В області параксіальних променів утворюється ідеальне зображення. Однак практичне використання оптичних систем, обмежених параксіальною областю, дуже мале. При збільшенні площі перетину пучків променів і розширенні області простору, що зображений реальною оптичною системою, хід променів у системі і будівля пучків значно відрізняються від того, що має місце в ідеальній системі. У результаті реальні оптичні системи дають зображення, яке лише більш-менш наближаєтьсся до ідеального. У зв'язку з цим необхідний критерій оцінки, за яким можна судити про ступінь наближення реальної системи до ідеальної і який оцінюється якістю зображення. Одним з таких критеріїв є аберації – погрішності зображень. Ці погрішності обумовлені відхиленнями променів від тих напрямків, по яких вони повинні були б йти в ідеальній оптичній системі. Таким чином, аберації можна розглядати як порушення гомо-центричності пучків променів або сферичності хвильових поверхонь, а також як порушення розташування точки зображення при дії реальної оптичної системи стосовно ідеальної.

Аберації оптичних систем поділяють на монохроматичні і хроматичні. Монохроматичними абераціями називають погрішності зображення, що мають місце для променів визначеної довжини хвилі. Сутність хроматичних аберацій в тому, що при проходженні через заломлюючі поверхні випромінювання складного спектрального складу воно розпадається на складені спектральні частини внаслідок дисперсії світла. У цьому випадку зображення являє собою суму великого числа монохроматичних зображень, які не збігаються між собою ані за розміщенням чи за розмірами. Зображення стає пофарбованим.

Для математичного опису монохроматичних аберацій їх поділяють на аберації третього порядку й аберації вищого порядку, а хроматичні – на аберації першого порядку, третього порядку й аберації вищого порядку. У свою чергу серед монохроматичних аберацій третього порядку розрізняють:

1) сферичну аберацію;

2) кому;

3) астигматизм;

4) кривизну зображення і

5) дисторсію.

Хроматичні аберації першого порядку включають:

1) хроматизм положення;

2) вторинний спектр і

3) хроматизм збільшення.

Хроматичні аберації третього порядку можна поділити на:

1) сферохроматичну аберацію;

2) кольорову кому;

3) кольоровий астигматизм;

4) кольорову кривизну і

5) хроматичну дисторсію.

Повний опис аберацій може бути отриманий за допомогою эйконалів. Эйконали – це функції від деяких параметрів, що виражають оптичні довжини променя між спеціальним образом обраними точками. Оптична довжина променя визначається сумою добутків показників заломлення на відрізки , відлічувані вздовж шляху променя, що йде від предметної точки до точки зображення.

Монохроматичні аберації. У загальному випадку геометричний зміст аберацій стає зрозумілим з рис. 1. Перед умовно зображеною оптичною системою розташовується предмет , ідеальне зображення якого . У зв'язку з тим, що реальна оптична система порушує гомоцентричність променів, у загальному випадку зовнішньомеридіональний промінь, що вийшов із точки В0, після оптичної системи в точку В не приходить, а перетинає площину ідеального зображення в точці . Тоді геометричною аберацією буде відрізок . Зазвичай знаходять проекції аберацій на двох площинах: меридіональну та сагитальну . Тоді координатами точки будуть та . На розглянутому рисунку і – площини предмета та зображення; і – площини вхідної і вихідної зіниць; положення предметної площини і площини зображення щодо першої й останньої поверхонь оптичної системи визначаються відповідно відрізками s і , а положення зіниць щодо тих же поверхонь- відрізками sp і .

Рисунок 1– Геометричне представлення аберації

Меридіональна і сагитальна складові поперечної аберації зовнішньомеридіонального променя є функціями координат променя у площині предмета і вхідної зіниці (у, т, М), а також залежать від конструктивних параметрів оптичної системи, положення предметної площини і вхідної зіниці (Sp'). Теорія аберацій встановлює зв'язок між складовими аберацій та і координатами променя у, т та М:

(1)

Внаслідок симетрії системи щодо оптичної осі функції (1) не містять членів парних порядків:

Складові аберацій і називають абераціями третього порядку, і - п'ятого порядку і т.д. До аберацій вищих порядків відносять складові аберацій вище третього порядку.

Найбільше застосування в обчислювальній оптиці отримали розкладання Зейделя (або аберації третього порядку), що записуються у такому вигляді:

(2)

де А, В, С, D, Е- коефіцієнти, що залежать від конструктивних параметрів, а також від положення площин предмета і вхідної зіниці.

