I. Введение.
Экономико-статистический анализ, прогнозирование и его значение.
Методы составления прогнозов курсов валют.
II. Построение трендовой модели.
1) О трендовой модели.
2) Выбор математической функции. Расчет и анализ темпов роста курса доллара.
3) Расчет линейной и квадратичной модели на основе метода наименьших квадратов.
4)Расчет и оценка ср. квадратичного отклонения.
5) Вывод о несответствии моделей.
III. Экономический анализ.
1) Зависимомть между темпами роста инфляции и темпами роста курса доллара. Построение уравнения регресси на основе этой зависимости.
2) Анализ зависимости между динамикой роста курса доллара и разницей между спросом и предложением.
3) Анализ зависимости между ростом курса доллара брутто-оборотом торгов на ММВБ.
4) Вывод о переходе динамики роста курса доллара на новый уровень. и определение примерной даты перехода.
IV. Построение трендовой модели с учетом перехода темпов ростакурса на новый уровень.
1) Построение нового тренда.
2) Расчет среднеквадратичного отклонения и ошибки тренда в %.
3) Прогнозирование валютного курса с применением трендовой и регрессионной моделей.
V. Общие выводы о полученном тренде.
I.Введение.
Построение экономических моделей и их дальнейшее практическое применение в наше время приобретает большое значение. Грамотно построенная модель позволяет предвидеть и проконтролировать ту или иную экономическую ситуацию основываясь не на интуиции, а на достоверном анализе уже имеющихся данных. Во всех современных производственных и коммерческих фирмах, а также в банках важнейшим звеном в структуре управления является аналитический отдел. Задача такого отдела - разработка вариантов перспективного развития предприятия. Подобного рода планирование и прогноз осуществляется при помощи различных математическихмоделей. Такие модели заложены в основу компьютерного програмного обеспечения (типа “Statgraph”, “Статистика” и т.п.).
Курс рубля по отношению к американскому доллару является в нашей стране основным индикатором экономического положения (не беря в расчет последние пять месяцев, когда курс доллара силами ЦБ не выходит за рамки введенного в июле валютного корридора).Поэтому проводятся всевозможные попытки выявить динамику роста курса доллара и напрямую связать ее с уровнем инфляции в стране, ситуацией на валютной бирже и т.п. . А на основе полученныхмоделей делается прогноз.
Целями такого прогнозирования является стремление компаний и банков повысить эффективность принимаемых решений, улучшить страхование валютных рисков. Также прогнозные оценки используются профессиональными финансовыми спекуляторами (валютными диллерами, брокерскими конторами), играющими на разницекурсоввалют, ставокпроцента, курсов ценных бумаг на рынках различных стран и в различные интервалы времени.
Можно выделить 5 основных методов прогнозирования плавающих курсов валют,применяемых в настоящее время.
Первый подход базируется на теории эффективных валютных рынков, т.е. на модели равновесия в условиях совершенной конкуренции и концепции реальных ожиданий. В соответствии с ним на мировом валютном рынке присутствует множество продавцов и покупателей,вход на этот рынок относительно свободен и доступен,спрос и предложение гибко реагируют на изменение котировок, участниками рынка правильно учитывается вся доступная информация. Согласно этой концепции, невозможно сделать прогноз лучше рыночного.
Второй метод прогнозирования основывается на анализе временных рядов динамики курса валюты. При этом применяются стандартные эконометрические процедуры - выделяется тренд в развитии курса, циклические колебания, сезонная компонента, после чего выравненные прошлые тенденции экстраполируются на будущий период.
Среди практиков сейчас популярен “технический анализ” динамики курса. Базой этого метода также является выявление тренда. Однако главной задачей приэтом выступает правильное определение начала и конца тренда курса валюты. Такой подход не может рассматриваться как прогнозная модель в узком смысле слова, так ка здесь нет стремления установить уровень будущего курса - устанавливаются лишь время и направления изменения (поворотные точки) в тенденции развития котировок валюты.
Одним из распространенных подходов к прогнозированию валютных курсов является “фундаментальный анализ”, в рамках которого курс определяется в зависимости от изменения “фундаментальных факторов” (соотношения темпов роста денежной массы, реальных доходов, ставок процента, товарных цен в сравниваемых странах). При этом прогноз будущей динамики курса является производным от правильности предварительных прогнозов соответствующих параметров (количества денег, ВНП, инфляции и т.п.) в сравниваемых странах.
