 28.11.96. Вычислите номинальную стоимость векселя, если процентная ставка дисконтирования 100% годовых, а клиент получил 12000000.

Решение:

P=?

F=12000000

D=1

N=0.4

Расчет ведется в табличном процессоре по формуле многоразовой капитализации:

P=ПЗ (i/m, N*m, 0, -F)=ПЗ(1,0.4,0,-12000000)= 9 094 299,40р.

Задача 4

Условие:

Клиент вложил в банк 80 млн р на 6 лет. Определить сложную процентную ставку, если по истечении шести лет клиент получил 500 млн р.

Решение:

Р=80000000

N=6

F=500000000

I=?

Процентная ставка рассчитывалась в табличном редакторе по формуле

I=НОРМА (N,0,-P,F)=НОРМА(6,0,-80000000,500000000)=36%.

Задача 5

Условие:

Определите ставку непрерывных процентов при условии, что за 6 лет сумма выросла на 110%.

Решение:

J=?

N=6

F=1.1P

J=LN(F/P)/N*100%=LN(1.1P/P)/N*100%=LN(1.1)/6*100%=1.59%

Задача 6

Условие:

Найти эффективную ставку наращения соответствующую ставке непрерывной капитализации, равной 50% годовых.

Решение:

Сложный процент наращения рассмотрим в формуле:

F=P(1+i)^N, где

F – наращенная сумма

P – исходная сумма

I – процент

N – срок

Формула для непрерывной капитализации:

F=P*exp(j*N), где

J – ставка непрерывной капитализации и равна 0,5э

N примем за единицу, так как эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов с капитализацией процентов раз в год.

Таким образом, имеем две формулы:

F=P*exp(0.5) и F=P*(1+i),

откуда видно, что ставка наращения, соответствующая ставке капитализации может быть получена следующим образом: exp(0.5)=1+i или i=exp(0.5)-1=1.64-1=0.64

Таким образом I=64%

Задача 7

Условие:

Найти ставку наращения по сложным процентам, соответствующую эффективной ставке, равной 80 % годовых.

Решение:

Поскольку эффективная ставка – это и есть годовая ставка сложного процента с капитализацией раз в год, то ответом будет 80%.

Задача 8

Условие: Клиент вложил в банк 12000000 рублей на 3 года под 70 % годовых с капитализацией процентов 1 раз в полгода. За какой период он получил бы такую же сумму (при начальном вложении 12000000 рублей под 70 % годовых), если капитализация проводилась непрерывно?

Решение:

По формуле

F=P*(1+j/m)(N*m),

получим

F=12000000*(1+0.7/2)3*2= 72641341,69 рублей – наращенная сумма.

Для непрерывной капитализации срок рассчитывается по формуле

N=LN(F/P)/j=LN(72641341,69/12000000)/0.7=2,572325078 года.

Таким образом, при непрерывной капитализации, достаточно было бы двух с половиной лет.

Тема 2. Рентные расчеты

Задача 1

Условие:

Наращенная сумма ренты равна 500000, рента выплачивается ежегодно. Ставка 25% годовых, начисляемых в конце года. Найти современную величину ренты при условии, что рента выплачивается 7 лет.

Решение:

Рассматривается случай обычной ренты. Расчет ведется в табличном редакторе Microsoft Excel. Сначала рассчитывается выплата

Pmt=ППЛАТ(I;N;0;-S),

которая подставляется в формулу расчета современной величины ренты

А=ПЗ(I;N;-Pmt).

Итоговая таблица расчетов:

S	500000
I	0,25
N	7
Pmt	33 170,83р.
A	104 857,60р.

Задача 2

Условие: На счет фонда в начале каждого года на протяжении пяти лет поступают взносы по 1500 де. Начисление процентов поквартальное, номинальная ставка 25%. Определить накопленную сумму к концу срока.

Решение:

Имеем обычную ренту с многоразовой капитализацией.

Pmt=1500

M=4

J=0.25

N=5

S=?

