Задача 1

Анализ 10% банковских счетов населения региона, выделенных в результате бесповторного собственно-случайного отбора, показал следующее распределение:

Размер вклада, тыс. руб	До 1,0	1,0–5,0	5,0–10,0	10,0–15,0	15,0 и выше
Количество вкладов, %	20,0	25,0	40,0	10,0	5,0

Определите.

1. Средний размер вклада.

2. С вероятностью Р=0,954 установите возможные пределы для всей совокупности вкладов населения:

а) среднего размера вклада;

б) доли вкладов до 5 тыс. руб.

в) общей суммы вкладов.

Сделайте выводы.

Решение

1. Средний размер вклада.

Составим расчётную таблицу, которая по сути есть ряд распределения.

Интервал	Середина интервала	Количество вкладов, %
0,0–1,0	0,05	20,0
1,0–5,0	3,0	25,0
5,0–10,0	7,5	40,0
10,0–15,0	12,5	10,0
15,0–20,0	17,5	5,0

Рассчитываем средний размер вклада.

хср=0,05*0,2+3,0*0,25+7,5*0,4+12,5*0,1+17,5*0,05=5,885 руб.

Или, приближённо, хср=6000 руб.

2. С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для всей совокупности вкладов населения:

а) среднего размера вклада.

Предел ошибки рассчитывается по формуле:

Δ=t*μ; при вероятности Р=0,954 нормированное отклонение t=2 [стр. 36], то есть Δ=2*μ;

μ=; в нашем случае =10%, или =0,1

Так как в задаче принимается N=100%, то n=10.

Находим дисперсию σ2:

σ2=

σ2= (0,05–5,885)2*0,2+(3–5,885)2*0,25+(7,5–5,885)2*0,4+(12,5–5,885)2*0,1+

+(17,5–5,885)2*0,05=21,05

Тогда μ===1,376

Получаем: Δ=t*μ=2*1,376=2,752; получаем искомый интервал:

(5,885–2,752; 5,885+2,752), или генеральная средняя (средний размер вклада) лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954.

б) С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для доли вкладов до 5 тыс. руб.

Для доли имеем:

р=w±Δw – требуемая оценка.

Δ=t*μ, w=(20+25)/100=0,45=45,0%

При вероятности Р=0,954 нормированное отклонение t=2 [стр. 36].

Рассчитаем μ по формуле:

μ===0,222, или 22,2%.

Получаем:

Δ=2*22,2%=44,4%

Тогда пределы, в которых будет находиться доля вкладов до 5 тыс. руб., составят (45,0–44,4; 45,0+44,4)%, или (0,6; 99,4)% – искомый интервал.

в) С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для всей совокупности вкладов населения для общей суммы вкладов.

Для этого распространим выборочные данные на всю совокупность вкладов.

Так как генеральная средняя (средний размер вклада) лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954, то для 100% населения сумма составит (3,133*100; 8,637*100), или (313,3; 863,7) рублей.

Сделаем выводы.

Средний размер вклада, равный 5,885 руб., лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954. Доля вкладов менее 5000 руб. лежит в интервале (0,6; 99,4)%. Общая сумма вкладов находится в интервале (313,3; 863,7) рублей с вероятностью 0,954.

Задача 2

Имеются следующие данные о потерях рабочего времени на предприятии вследствие заболеваемости с временной утратой трудоспособности.

Год	Потери рабочего времени, чел.-дни
1	933,4
2	904,0
3	965,0
4	1014,1
5	1064,8
6	1122,9

1. Для определения тенденции изменения потерь рабочего времени проведите аналитическое выравнивание (подберите вид аналитической функции).

2. Отобразите фактические и теоретические (выровненные) уровни ряда на графике. Покажите ожидаемые уровни ряда на следующие 2–3 года, сделайте выводы.

Решение

Отобразим практические данные на графике.

1. Для определения тенденции изменения потерь рабочего времени проведём аналитическое выравнивание (подберём вид аналитической функции).

Из визуального анализа графика видно, что тенденцию потерь рабочего времени корректно представить в виде линейной функции. Найдём уравнение тренда с помощью Excel (для этого в меню «Параметры» выбираем: показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2):

Уравнение тренда имеет вид: y=42,257*t+852,8

2. Отобразим фактические и теоретические (выровненные) уровни ряда на графике.

График отображён на рисунке выше. Выровненные уровни ряда представим в таблице (находим с помощью уравнения тренда).

Год	Потери рабочего времени, чел.-дни	Выровненные уровни ряда.
1	933,4	895,057
2	904,0	937,314
3	965,0	979,571
4	1014,1	1021,828
5	1064,8	1064,085
6	1122,9	1106,342
7		1148,599
8		1190,856
9		1233,113

Покажем ожидаемые уровни ряда на следующие 2–3 года (прогноз сделан в таблице и рассчитан по уравнению тренда). График:

Сделаем выводы.