Кожний з коефіцієнтів у формулах (2) визначає окрему аберацію, для якої характерна своя фігура розсіювання.

Розгляд фігур розсіювання, що виникають при абераціях третього порядку, зручно проводити в полярних координатах і за умови, що присутнім є тільки один який-небудь коефіцієнт. У цьому випадку і , де j- кут між радіусом-вектором і віссю ординат.

Сферична аберація. Припустимо, що B = C = D = E = 0, A № 0. З формул (2) випливає, що

Переходячи до полярних координат, після нескладних перетворень одержуємо рівняння окружності

.

Отже, зображення точки при наявності сферичної аберації виходить у вигляді плоского кола (диска), радіус якого пропорційний до третього ступеня радіуса-вектора r, який визначає точку зустрічі променя з площиною вхідної зіниці, а центр збігається з початком координат. Особливістю сферичної аберації третього порядку є те, що вона не залежить від розміру предмета, тобто вона постійна на всім полі.

Величину називають подовжньою сферичною аберацією, а - поперічною сферичною аберацією.

З розгляду рис. 2, а випливає, що якщо площину зображення переміщати вздовж оптичної осі від площини ідеального зображення 2, то можна значно зменшити розмір кола розсіювання. Площина 1, у якій коло розсіювання має мінімальний розмір, називається площиною найкращої установки (ПНУ). При наявності в оптичній системі сферичної аберації тільки третього порядку зсув ПНУ на величину дозволяє отримати , де , – подовжня і поперечна сферичні аберації для променя, що проходить через край вхідної зіниці. На рис. 2, б показаний графік залежності поперечної сферичної аберації від вихідного апертурного кута. Користуючись цим графіком, можна визначити положення ПНУ.

Малюнок 2– Схема для визначення сферичной аберації

Кома. Аберація визначається коефіцієнтом В. З формул (2) маємо

Малюнок 3– Хід променів в оптичній системі при наявності коми

Після переходу до полярних координат і деяких перетворень отримаємо рівняння окружності з радіусом , центр якої зміщений на 2R від точки :

.

Геометричний зміст аберації ілюструє рис. 3. Кома є аберацією широкого похилого пучка променів, яка вносить асиметрію в будівлю пучків.

Астигматизм і кривизна поля. Нехай А = В = Е = 0, С № 0 і D № 0. З формул (2) випливає, що

Переходячи до полярних координат, після перетворення одержуємо рівняння еліпса

,

де а і b- півосі еліпса;, .

Розмір і форма фігури розсіювання змінюються при зміні площини установки. Явище астигматизму полягає в тому, що промені того самого пучка, що йдуть у двох взаємно перпендикулярних площинах (меридіональній та сагитальній), після проходження оптичної системи не збираються в одній точці, а мають різні точки збіжності. Тому у площині, у якій лежить точка збіжності меридіональних променів, еліпс вироджується у відрізок прямої, перпендикулярної до меридіональної площини. У площині, що проходить через точку збіжності сагитальних променів, фігура розсіювання – пряма, що лежить у меридіональній площині. У площині, що лежить посередині між цими площинами, еліпс перетворюється в коло. Положення точок збіжності і меридіональних і сагитальних променів щодо площини ідеального зображення характеризують відрізками і (рис. 4). Різницю називають астигматичною різницею або астигматизмом .

Візьмемо предмет АВ висотою у, розташований у меридіональній площині (рис. 4). Кожній крапці відрізка у відповідатиме меридіональне і сагитальне зображення, наприклад і . З'єднуючи відповідні точки, отримаємо відрізки і , що являють собою меридіональне і сагитальне зображення предмета у. Якщо між кривими і , які являють собою зображення у, провести проміжну (середню) лінію, то отримаємо криву , що характеризує кривизну зображення. При обертанні кривих і навколо оптичної осі отримаємо астигматичні поверхні обертання і поверхню кривизни зображення, дотичні до площини ідеального зображення в точці А' на осі.

Малюнок 4– Поверхонь зображень, утворених астигматичними пучками

Таким чином, якщо коефіцієнти С і D не дорівнюють нулю, то зображення предмета лежить на скривлених поверхнях (параболоїдах), а не на площині.

Дисторсія. Аберація визначається коефіцієнтом Е та координатою у:

.