Формула расчета в табличном процессоре:

БЗ(j/m; N* m;-Pmt)

S=------------------

БЗ(j/m; m; -1)

Итоговая таблица расчета:

j	0,25
N	5
Pmt	1 500
m	4
БЗ(j/m; N* m;-Pmt)	56 684,48р.
БЗ(j/m; m; -1)	4,39р.
S	12909,62686

Задача 3

Условие:

Имеется обязательство погасить в течении 10 лет долг, равный 8000 де. Под сколько процентов был выдан долг, если начисления производились поквартально и объем выплаты ежегодной суммы денег равняется 600 де.

Решение:

Для такого рода задач в табличном процессоре EXCEL имеется опция “ПОДБОР ПАРАМЕТРА” в меню “СЕРВИС”.

S=8000

N=10

M=4

Pmt=600

I=?

Используем формулу обычной ренты с многоразовой капитализацией.

БЗ(j/m; N* m;-Pmt)

S= ------------------

БЗ(j/m; m; -1)

i=	0,061037035

Задача 4

Условие:

Рассчитайте современную величину вечной ренты, член которой (10000 де) выплачивается в конце каждого месяца, процент равный 5% годовых начисляется 2 раза в год.

Решение:

J=0.05

M=2

Pmt=10000

P=12

Из условия задачи понятно, что процент начисляется на сумму 60000, которая была уплачена за полгода. Современная величина вечной ренты A=Pmt/I=60000/0.05= 1200000 де.

Задача 5

Условие: Пусть требуется выкупить (погасить единовременным платежом) вечную ренту, член которой (250000) выплачивается в конце каждого полугодия, процент, равный 25% годовых начисляется 4 раза в год. Рассчитайте современную величину вечной ренты.

Решение:

A=Pmt/i.

I=m*j=0.25*2. Это означает, что в полугодичный период процент составляет 50%. Таким образом, A=Pmt/I=250000/0.5=500000.

Задача 6

Условие:

Величина займа равна 200 млн. Амортизация проводится одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при ставке 45% годовых. Капитализация процентов производится ежегодно. Составьте план погашения займа.

Решение:

Составим план погашения задолженности.

D=200 млн

I=0.45

N=10

ПЛАН ПОГАШЕНИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ
Метод: погашение долга равными суммами
Параметры долга		Долг	200000000
		Процент	0,45
		Срок	10
	ГРАФИК ПОГАШЕНИЯ
Год	Остаток долга	Погашение долга	Проценты	Срочная уплата	Выплаченный долг	Выплаченные проценты
1	200000000	20000000	90000000	110000000	20000000	90000000
2	180000000	20000000	81000000	101000000	40000000	171000000
3	160000000	20000000	72000000	92000000	60000000	243000000
4	140000000	20000000	63000000	83000000	80000000	306000000
5	120000000	20000000	54000000	74000000	100000000	360000000
6	100000000	20000000	45000000	65000000	120000000	405000000
7	80000000	20000000	36000000	56000000	140000000	441000000
8	60000000	20000000	27000000	47000000	160000000	468000000
9	40000000	20000000	18000000	38000000	180000000	486000000
10	20000000	20000000	9000000	29000000	200000000	495000000

Задача 7

Условие:

Пусть годовая рента со сроком 5 лет и членом ренты 20000 де со ставкой 60% годовых заменяется квартальной рентой с теми же условиями. Найдите член ренты.

Решение:

Сначала посчитаем современную величину ренты.

N=5

I=0.6

Pmt=20000

Формула для табличного редактора:

А=ПЗ (i; N; -Pmt)=ПЗ(0,6;5;-20000)= 30 154,42

Теперь рассчитаем член квартальной ренты по формуле с многоразовой капитализацией

БЗ(j/m; m; -A)

Pmt=---------------

ПЗ(j/m; N* m; -1)

Расчет приведен в таблице:

N	5
j	0,6
m	4
A	30 154,42р.
БЗ(j/m; m; -A)	150 572,32р.
ПЗ(j/m; N* m; -1)	6,26р.
Pmt	24055,65552

Тема 3. Оценка инвестиций

Задача 1

Условие:

Проект требует инвестиций в размере 820000 тыс руб. На протяжении 15 лет будет ежегодно получаться доход 80000 тыс руб. Оценить целесообразность такой инвестиции при ставке дисконтирования 12%. Выбрать необходимую функцию табличного процессора и произвести расчет.

