МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Кафедра компьютерных образовательных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Построение и использование имитационных моделей

Работу выполнил студент

Машков Андрей Сергеевич

Техническое задание

1. Наименование темы: Построение и исследование имитационных моделей

2. Срок сдачи студентом законченной работы 05.06.07

3. Техническое задание и исходные данные к работе Разработать программу для имитационного моделирования системы массового обслуживания с 2 устройствами. В системе интервалы времени между поступлением требований являются независимыми случайными величинами со средним временем поступления требований =10 (с). Когда требование поступает, а устройство свободно, обслуживание начинается немедленно. Время обслуживания является случайной величиной некоррелированной с интервалами поступления требований. Среднее значение времени обслуживания требований =10 (c). Если при поступлении требования устройства заняты, требование становится в очередь.

Дисциплина обслуживания: циклическая с квантом q=1c.

Оценке подлежат следующие параметры:

коэффициент использования системы ;

средняя задержка в очереди ;

среднее время ожидания ;

среднее по времени число требований в очереди ;

среднее по времени число требований в системе .

4. Содержание курсовой работы (перечень подлежащих разработке вопросов):

Анализ задачи и обзор аналогов;

Выбор входных распределений;

Логика работы программы;

Построение генераторов случайных чисел;

Статистический анализ выходных данных моделирования;

Рекомендации по использованию результатов моделирования.

5. Перечень графического материала (с указанием обязательного материала):

Графики функций распределения вероятностей;

Графики функций плотности распределения вероятностей;

График по времени числа требований в очереди;

График по времени числа требований в системе;

График по времени коэффициента использования системы;

Блок-схемы алгоритмов.

6. Исходные материалы и пособия

1. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-ие изд. – СПб.:Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 c.

Содержание

Введение

1. Анализ задачи и обзор аналогов

2. Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных чисел

3. Оценка входных параметров

3.1 Оценки средних значений

3.2 Интервальные оценки

3.3 Проверка статистических гипотез

3.4 Метод гистограмм

4. Логика работы программы

4.1 Блок-схема алгоритма программы

4.2 Интерфейс

5. Планирование эксперимента

5.1 Статический анализ выходных данных моделирования

5.2 Построение факторного плана

5.3 Эффекты взаимодействия и уравнения регрессии

6. Рекомендации по использованию результатов моделирования

Заключение

Приложение А

Приложение Б

Список литературы

Введение

На производстве, в быту, военном деле, науке и т. д. часто встречаются процессы, которые, не вдаваясь в детали, можно описать следующим образом: с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой — происходит постоянное удовлетворение этих запросов. Та часть процесса, в которой возникают запросы, называется обслуживаемой системой, а та, которая принимает запросы и удовлетворяет их,— обслуживающей. Совокупность обслуживающей и обслуживаемой систем составляет систему массового обслуживания. Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного облуживания случайного потока требований при ограниченных ресурсах системы.

Модели системы массового обслуживания являются наиболее часто используемым классом моделей со случайными факторами, что определяется повсеместным распространением систем такого типа.

К настоящему времени разработано много моделей систем массового обслуживания, имеющих аналитическое решение. Но они далеко не исчерпывают все способы функционирования реальных обслуживающих систем. Кроме того, на практике не всегда выполняются предпосылки, лежащие в основе имеющихся аналитических моделей.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

Эффективным методом решения задач теории массового обслуживания, как и многих других, не имеющих аналитического решения, является метод статистического моделирования, предусматривающий, имитацию на ЭВМ процессов, протекающих в исследуемой системе. Математическое описание процесса в этом случае задается алгоритмически. Моделирующий алгоритм многократно воспроизводит изучаемый случайный процесс, накапливает сведения о его протекании, и после обработки выдает оценки показателей работы системы. Целью любого компьютерного эксперимента является сбор информации о значениях переменных модели, наблюдаемых в процессе проведения эксперимента, и состояниях очередей, возникающих в процессе моделирования.

Построение программы имитации поведения СМО основано на программировании цепочки событий, начиная от входных требований, поступающих в случайные моменты времени, занятия и освобождения серверов в соответствии со случайным характером длительности обработки каждого требования. Итогом работы программы является получение статистических отчетов о процессах в системе.