Представленные данные моделируются линейной функцией y=42,257x+852,8

С помощью уравнения получены прогнозные данные на три года вперёд: в 7 году потери рабочего времени составили 1148,599 человеко-дней; в 8 и 9 – 1190,856 и 1233,113 человеко-дней соответственно.

Задача 3

Имеются следующие данные по предприятиям отрасли:

Предприятия	Среднегодовая стоимость производственных фондов, тыс. руб.		Прибыль, тыс. руб.
	Предыдущий год	Отчётный год	Предыдущий год	Отчётный год
1	10000	12500	2000	2400
2	7400	7800	1560	1820

Определите:

1) Индексы рентабельности производства для каждого предприятия в отдельности (индивидуальные индексы).

2) Индексы рентабельности производства:

а) переменного состава;

б) фиксированного состава;

в) структурных сдвигов.

Объясните различие полученных результатов. Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Решение

1) Определим индексы рентабельности производства для каждого предприятия в отдельности (индивидуальные индексы).

Рентабельность рассчитывается по формуле:

R=

Предприятие 1.

Базисный год. R01=2000/10000=0,2, или 20,0%

Отчётный год. R11=2400/12500=0,192, или 19,2%

Предприятие 2.

Базисный год. R02=1560/7400=0,211, или 21,1%

Отчётный год. R12=1820/7800=0,233, или 23,3%

Составим расчётную таблицу.

Предприятие	Рентабельность, %
	Базисный год	Отчётный год
1	20,0	19,2
2	21,1	23,3

Индивидуальные индексы.

Предприятие 1.

IR1=19,2/20,0=0,960

Предприятие 2.

IR2=23,3/21,1=1,104

Получили индексы рентабельности производства для каждого предприятия в отдельности (индивидуальные индексы)

2) Определим индексы рентабельности производства.

Предприятия	Среднегодовая стоимость производственных фондов, тыс. руб.		Прибыль, тыс. руб.
	Предыдущий год	Отчётный год	Предыдущий год	Отчётный год
1	10000	12500	2000	2400
2	7400	7800	1560	1820
Итого	17400	20300	3560	4220

Составим расчётную таблицу

Предприятия	Предыдущий год		Отчётный год
	Среднегодовая стоимость производственных фондов, тыс. руб	Рентабельность, %	Среднегодовая стоимость производственных фондов, тыс. руб.	Рентабельность, %
1	10000	20,0	12500	19,2
2	7400	21,1	7800	23,3
В целом	17400	20,46	20300	20,79

Базисный год. R0=3560/17400=0,2046, или 20,46%

Отчётный год. R1=4220/20300=0,2079, или 20,79%

а) Определим индекс рентабельности производства переменного состава:

IRпер = R1/ R0=20,79/20,46=1,016

б) Определим индекс рентабельности производства фиксированного состава.

IRфикс ===1,017

в) Определим индекс рентабельности производства структурных сдвигов

IRстр= IRпер/ IRфикс =1,016/1,017=0,999

Объясним различие полученных результатов.

Индекс рентабельности производства переменного состава равен 1,016, этот индекс учитывает одновременно и влияние структурных изменений в составе совокупности, и изменение уровня качественного признака (рентабельности в нашем случае) у предприятий.

Индекс фиксированного состава равен 1,017, этот индекс учитывает только изменение уровня качественного признака (рентабельности) у предприятий. Индекс структурных сдвигов учитывает только влияние структурных изменений в составе совокупности.

Покажем взаимосвязь исчисленных индексов.

IRпер=IRфикс * IRстр, в нашем случае: 1,016=1,017*0,999

Задача 4

Оцените тесноту линейной связи признаков «онкологическая заболеваемость» и «работа со свинцом».

Работа со свинцом	Обследовано рабочих, чел.
	Всего	В том числе
		Больные онкозаболеваемостью	Здоровые
Да	36	28	8
Нет	144	62	82
Итого	180	90	90

Решение

В нашем случае необходимо рассчитать коэффициенты сопряжённости – коэффициент контингенции и коэффициент ассоциации.

Методика расчёта следующая.

Факторный признак	Результативный признак
	В том числе		Итого
	F	G
А	a	b	a+b
В	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	n

Коэффициент контингенции:

КК=; КК====0,278

Коэффициент ассоциации:

КА=;

КА===0,645

Видно, что связь присутствует, и достаточно заметная.