Решение:

Воспользуемся методом внутренней нормы доходности (IRR).

Построим таблицу, воспользуемся для расчетов функцией ВНДОХ.

Инвестиция	-820000
1	80000
2	80000
3	80000
4	80000
5	80000
6	80000
7	80000
8	80000
9	80000
10	80000
11	80000
12	80000
13	80000
14	80000
15	80000
IRR	5%

IRR<12%. Следовательно, проект не целесообразен.

Задача 2

Условие:

Необходимо ранжировать два альтернативных проекта по критериям срок окупаемости, IRR, NRV, если цена капитала 12%

Решение:

	A	Б
	-3000	-2500
	1500	1800
	3000	1500
Срок окупаемости	0,666667	0,757576
IRR	28%	21%
NRV	730,87р.	302,93р.

Таким образом, проект А выгоднее, нежели проект Б.

Задача 3

Условие:

Предприятие рассматривает необходимость приобретения новой технологической линии. На рынке имеются две модели со следующими параметрами. Обосновать целесообразность приобретения той или иной линии.

Показатели	Вариант 1	Вариант 2
Цена	8500	11000
Генерируемый годовой доход	2200	2150
Срок эксплуатации	10	12
Ликвидационная стоимость	500	1000
Требуемая норма прибыли	12	12

Решение:

Подсчитаем NRV для каждого из вариантов.

Денежные потоки
Вариант 1	Вариант 2
-8500	-11000
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
2200	2150
500	2150
	2150
	1000
4 074,23р.	1 766,05р.

Как видно, 1 вариант является более выгодным.

Задача 4

Условие:

Сравниваются два альтернативных проекта. Построить график нахождения точки Фишера. Сделать выбор проекта при коэффициенте дисконтирования 5% и 10%.

Решение:

Расчеты коэффициентов приведены в таблице ниже.

	Затраты	1 год	2 год	3 год	4 год	IRR	NRV - 5%	NRV - 10%
А	-25000	8000	7000	6000	7000	5%	-89,80р.	-2 653,17р.
Б	-35000	0	0	0	45000	6%	2 021,61р.	-4 264,39р.

Далее, найдем точку Фишера. Для этого построим таблицу значений NRV в заивисимости от ставки дисконтирования.

Данные в таблице ниже.

Ставка	NRV A	NRV B
0	3 000,00р.	10 000,00р.
0,01	2 333,27р.	8 244,12р.
0,02	1 692,17р.	6 573,04р.
0,03	1 075,42р.	4 981,92р.
0,04	481,81р.	3 466,19р.
0,05	-89,80р.	2 021,61р.
0,06	-640,48р.	644,21р.
0,07	-1 171,24р.	-669,72р.
0,08	-1 683,02р.	-1 923,66р.
0,09	-2 176,71р.	-3 120,87р.
0,1	-2 653,17р.	-4 264,39р.
0,11	-3 113,17р.	-5 357,11р.
0,12	-3 557,48р.	-6 401,69р.
0,13	-3 986,80р.	-7 400,66р.
0,14	-4 401,79р.	-8 356,39р.
0,15	-4 803,10р.	-9 271,10р.
0,16	-5 191,32р.	-10 146,90р.
0,17	-5 567,02р.	-10 985,75р.
0,18	-5 930,74р.	-11 789,50р.
0,19	-6 282,98р.	-12 559,91р.
0,2	-6 624,23р.	-13 298,61р.
0,21	-6 954,94р.	-14 007,17р.
0,22	-7 275,55р.	-14 687,04р.
0,23	-7 586,47р.	-15 339,61р.