В данной курсовой работе требуется разработать программу для имитационного моделирования системы массового обслуживания с двумя устройствами. В системе интервалы времени между поступлениями требований являются независимыми случайными величинами со средним временем Ā = 10 секунд. Когда требование поступает, а устройство свободно, обслуживание начинается немедленно. Время обслуживания является случайной величиной, некоррелированной с интервалами поступления требований. Среднее значение обслуживания требований – Ŝ = 10 секунд. Если при поступлении требования устройства заняты, то требование становится в очередь. Дисциплина обслуживания циклическая с квантом q=1c.

Оценке подлежат следующие параметры:

коэффициент использования системы;

средняя задержка в очереди;

среднее время ожидания;

среднее по времени число требований в очереди;

среднее по времени число требований в системе.

1. Анализ задачи и обзор аналогов

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований. Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В данной работе СМО предназначена для обслуживания какого-то потока требований, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Так как система циклично содержит квант q, то по истечению этого цикла если требование успело обслужиться, то оно покидает систему, в противном случае требование поступает в конец очереди. Далее время обработки этого требования уменьшается на квант q.

Задача данной СМО – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных требований и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока требований и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают, способна ли данная система справляться с потоком требований.

Модель такой системы представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Модель циклическая с квантом q

В действительности, многие системы работают по такому принципу:

Задача продавца газет. Партии товара Q поступают регулярно через Т, через этот промежуток продается случайное количество товара R, к моменту поставки новой партии старый товар теряет свои потребительские свойства.

2. Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных чисел

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

Таким образом, при моделировании мы генерируем две экспоненциально распределенные псевдослучайные последовательности с заданными средними значениями , .

Чтобы смоделировать экспоненциально распределенную случайную величину сначала генерируется стандартно равномерно распределенная случайная величина U, которая затем преобразуется в величину с экспоненциальным законом распределения согласно формуле:

X = –b ln(U),(2.1)

где b - математическое ожидание.

Для генерации стандартно равномерно распределенной случайной величины U используется мультипликативный генератор:

, (2.2)

где: a = 630360016, m = 2147483647.

Рассмотрим вид входных распределений на основе последовательностей из 1000 элементов с входными параметрами генераторов (– случайная величина поступления требований (среднее значение 10), – случайная величина обработки требований (среднее значение 10)):

() =46382 , () = 94215.

3. Оценка входных параметров

3.1 Оценки средних значений

Оценка математического ожидания случайных величин X вычисляется по формуле:

(3.1)

где n – количество элементов.

Для случайных величин и она равна:

Оценка дисперсии случайных величин вычисляется по формуле:

. (3.2)

Для случайных величин и она равна:

Оценка корреляции случайных величин вычисляется по формулам:

, (3.3)

где j = 1,…,n.

Графики корреляции показаны на рисунках 3.1. и 3.2.

Рисунок 3.1 – Корреляция величины

Рисунок 3.2 – Корреляция величины S

Графики зависимости последующего значения от предыдущего представлены на рисунках 3.3 и 3.4.

Рисунок 3.3 – Зависимость от

Рисунок 3.4 – Зависимость от

3.2 Интервальные оценки

Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины определяется формулой:

, (3.4)

где b = 0.95 – доверительная вероятность, - квантиль порядка , = - оценка дисперсии. = 1.96 для доверительной вероятности 0.95.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайных величин и равны:

(9.5886; 10.8315), – попадает в полученный доверительный интервал;

(9.5627; 10.7928), – попадает в полученный доверительный интервал.

3.3 Проверка статистических гипотез

Проверка гипотез об экспоненциальном распределении величин A и S осуществляется с помощью метода c2.

Выдвигаем гипотезу о том, что случайные величины A и S распределены экспоненциально.

Статистическая функция вычисляется по формуле:

, (3.5)

где - это частота попадания в k –й интервал, pi - вероятность попадания, которая вычисляется следующим образом

, (3.6)

Расчет проводился на k = 20. Если , то гипотеза принимается, если , гипотеза отвергается. По данным таблицы для k=20 и =0.05, критерий c2 = 31.4.