Задача 5

Имеются следующие данные по экономике страны (млрд. руб.):

Выпуск продуктов в основных ценах	3900
Выпуск рыночных услуг (за исключением условно исчисленных услуг финансовых посредников)	1100
Выпуск не рыночных услуг	900
Налоги на продукты и услуги	790
Прочие косвенные налоги	310
Экспорт товаров и услуг	430
Импорт товаров и услуг	350
Проценты, полученные банками по ссудам	290
Проценты, уплаченные банками за пользование средствами	165
Субсидии на импорт	45
Материальные затраты на производство продуктов и услуг в течение года	2175
-износ основных средств	405
-недоамортизированная стоимость выбывших основных средств	45
Прочие элементы промежуточного потребления (за исключением условно исчисленной продукции банков)	90

Определите валовой внутренний продукт в рыночных ценах.

Решение

Валовой внутренний продукт страны (ВВП) характеризует стоимость конечных товаров и услуг, произведённых резидентами и нерезидентами за отчётный период.

ВВП=∑ВВ-∑ПП+∑ЧН+(Э-И)+Δ(%)

ВВ – выпуск товаров и услуг.

ПП – промежуточное потребление.

ЧН – чистые налоги на продукты.

И – импорт.

Э – экспорт.

Δ(%) – разница полученных и уплаченных процентов банками.

Рассчитаем следующие показатели.

1. ВВ=3900+1100+900=5900 млрд. руб.

2. Промежуточное потребление (ПП):

ПП=2175 + 405 + 45+90=2715 млрд. руб.

3. Чистые налоги на продукты (ЧН):

ЧН=Н-С=790+310 – 45=1055 млрд. руб.

4. (Э-И)=430–350=80 млрд. руб.

5. Δ(%)=290–165=125 млрд. руб.

Тогда ВВП=5900 – 2715+1055+80+125=4445 млрд. руб.

Задача 6

Имеются следующие данные о распределении населения региона по 10% группам населения по уровню среднедушевого дохода.

	Базисный	Отчётный
Денежные доходы – всего	100,0	100,0
В том числе по 10 – процентным группам населения
Первая (с наименьшими доходами)	2,3	2,1
Вторая	3,7	3,3
Третья	5,2	4,2
Четвёртая	6,4	5,8
Пятая	7,6	7,2
Шестая	10,0	8,9
Седьмая	12,2	8,9
Восьмая	14,3	12,5
Девятая	16,7	21,4
Десятая (с наибольшими доходами)	21,6	25,7

Определите коэффициенты дифференциации доходов (коэффициент фондов), концентрации доходов Джини. Постройте график Лоренца.

Сделайте выводы.

Решение

Определим коэффициент дифференциации доходов (коэффициент фондов)

Кф=

Базисный год: Кф0 ===9,391; отчётный год: Кф1 ===12,238

Определим коэффициент концентрации доходов Джини.

Рассчитывается по формуле:

G=1–2*,

где сum yi – кумулятивная доля дохода (накопленная частость).

Коэффициент G изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем выше уровень неравенства (концентрации) в распределении, чем ближе к 0, тем выше уровень равенства.

Базисный год

Группа населения	Доля населения, xi	Доля в совокупном доходе, yi	Расчётные показатели
			Sum yi	xi*yi	xi*Sum yi
1	0,1	0,023	0,023	0,0023	0,0023
2	0,1	0,037	0,06	0,0037	0,006
3	0,1	0,052	0,112	0,0052	0,0112
4	0,1	0,064	0,176	0,0064	0,0176
5	0,1	0,076	0,252	0,0076	0,0252
6	0,1	0,1	0,352	0,01	0,0352
7	0,1	0,122	0,474	0,0122	0,0474
8	0,1	0,143	0,617	0,0143	0,0617
9	0,1	0,167	0,784	0,0167	0,0784
10	0,1	0,216	1,000	0,0216	0,1000
Всего	1,0	1,000		0,1000	0,385

Коэффициент К. Джини равен:

G=1–2*=1–2*0,385+0,1=0,33

Отчётный год

Группа населения	Доля населения, xi	Доля в совокупном доходе, yi	Расчётные показатели
			Sum yi	xi*yi	xi*Sum yi
1	0,1	0,021	0,021	0,0021	0,0021
2	0,1	0,033	0,054	0,0033	0,0054
3	0,1	0,042	0,096	0,0042	0,0096
4	0,1	0,058	0,154	0,0058	0,0154
5	0,1	0,072	0,226	0,0072	0,0226
6	0,1	0,089	0,315	0,0089	0,0315
7	0,1	0,089	0,404	0,0089	0,0404
8	0,1	0,125	0,529	0,0125	0,0529
9	0,1	0,214	0,743	0,0214	0,0743
10	0,1	0,257	1,000	0,0257	0,1
Всего	1,0	1		0,1000	0,3542

Коэффициент К. Джини равен:

G=1–2*=1–2*0,3542+0,1=0,3916

Построим график Лоренца.