Наконец,”интуитивный”подход к прогнозированию валютных курсов. Поскольку динамика последних редко может быть обличена в строгую математическую форму или точно описана,то для ее прогнозирования применяется на практике такой метод,как свободная оценка специалистов,базирующаяся на опыте наблюдений за поведением рынка и участие в операциях на нем.
Однако неправомерно и непродуктивно противопоставление различных из перечисленных подходов. Наоборот, применение одного метода прогнозирования не должно исключать возможности использования других. При этом технический анализ пригоден для краткосрочного, а фундаментальный - для средне- и долгосрочного.
Из изложенных выше методик наиболее предпочтительным для простого неэкспертного анализа является построение трендовой модели с дальнейшим прогнозом. Данные для тренда берутся целиком за 1994 год.
II.Построение трендовой модели
1) О трендовой модели.
На практикенаиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются : укрупнение интервалов, сглаживание скользящейсредней, аналитическое выравнивание. Применение в анализе рядов динамики первых двухметодовпозволяетвыявить тренд дляегоописания, нополучать обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решениеэтой более высокогопорядка задачи - измерения тренда - достигается методоманалитического выравнивания .
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики являетсято, чтоосновнаятенденцияразвитияY рассчитывается как функция времени :Y = f(t)
Определение теоретических (расчетных) уровней Yпроизводится на основетак называемойадекватной математической функции ,которая наилучшим образом отображает основную тенденцию рядадинамики.Подбор адекватнойфункцииосуществляетсяметодом наименьших квадратов - минимальностью отклоненийсуммыквадратов между теоретическими Yи эмпирическими Yуровнями :
(1)
Значение уравнения(1) состоит в том, что при изучении тренда оно принимается в качестве критерия оценки соответствиярасчетных (теоретических)уровней сфактическими(эмпирическими) уровнями ряда динамики.
Важной проблемой при применении метода аналитического выравнивания, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретическиеуровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на этой основе трендовая модель может иметь полезное применение при прогнозировании и в других практических целях.
2)Выбор математической функции.
Для правильного выбора математической функции, на основе которой будет синтезироваться трендовая модель пранализируем базисные темпы роста курса доллара по мясяцам за 1994 год.
Для расчета показателей динамики напостояннойбазекаждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем (базисные показатели).
Расчитаембазисные темпы ростакурсадоллара, характеризующие отношениедвухуровней ряда и выражающиеся в виде коэффициентов.Темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровняна уровеньпринятый за постоянную базу сравнения (в данном случае декабрь 1993г.):
Tp = Yn /Yб
Итоги расчетов помещены в таб. 1
После расчетов и анализа можно говорить об относительно ровном увеличениии темпов роста курса доллара (примерно на 0.06-0.11 ежемесячно), и только во втором полугодии намечается некоторое изменение. Теперь разница между двумя месячными показателями возрасла до 0.25-0.36. Такое соотношение темпов роста наиболее близко для линейной и квадратичной зависимости. Динамика курса доллара изображенная на рис. 1 также напоминает нечто среднеее между линейной функцией и парараболой.
Для анализа динамики валютного курса за 1994 год и выявления общей тенденции его развития построим трендовую модель по двум математическим функциям : линейной и квадратичной. Временной интервал будет длиннойв 5 дней (торговая неделя).
3)Расчет линейной и квадратичной модели на основе метода наименьших квадратов
а)Линейная функция
Y = bt + a (2)
гдеaиb- параметры уравнения; t - обозначение времени.
Параметр b является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. По методу наименьших квадратов находим a и b
(3)
Дифференцируя выходим на следующую систему уравнений :
(4)
Для решения этой системы обычно применяетсяспособопределителей, позволяющий получать более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округлений в расчетах параметров:
Применительно к анализируемым данным для определения алгоритмов (4.1) и (4.2) составляется матрица расчетных показателей (таб. 2)
По итоговымданным таб.определяем по формуле (4.1) - а , по формуле (4.2) -b.
По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции(см.формулу (2)) :
Y=1171 + 39t
б) Квадратичная функция.
= a + b+ c(5)
гдеa , b , с- параметры уравнения;t- обозначение времени.