В результате были получены следующие значения и

Таким образом, обе гипотезы принимаются.

Интервалы: [0 0,4879), [0.4879 1.0008), [1.0008 1.5415), [1.5415 2.1131), [2.1131 2.7193), [2.7193 3.3647), [3.3647 4.0547), [4.0547 4.7957), [4.7957 5.5962), [5.5962 6.4663), [6.4663 7.4194), [7.4194 8.4730), [8.4730 9.6508), [9.6508 10.9861), [10.9861 12.5276), [12.5276 14.3508), [14.3508 16.5823), [16.5823 19.4591), [19.4591 23.5138) .

3.4 Метод гистограмм

На рисунках 3.5 и 3.6 изображены гистограммы с функциями плотностей распределения вероятностей для A и S.

Рисунок 3.5 –Гистограмма величины A

Эта гистограмма показывает, что смоделированная случайная величина A распределена по экспоненциальному закону. Математическое ожидание случайной величины А равно 10.

Рисунок 3.6 –Гистограмма величины S

На гистограмме видно, что смоделированная случайная величина S распределена по экспоненциальному закону. Математическое ожидание случайной величины S равно 10.

На рисунках 3.7 и 3.8 изображены графики функций распределения вероятностей для A и S.

Рисунок 3.7 – Функция распределения величины A

Рисунок 3.8 – Функция распределения величины S

4 Логика работы программы

4.1 Блок-схема алгоритма программы

На рисунке 4.1 представлена логика работы системы массового обслуживания с дисциплиной – циклическая с квантом q.

Нет

Да

Рисунок 4.1- Блок-схема алгоритма программы

На рисунке 4.2 представлена блок-схема блока поступления требования в устройство.

Нет Да

Рисунок 4.2 – Блок-схема поступления требования

На рисунке 4.3 представлена блок-схема функции, обеспечивающей обработку требования, где q - максимальное время обслуживание требования.

На рисунке 4.4 представлена блок-схема блока ухода требования и дополнительной обработки.

Рисунок 4.3 – Блок-схема функции обработки требования

Да Нет

Рисунок 4.4- Блок-схема дополнительной обработки или ухода требования

4.2 Интерфейс

К графическому интерфейсу относится управление параметрами системы, такими как изменение входных параметров.

На рисунке 4.5 представлено основное диалоговое окно графического интерфейса.

Рисунок 4.5 - Основное диалоговое окно графического интерфейса

Здесь имеются поля для ввода входных параметров, кнопки управления происходящим процессом.

При нажатии на клавишу «Запуск» мы видим диалоговое окно, представленное на рисунке 4.6. Здесь можно заметить, что поля ввода входных параметров неактивны для изменения. Так же в графе «Выходные параметры системы» результаты показываются только по двум пунктам: системное время и время поступления следующей заявки. Кнопка «Графики» неактивна. Соответственно происходит выполнение работы программы.

Рисунок 4.5 – Диалоговое окно при нажатии на кнопку «Запуск»

При нажатии на кнопку «Стоп» происходит активация полей ввода «Параметры моделируемой системы». Так же выводится информация о промежуточных подсчётах. Можно посмотреть полученные графики. Это можно посмотреть на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6 - Диалоговое окно при нажатии на кнопку «Стоп»

После окончательного прогона моделирования системы массового обслуживания и нажатия на кнопку «Графики» мы увидим:

график изменения коэффициента использования системы во времени на рисунке 4.7;

график текущего по времени числа заявок в очереди на рисунке 4.8;

график текущего по времени числа заявок в системе на рисунке 4.9;

график среднего по времени числа заявок в очереди и системе на рисунке 4.10.

Рисунок 4.7 - Изменения коэффициента использования системы во времени

Рисунок 4.8 - Текущее по времени число заявок в очереди

Рисунок 4.9 - Текущее по времени число заявок в системе

Рисунок 4.10 - Среднего по времени числа заявок в очереди и системе

5 Планирование эксперимента

5.1 Статический анализ выходных данных моделирования

Для анализа выходных параметров моделирования необходимо рассчитать количество экспериментов для построения факторного плана. Расчет количества экспериментов производится по формуле:

, (5.1)

где - дисперсия, - 5% от математического ожидания на 10 значениях каждого выходного параметра, =1.96 – квантиль порядка .