% населения	Базисный период			Отчётный период.
	Доля дохода	Накопленная доля дохода при равенстве X0	Накопленная доля дохода фактически Y0	Доля дохода	Накопленная доля дохода при равенстве X1	Накопленная доля дохода фактически Y1
0,1	0,023	0,1	0,023	0,021	0,1	0,021
0,1	0,037	0,2	0,06	0,033	0,2	0,054
0,1	0,052	0,3	0,112	0,042	0,3	0,096
0,1	0,064	0,4	0,176	0,058	0,4	0,154
0,1	0,076	0,5	0,252	0,072	0,5	0,226
0,1	0,1	0,6	0,352	0,089	0,6	0,315
0,1	0,122	0,7	0,474	0,089	0,7	0,404
0,1	0,143	0,8	0,617	0,125	0,8	0,529
0,1	0,167	0,9	0,784	0,214	0,9	0,743
0,1	0,216	1,0	1,0	0,257	1,0	1,0

Базисный год

Ряд 1 – линия равномерного распределения, ряд 2 – линия фактического распределения (кривая Лоренца)

Отчётный год

Ряд 1 – линия равномерного распределения, ряд 2 – линия фактического распределения (кривая Лоренца)

Сделаем выводы.

Дифференциация доходов населения в отчётном году выросла по сравнению с базисным с 9,391 до 12,238; это говорит об увеличении неравенства доходов населения. Коэффициенты К. Джини составили 0,33 и 0,3916 соответственно в базисном и отчётном годах; это подтверждает увеличение неравенства доходов. Такой же вывод можно сделать из визуального анализа графиков М. Лоренца: неравномерность доходов увеличивается (заметен крен кривой линии вправо).

Задача 7

Предприятие работает с 25 сентября. Численность работников списочного состава была следующей: 25 сентября (вторник) – 180 чел., 26 сентября (среда) – 185 чел., 27 сентября (четверг) – 200 чел., 28 сентября (пятница) – 210 чел. Последние два дня месяца приходились на выходные дни.

Кроме того, известно, что число совместителей с 25 по 27 – 5 чел.; с 28 по 30 – 7 чел., а число работающих по договорам гражданско – правового характера с 25 по 27 сентября – 10 чел.; и с 28 по 30 – 12 чел. среднесписочная численность за октябрь – 180 чел., за ноябрь – 175 чел. В декабре число явок на работу составило 3960 человеко – дней, число неявок по всем причинам 1800 человеко – дней.

Определите среднесписочную численность работников за год.

Решение

Средняя списочная численность работников рассчитывается по формуле:

,

где Т – списочная численность за каждый календарный день месяца (численность в праздники и выходные приравнивается к численности предыдущего дня); Дкал – число календарных дней в месяце – независимо от того, работало предприятие или нет. Аналогично рассчитывается списочная численность лиц, работающих по договорам гражданско – правового характера.

Средняя списочная численность совместителей, а также лиц, работавших неполное рабочее время, определяется пропорционально отработанному ими времени. Расчётная формула.

Определяем среднесписочную численность персонала предприятия за сентябрь.

Число	Численность
25.09	180
26.09	185
27.09	200
28.09	210
29.09	210
30.09	210

===39,8=40 человек

Определяем среднесписочную численность совместителей за сентябрь.

Число	Численность
25.09	5
26.09	5
27.09	5
28.09	7
29.09	7
30.09	7

Т=(3*0,5*5+3*0,5*7)/6=18/6=3 человека

Определяем среднесписочную численность лиц, работающих по договорам гражданско – правового характера, за сентябрь.

Число	Численность
25.09	10
26.09	10
27.09	10
28.09	12
29.09	12
30.09	12

===2,2=2 человека

Определяем среднесписочную численность всех работников предприятия за декабрь.

В декабре число явок на работу составило 3960 человеко – дней, число неявок по всем причинам 1800 человеко – дней.

То есть, всего в декабре 3960 +1800=5760 человеко – дней.

Учтём, что в декабре 31 день, получим среднюю численность: 5760/31=185,8 человек=186 человек.

Сведём полученные данные в таблицу

Месяц	Среднесписочная численность
	Персонала	Совместителей	По договорам	Сумма
Сентябрь	40	3	2	45
Октябрь	180			180
Ноябрь	175			175
Декабрь	186			186

В итоге получаем:

Тср.сп=(45+180+175+186)/4=147 человек.

Список использованной литературы

1. Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

2. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие/ Под ред. проф. В.В. Глинского и к.э.н., доц. Л.К. Серга. Изд.З-е. – М.:ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002.

3. Статистика: Учебное пособие / Харченко Л-П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др., Под ред. В.Г. Ионина. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М.2003.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой, – М. – .Финансы и статистика, 2000.

5. Экономика и статистика фирм: Учебник /В.Е. Адамов, С.Д. Ильенкова, Т.П. Сиротина; под ред. С.Д. Ильенковой. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 1997.