Построим график.

Точка пересечения двух графиков (r=8%), показывающая значение коэффициента дисконтирования, при котором оба проекта имеют одинаковый NPV, называется точкой Фишера. Она примечательна тем, что служит пограничной точкой, разделяющей ситуации, которые "улавливаются" критерием NPV и не "улавливаются" критерием IRR.

В данном примере критерий IRR не только не может расставить приоритеты между проектами, но и не показывает различия между ситуациями а) и б). Напротив, критерий NPV позволяет расставить приоритеты в любой ситуации. Более того, он показывает, что ситуации а) и б) принципиально различаются между собой. А именно, в случае (а) следует принять проект Б, поскольку он имеет больший NPV, в случае б) следует отдать предпочтение проекту А.

Задача 5

Условие:

Корпорация рассматривает пакет инвестиционных проектов.

Инвестиционный бюджет фирмы ограничен и равен 45000. Используя линейное программирование, определите оптимальный инвестиционный портфель при условии, что вариант C и D являются взаимоисключающими.

Решение: Поскольку проекты C и D взаимоисключающие, проведем расчеты для обоих случаев.

Расчеты выполнены в табличном процессоре с использование Решателя и приведены ниже.

C=1 D=0

Отбор проектов в условиях ограниченного бюджета
Список проектов (k=1;6)	Коэф-ты целевой функции NPVk	Коф-ты функции ограничений	Целевая функция NPVk=Xk	Функция ограничений	Переменные целевой функции
Проект "А" (X1)	30000	8000	30000	8000	1
Проект "B" (X2)	8000	2000	8000	2000	1
Проект "C" (X3)	11100	5000	11100	5000	1
Проект "D" (X4)	12000	4000	0	0	0
Проект "E" (X5)	6000	2500	6000	2500	1
Проект "F" (X6)	4500	1500	4500	1500	1
Проект "G" (X7)	20000	6000	20000	6000	1
Проект "H" (X8)	6000	1800	6000	1800	1
max NPV			85600
Бюджет				26800

C=0 D=1

Отбор проектов в условиях ограниченного бюджета
Список проектов (k=1;6)	Коэф-ты целевой функции NPVk	Коф-ты функции ограничений	Целевая функция NPVk=Xk	Функция ограничений	Переменные целевой функции
Проект "А" (X1)	30000	8000	30000	8000	1
Проект "B" (X2)	8000	2000	8000	2000	1
Проект "C" (X3)	11100	5000	0	0	0
Проект "D" (X4)	12000	4000	12000	4000	1
Проект "E" (X5)	6000	2500	6000	2500	1
Проект "F" (X6)	4500	1500	4500	1500	1
Проект "G" (X7)	20000	6000	20000	6000	1
Проект "H" (X8)	6000	1800	6000	1800	1
max NPV			86500
Бюджет				25800

Вариант портфеля с максимальной NRV –

Проект "А" (X1)	Принять
Проект "B" (X2)	Принять
Проект "C" (X3)	Отказать
Проект "D" (X4)	Принять
Проект "E" (X5)	Принять
Проект "F" (X6)	Принять
Проект "G" (X7)	Принять
Проект "H" (X8)	Принять

Список литературы

Гламаздин Е.С., Новиков Д.А., Цветков А.В. Управление корпоративными программами: информационные системы и математические модели. М.: ИПУ РАН, 2003. 159 с.

Зуева Л.М. Экономическая оценка инвестиций: Учебное пособие. Воронеж, ВГАСА, 2000. – 110 с.

Лабораторный практикум по дисциплине “Автоматизированные информационные технологии в финансах”, НГАЭУ, Новосибирск, 1999

Учебное пособие Смирнова Е.Ю. "Техника финансовых вычислений на Excel" - СПб.: ОЦЭиМ, 2003.

Четыркин Е.М. Финансовая математика. 4-е изд. Учебник. Издательство: Дело, 2004 год, 400 с.