Результаты расчетов необходимого количества экспериментов приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Количество экспериментов

	A1	S1	p	d	w	Q	L
1	254789	251463	0,425622	9,23302	19,0935	0,564	2,2317
2	62315	56514	0,42811	10,1712	20,7671	0,609816	2,24761
3	54789623	1263532	0,500968	10,0617	20,1693	0,757584	2,54167
4	658765	459877	0,480135	8,99325	18,8155	0,549471	2,24218
5	678678	967567	0,421836	8,863665	18,111	0,477824	2,04563
6	872343	976723	0,490978	8,75354	18,384	0,53815	2,24663
7	98745	874509	0,476293	9,028	18,873	0,552332	2,27674
8	2148963	1247896	0,482266	9,24245	19,2856	0,534981	2,21667
9	2652567	4589642	0,411253	8,32548	17,9225	0,432992	2,0688
10	829192	873292	0,472514	9,23085	19,0708	0,622302	2,36714
n			8,090238	5,737406	3,266298	37,26833	5,93063

В таблице 5.1 приняты следующие обозначения: A1 – начальное значение величины A (поступления требования); S1 - начальное значение величины S (обработки требования); p, d, w, Q, L – выходные параметры, соответственно коэффициент использования, системы, средняя задержка в очереди, среднее время ожидания, среднее по времени число требований в очереди, среднее по времени число требований в системе; n – необходимое количество экспериментов вычисленное по формуле 5.1.

Было определено максимальное значение n равное 37.

5.2 Построение факторного плана

В данной СМО входными переменными модели, т.е. факторами являются:

количество устройств;

среднее время поступления требований;

среднее время обработки требований.

Выходными показателями работы СМО, т.е. откликами являются:

коэффициент использования системы;

средняя задержка в очереди;

среднее время ожидания;

среднее по времени число требований в очереди;

среднее по времени число требований в системе.

В таблице 5.2 приведены уровни факторов и их значения.

Таблица 5.2 – Значения уровней и факторов

Фактор	-	+
Количество устройств (m)	1	2
Среднее значение	11	12
Среднее значение	8	9

Значения факторов были подобраны эмпирически, основываясь на том, что нужно увеличить загруженность системы (повысить коэффициент использования системы), но при этом не должно создаваться ситуации, когда очередь постоянно возрастает. Т.е. значения двух факторов должны быть ограничены.

Для планирования экспериментов был построен факторный план значения которого приведены в таблице 5.3 .В Приложении А приведены графики контрольных прогонов для каждого эксперимента факторного плана.

Таблица 5.3 – Факторный план

N	M			ρ	d	W	Q	L
1	-	-	-	0,615924	24,9953	32,8826	1,74527	2,52777
2	+	-	-	0,364636	7,10077	15,1911	0,271809	1,48011
3	-	+	-	0,641983	19,9019	27,7597	1,13215	1,84383
4	+	+	-	0,282609	6,37251	13,9526	0,1287	1,08477
5	-	-	+	0,799233	31,835	40,4347	2,48326	3,37997
6	+	-	+	0,395812	7,81768	16,8574	0,265331	1,56789
7	-	+	+	0,619495	25,401	33,9974	1,56838	2,34359
8	+	+	+	0,356732	7,57915	16,4351	0,237693	1,45666