Дисторсія виявляється у тому, що внаслідок мінливості лінійного збільшення для різних кутів полю порушується подоба зображення предмета. Прямі лінії викривляються, замість правильного квадрата виходять фігури, що зображені на рис. 5. Дисторсія не залежить від координат променя у площині вхідної зіниці, отже, пучок променів, що вийшов з деякої предметної точки, після системи зміститься на відрізок , але його гомоцентричність не порушується і зображення виходить різким.

Малюнок 5– Порушення зображень дисторсією

На практиці у чистому вигляді окремі аберації, а тим більше окремі аберації третього порядку не зустрічаються, тому фігури розсіювання мають складну форму. Крім того, у реальних оптичних системах виявляються й аберації вищих порядків, і фігури розсіювання приймають ще більш складну форму.

Варто зазначити, що число аберацій в залежності від їхнього порядку визначається виразом

,

де N- число аберацій, t- порядок аберацій. Наприклад, якщо t = 3, тo N = 5, при t = 5 N = 9, а якщо t = 7, то N = 14 і т.д. Якість зображення погіршується також внаслідок аберацій, що виявляються при роботі оптичної системи в широкому спектральному діапазоні.

Хроматичні аберації. На відміну від монохроматичних хроматичні аберації виявляються вже в параксіальній області. Параксіальні зображення предмета, які дають оптичні системи у променях з різними довжинами хвиль, розрізняються як по положенню, так і по розмірах в залежності від оптичних характеристик матеріалів, з яких виготовлені оптичні деталі. До основних оптичних характеристик матеріалів (середовищ) відносяться показник заломлення n, середня дисперсія , коефіцієнти дисперсії , відносна приватна дисперсія , де l0- середня довжина хвилі спектрального інтервалу; l1- довжина хвилі, що відповідає короткохвильовій границі спектрального інтервалу; l2- довжина хвилі, що відповідає довгохвильовій границі спектрального інтервалу. Вибір спектрального інтервалу визначається призначенням оптичної системи. Наприклад, для візуальних оптичних приладів, що працюють у видимій області спектра, нм (синьо-блакитна частина спектра), нм (червона частина спектра), (жовта частина спектра).

Характеристики оптичних матеріалів наведені в державних стандартах (див. ДСТ 3514-76, ДСТ 13659-78 і Радянсько-німецький каталог оптичного безбарвного скла).

У параксіальній області розрізняють наступні хроматичні аберації: хроматизм положення, хроматизм збільшення і вторинний спектр. Коротко розглянемо їх.

Хроматизм положення. Ця аберація визначається відстанню між параксіальними зображеннями для двох кольорів l1 і l2, тобто (рис. 6). Виникнення цієї аберації можна пояснити, використовуючи формулу:

.

Через те, що , і , то

Рисунок 6– Хроматизм положення

Для простої тонкої лінзи хроматизм положення визначається співвідношеннями:

(3)

З формул (3) випливає, що для простої тонкої лінзи хроматизм положення виправити неможливо. Найпростішою системою, що дозволяє усунути цю аберацію, є двохлінзовий склеєний об'єктив. Оптичні сили лінз цього об'єктива визначаються зі спільного розв’язання системи двох рівнянь, що задають умову масштабу й умову ахроматизації:

.

Хроматизм положення для системи, яка складена з k нескінченно тонких лінз, обчислюють за формулою:

.

Хроматизм збільшення. Ця аберація визначається відрізком ,що знаходиться як різниця розмірів і зображень для крайніх довжин хвиль l1 і l1, тобто (рис. 7). Хроматизм збільшення виражають у відносній мірі . Для одиночної лінзи хроматизм збільшення може бути обчислений за формулами:

де Sp- положення вхідної зіниці щодо першої поверхні лінзи; S1- положення предмета щодо тієї ж поверхні.

Рисунок 7– Хроматизм збільшення

Вторинний спектр. В оптичних системах, які називають ахроматами, параксіальні зображення вісьових точок сполучаються тільки для променів з довжинами хвиль l1 і l2 (рис. 8, крива 1). Залишковий хроматизм за умови називають вторинним спектром.

Рисунок 8– Графік хроматичної аберації положення

Для тонкого двохлінзового склеєного об’єктива значення вторинного спектра може бути обчислене за формулою

.

Застосування оптичних матеріалів з близькими за значенням відносними частними дисперсіями, але з різними коефіцієнтами дисперсій, наприклад, флюориту, фтористого літію, стекол ОФ4, СТК9 та ін. дозволяє усунути вторинний спектр. Оптичні системи з виправленим вторинним спектром називають апохроматами (рис. 8, крива 2). Апохромати створюють практично незабарвлене зображення.