Полный факторный план

Таблица А.1 - Результаты работы системы 1/11/8

№	A	S	ρ	d	w	Q	L
1	25698	25745	0,6755528	20,4441	28,3593	1,27841	2,05395
2	35861	91752	0,680536	21,3554	29,1991	1,37816	2,14923
3	11867	378922	0,639325	19,8888	27,7547	1,21289	1,97175
4	26598	524568	0,657458	22,4653	30,3462	1,51871	2,31604
5	258569	256985	0,667673	20,8268	28,4641	1,35581	2,11021
6	585458	112362	0,596395	17,0318	24,4552	0,975926	1,69182
7	554265	556963	0,692	20,7156	28,8005	1,29098	2,08363
8	659123	456321	0,640571	22,6587	30,8684	1,38142	2,13753
9	542369	758963	0,713228	24,5171	32,0071	1,82475	2,60021
10	369258	741258	0,753513	30,4055	38,7389	2,30473	3,15114
11	456321	321456	0,639594	17,5491	25,3863	0,973815	1,71901
12	258321	123698	0,72446	29,3316	37,4017	2,24594	3,07944
13	546132	963659	0,734653	27,3305	35,6129	1,91317	2,72048
14	658741	336559	0,695646	23,1381	31,4143	1,4804	2,27275
15	439157	496326	0,711085	22,194	30,3506	1,39806	2,1861
16	486248	684268	0,694425	26,9778	35,1111	1,89538	2,68753
17	139852	369562	0,633895	20,6619	28,2276	1,33358	2,07694
18	341254	851147	0,705575	29,6748	37,9012	2,14604	2,94536
19	112354	774584	0,644321	17,6122	25,5628	0,961498	1,70932
20	546378	796541	0,761192	28,0322	36,2059	2,11432	2,95728
21	595985	747856	0,695619	23,7853	32,0953	1,52594	2,31901
22	446623	332256	0,781548	25,304	33,4814	1,77277	2,58992
23	882654	996548	0,743595	26,5645	34,6843	1,92301	2,74851
24	654845	695658	0,574422	17,751	25,1839	1,03218	1,74265
25	502508	360268	0,645467	23,8161	31,7211	1,65099	2,44626
26	459543	302369	0,591592	22,7245	30,5422	1,4158	2,13354
27	201301	800961	0,629991	27,2424	35,1988	1,92285	2,69709
28	548545	965236	0,727015	25,9111	33,9255	1,91621	2,74568
29	502401	658025	0,68132	23,6408	31,7551	1,57362	2,36523
30	990065	365852	0,673105	21,8759	29,6414	1,51489	2,31478
31	326587	562389	0,662329	21,9148	29,5617	1,47498	2,23395
32	743652	780954	0,723818	28,8251	36,8655	2,1632	2,98105
33	559658	412365	0,634386	31,1898	39,2282	2,42949	3,2553
34	678151	511247	0,666739	25,5455	33,4027	1,78458	2,5574
35	548545	965236	0,727015	25,9111	33,9255	1,91621	2,74568
36	502401	658025	0,68132	23,6408	31,7551	1,57362	2,36523
37	654845	695658	0,574422	17,751	25,1839	1,03218	1,74265
38	585458	112362	0,596395	17,0318	24,4552	0,975926	1,69182

Таблица А.2 - Результаты работы системы 2/11/8

№	A	S	ρ	d	w	Q	L
1	543550	543550	0,338698	6,63765	14,8306	0,0359895	1,07935
2	546328	925328	0,325319	6,78376	14,7786	0,182953	1,322
3	512657	14751	0,314471	6,63436	14,1134	0,218668	1,28283
4	65412	365984	0,32293	6,79088	14,8843	0,155927	1,24995
5	541025	850257	0,312803	6,04349	13,5354	0,100849	1,11726
6	132052	956201	0.362961	6.90582	14.8984	0.227443	1.41849
7	548561	523659	0.319346	6.95141	14.6858	0.238178	1.32071
8	745695	652354	0.325195	6.68655	14.9192	0.147331	1.3253
9	569852	258741	0.357333	7.1276	15.5344	0.205545	1.43516
10	789632	123698	0.342605	6.81135	14.9676	0.192304	1.39074
11	120325	669520	0.316259	6.58486	14.6634	0.125711	1.21964
12	885695	336511	0.329522	6.72872	14.6084	0.167234	1.24897
13	125496	695124	0.308968	6.95665	14.969	0.175414	1.23178
14	23584	255963	0.316783	6.70453	14.7566	0.148303	1.22348
15	352147	357159	0.336722	7.22136	15.7185	0.193198	1.37311
16	645123	973451	0.338016	6.27922	13.9954	0.105584	1.19676
17	645121	782223	0.326981	6.54399	14.4811	0.106791	1.17305
18	203265	213025	0.372122	6.76579	14.807	0.192739	1.38204
19	112354	565239	0.319334	6.73003	14.6728	0.162247	1.23175
20	459548	365824	0.361309	6.80957	14.9258	0.15476	1.28074
21	659369	147524	0.318654	6.87234	15.0754	0.140456	1.2272
22	584215	753268	0.365926	6.56857	14.3551	0.163679	1.25831
23	787789	989989	0.366771	6.52882	14.4654	0.187632	1.4107
24	123235	654546	0.384813	7.60551	16.1285	0.2599	1.42453
25	636963	147414	0.344725	6.57443	14.6367	0.135911	1.2607
26	459543	302369	0.295819	6.812	14.6297	0.17923	1.2025
27	645123	973451	0.338016	6.27922	13.9954	0.105584	1.19676
28	645121	782223	0.326981	6.54399	14.4811	0.106791	1.17305
29	915475	984123	0.358508	6.68446	14.6201	0.188477	1.37552
30	990065	365852	0.336152	6.43067	14.1962	0.149999	1.29115
31	745695	652354	0.325195	6.68655	14.9192	0.147331	1.3253
32	569852	258741	0.357333	7.1276	15.5344	0.205545	1.43516
33	659369	147524	0.318654	6.87234	15.0754	0.140456	1.2272
34	65412	365984	0,32293	6,79088	14,8843	0,155927	1,24995
35	541025	850257	0,312803	6,04349	13,5354	0,100849	1,11726
36	512657	14751	0,314471	6,63436	14,1134	0,218668	1,28283
37	546328	925328	0,325319	6,78376	14,7786	0,182953	1,322
38	512657	14751	0,314471	6,63436	14,1134	0,218668	1,28283

Таблица А.3 - Результаты работы системы 1/12/8

№	A	S	ρ	d	w	Q	L
1	990065	365852	0,61843	18,8208	26,5865	1,09074	1,82072
2	256585	6523	0,638141	20,3544	28,4439	1,14575	1,87597
3	555368	333652	0,603842	24,9082	33,3464	1,52609	2,28326
4	352648	333652	0,558157	21,6328	30,0966	1,17218	1,89695
5	666666	335225	0,54776	18,0408	25,6844	0,975644	1,66246
6	132052	568112	0,727417	24,3047	32,7124	1,53687	2,32258
7	223311	996633	0,603162	23,24	31,0355	1,43715	2,14018
8	562551	336221	0,57625	16,0752	23,782	0,781477	1,46213
9	448444	112110	0,629062	19,5658	27,5804	1,10843	1,84356
10	541523	236523	0,652206	24,5259	32,6706	1,54672	2,2922
11	120325	339911	0,584455	19,407	27,2744	1,04603	1,72192
12	885225	335221	0,571277	18,5817	26,3752	1,05846	1,7859
13	654485	225650	0,577097	18,1954	26,37	0,883966	1,57177
14	541263	325852	0,564309	16,6183	24,3225	0,807201	1,47055
15	116633	111856	0,599607	22,5597	30,7084	1,29238	2,00157
16	774123	336214	0,629704	20,499	28,2943	1,21975	1,9422
17	555236	502899	0,584854	20,4274	28,3354	1,12509	1,8123
18	203265	213025	0.372122	6.76579	14.807	0.192739	1.38204
19	112354	565239	0.319334	6.73003	14.6728	0.162247	1.23175
20	459548	365824	0.361309	6.80957	14.9258	0.15476	1.28074
21	659369	147524	0.318654	6.87234	15.0754	0.140456	1.2272
22	584215	753268	0.365926	6.56857	14.3551	0.163679	1.25831
23	787789	989989	0.366771	6.52882	14.4654	0.187632	1.4107
24	123235	654546	0.384813	7.60551	16.1285	0.2599	1.42453
25	636963	147414	0.344725	6.57443	14.6367	0.135911	1.2607
26	459543	302369	0.295819	6.812	14.6297	0.17923	1.2025
27	645123	973451	0.338016	6.27922	13.9954	0.105584	1.19676
28	645121	782223	0.326981	6.54399	14.4811	0.106791	1.17305
29	915475	984123	0.358508	6.68446	14.6201	0.188477	1.37552
30	990065	365852	0.336152	6.43067	14.1962	0.149999	1.29115
31	745695	652354	0.325195	6.68655	14.9192	0.147331	1.3253
32	569852	258741	0.357333	7.1276	15.5344	0.205545	1.43516
33	659369	147524	0.318654	6.87234	15.0754	0.140456	1.2272
34	65412	365984	0,32293	6,79088	14,8843	0,155927	1,24995
35	990065	365852	0,61843	18,8208	26,5865	1,09074	1,82072
36	256585	6523	0,638141	20,3544	28,4439	1,14575	1,87597
37	555368	333652	0,603842	24,9082	33,3464	1,52609	2,28326
38	352648	333652	0,558157	21,6328	30,0966	1,17218	1,89695

5.3 Эффекты взаимодействия и уравнения регрессии

Главные эффекты первого, второго и третьего факторов вычисляются по следующим формулам:

,

, (5.2)

,

где – отклики системы.

Эффекты взаимодействия первого и второго, первого и третьего, второго и третьего, первого и второго и третьего факторов вычисляются по следующим формулам:

,

, (5.3)

,

,

где – отклики системы.

Значения эффектов для каждого выходного параметра представлены в таблице 5.4.

Таблица 5.4 – Значения эффектов

Параметр	e1	e2	e3	e12	e13	e23	e123
p	-0,3192115	-0,0686965	0,06653	-0,6994355	-0,642834	-0,0686965	0,062186
d	-18,315773	-3,1235475	3,5655875	-25,774998	-25,052413	-3,1235475	0,4575825
w	-18,15955	-3,30525	4,48465	-34,1838	-32,7314	-3,30525	0,5327
Q	-1,5063818	-0,424687	0,3191838	-1,7749518	-1,7066363	-0,4246868	0,10430775
L	-1,1264325	-0,556723	0,4529075	-2,6504325	-2,4088725	-0,5567225	0,1591375

Общий вид уравнения регрессии представлен ниже:

, (5.4)

где - коэффициенты уравнения регрессии.

Значения коэффициентов уравнения регрессии представлены в таблице 5.5. Пример вычисления коэффициентов представлен в приложении Б.

Значения коэффициентов уравнения регрессии представлены в таблице 5.5.

Таблица 5.5 – Значения коэффициентов уравнения регрессии

Ρ	d	W	Q	L
-43,2915	-235,808	-45,0088	-59,9977	-85,6907
24,04419	144,1403	66,1593	36,02849	57,9095
3,770473	15,9089	0,5527	4,668797	6,93938
5,335393	47,84272	27,3329	9,391359	12,49551
-2,09804	-10,2775	-4,1604	-2,86784	-4,8038
-0,45454	-3,17093	-1,445	-0,71899	-0,98899
-2,88832	-26,2564	-17,3224	-5,33401	-7,76647
0,248744	1,83033	1,1306	0,417231	0,63655

Уравнения регрессии для каждого из откликов:

ρ = - 43.2915 + 24.04419m + 3.770473 + 5.335393 - 2.09804 - 0.45454 - 2.88832m + 0.248744m;

d = - 235.808 + 144.1403m + 15.9089 + 47.84272 - 10,2775m - 3.17093 - 26.2564m + 1.83033m;

w = - 45.0088+ 66.1593m + 0.5527 + 273329- 4.1604m - 1.445 - 17.3224m + 1.1306m;

Q= - 59.9977 + 36.02849m + 4.668797 + 9.391359 - 2.86784m - 0.71899 - 5.33401m + 0.417231m;

l = -85.6907 + 57.9095m + 6.93938 + 12.49551 - 4.8038m - 0.98889 - 7.76647m + 0.63655m.

По уравнениям регрессии для значения для входных параметров m=2, =10, =10 получаем:

ρ = 0.4231; d =8.2874; w = 18.1298; Q = 0.1710; l =1.4828.

Для проверки адекватности уравнений регрессии используем метод малых приращений. Так, для значений m, , значения были получены выше. В таблице 5.6 представлены результаты при малом приращении с (dm = 0,04), (d = 0,2),(d =0,2):

Таблица 5.6 – Метод малых приращений

N	Dm	d	d	Ρ	d	w	Q	L
1	0	0	0	0.4231	8.2874	18.1298	0.1710	1.4828
2	-0,04	0	0	0.4609	9.8100	19.5541	0.3417	1.6483
3	0,04	0	0	0.3853	6.7568	16.7055	0.0003	1.3173
4	0	-0,2	0	0.4223	8.2331	18.0510	0.1535	1.4482
5	0	0,2	0	0.4239	8.3336	18.2086	0.1886	1.5174
6	0	0	-0,2	0.4255	8.2380	17.9598	0.1954	1.5221
7	0	0	0,2	0.4208	8.3288	18.2998	0.1466	1.4435

6. Рекомендации по использованию результатов моделирования

После исследования данной имитационной модели массового обслуживания и ее анализа, были получены следующие данные, о том что коэффициент использования системы с тремя заданными параметрами равен 46%, среднее время ожидания 19 секунды, средняя задержка в очереди 9,2 секунды, среднее по времени количество требований в очереди 0,56, среднее по времени количество требований в системе 2,24.

Полученные выходные параметры, свидетельствует о том, что смоделированная нами система массового обслуживания является недогруженной и не достаточно эффективной.

Опираясь на анализ выходных данных моделирования можно сделать следующий вывод: система массового обслуживания будет достаточно эффективной при коэффициенте использования системы 79,9%, который достигается при минимальном количестве устройств равном 1, минимальном времени поступления требования равным 11 секунд и максимальном времени обработки требования равным 9 секунд. При таких входных параметрах системы мы получим среднее время ожидания равное 40 секундам, среднюю задержку в очереди 31,8, среднее по времени количество требований в очереди 2,5, среднее по времени количество требований в системе 3,4.

Следует отметить, что увеличение показателей среднего времени ожидания, средней задержки в очереди, среднего по времени количества требований в очереди и среднего по времени количества требований в системе являются допустимыми для достижения оптимального коэффициента использования системы.

Графики рекомендуемых параметров (коэффициент использования системы, по времени числа требований в очереди и системе) представлены в приложении A на рисунках А.9 и А.10.

Заключение

В процессе роботы над курсовым проектом «Построение и использование имитационных моделей» была разработана и создана программа имитационной модели системы массового обслуживания с циклической дисциплиной с квантом q, тремя входными факторами и пятью выходными параметрами. Задачи, поставленные в ходе курсового проекта, считаются выполненными. На основе статистического анализа выходных данных были даны рекомендации по выбору оптимальных параметров системы.

Список литературы

Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-ие изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2008.

Советов Б.Я.Моделирование систем: Учебник для вузов 3-е изд., стер. - М.: Высшая школа.,2009.-295с.

Крылов Н.П., Самосвалов И.Т. Учебник по имитационному моделированию экономических процессов. 3-е изд, - Москва 2009- 458с.

Труб И.И. Объектно-ориентированное моделирование на C++, издательство СПб.: Питер; 2008- 346с.

Приложение А

На рисунках А.1, А.2, А.3, А.4, А.5, А.6, А.7, А.8 приведены графики контрольных прогонов для каждого эксперимента факторного плана представлены

Рисунок А.1 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =11, =8

Рисунок А.2 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =11, =8

Рисунок А.3 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =12, =8

Рисунок А.4 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =12, =8

Рисунок А.5 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=21, =11, =9

Рисунок А.6 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =12, =9

Рисунок А.7 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =12, =9

Так же рекомендуемыми параметрами использования системы являются параметры, указанные на графике А.9

Рисунок А.9 – Рекомендуемые параметры использования системы m=1, =11, =9

Рисунок А.9 – Рекомендуемый параметр коэффициента использования системы

Приложение Б

Расчет коэффициентов уравнения регрессии для коэффициента использования системы представлены ниже.

где

Для всех остальных выходных параметров коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются аналогично.