Параметрс характеризует постоянное изменениеинтенсивности развития (в единицувремени) ,апараметрыaи bидентичны параметрам уравнения (2). Вычисляем параметры функции (5)наосноветребований метода наименьших квадратов :
(6)
Дифференцируя получаем следующую систему уравнений : (5)
Определяем величины параметров уравнений:
Применительно к анализируемым данным для определения алгоритмов (5.1) , (5.2) и (5.3) составляется матрица расчетных показателей (таб.2)
По итоговымданным таблицыопределяем по формуле (5.1) -а,по формуле (5.2) - b,по формуле (5.3) - с .
По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции (см.формулу (3)) :
= 1998863 + 314 +2.44
Таким образом, ванализетренда ряда динамики табл.2по двум математическим функциям (2) и (3) синтезированы трендовые модели:
1- Y =1299 +31
2- Y=65088 +73 +2
Правильность расчетов проверяется по равенству:
3)Расчет дисперсий
Для решениявопроса, какаяиз этих моделей является наиболее адекватной, сравниваются ихстандартизованные ошибки аппроксимации:
( 6 )
По итоговым данным таб. 2 определяем по формуле (6) стандартные ошибки аппроксимации:
для линейной модели :=219.7 руб.
для квадратичной модели :=686.33 руб.
Из сравнения полученных значений стандартной ошибки аппроксимации следует,что по критерию минимальности предпочтение следует отдатьтрендовой модели (4.3) синтезированной на основе линейной функции (2).
Полученный трендизображен на графике (1) .Однако видно,что отклонение фактическихуровнейотрасчетныхдовольновелико.Об этом же говорит довольно большое ср.квадратическое отклонение (6.1) .Рассчитаем ошибку тренда в процентах по формуле :
Из этого следует,что в течение года направление трендаизменилось,т.е. произошел переход на другой уровень.Поэтому теперь постараемся определить в какое время произошел этот переход.Для этого предпримем следующее :
1-рассмотрим связьмеждутемпами инфляции и темпами роста курса доллара, а также изменение темпов роста курса
2-проанализируем изменение объемов продаж долларов навалютной бирже
3-рассмотрим соотношениемежду спросом и предложением долларов в течение года и его влияние на валютный курс
III. Экономический анализ
1) Зависимость между темпами роста инфляции и темпамироста курса доллара.
В нашем случаефакторным признаком х выступают темпы инфляции, а результативным у - темпы роста курса доллара. Это вполне естественно. В стране с высокими темпами инфляции курс ее валюты будет понижаться по отношению к валютам стран с более низкими темпами инфляции, и, в свою очередь, обесценение национальной валюты стимулирует рост внутренних цен. Покажем наглядно, что темпы инфляции показывают направление и примерные параметры курсовых изменений.
Определим тесноту связи между этими двумя параметрами.Это выполняется посредством определения показателя коэффициента корреляции r. Матрица расчетных показателей приведена втаб.1 . Определяем значениеrпо формуле :
Полученная величинаозначает, что установленная по уравнению регрессии (10) связь между динамикойтемпаростаинфляциии курса доллара очень высокая (в соответствии со шкалой Чеддока).
Из значения = 0.960 следует,что 96% общей вариации объясняется изменением факторного признака (т.е.темпов инфляции).
Анализируя графики (см. рис 2) измененния темпов роста курса доллара и темпов роста инфляции можно также заметить , что аппроксимирующая функция должна скорее всего быть в виде линейной зависимости :
Y = a + bx(10)
Поэтому синтезируем по уравнению (10) математическую модельдля анализа динамики валютного курса.
Для определения параметров этого уравнения наосновеметода наименьших квадратов(1):
(10.1)
Находим частные поизводные по а и b , откуда получаем систему нормальных уравнений:
(11)
Решения этой системы:
Применительно к анализируемым данным для решения алгоритмов (11.1) и (11.2)составляетсяматрицарасчетныхпоказателей (таб. 1)
По итоговымданным(таб.1)определяем параметры уравнения регрессии (10) по формуле (11.1) -а , по формуле (11.2) -b .
Значения этихпараметров необходимы для синтезирования математической модели зависимости курса доллараотинфляции. Подставляя значениявычисленныхванализе параметров в уравнение регрессии (10),получаем:
=0.15 + 0.86X(11.3)
Определим среднее квадратическоеотклонениерезультативного признака от выравненного значения по формуле:
; =0.11
Определим фактическоезначение t-критерия для параметра aпо формуле:
;=4.45
ПриX = 17.57/10=1.76 определяем среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней по формуле:
;=0.62
Определим фактическоезначение t-критерия для параметраa по формуле:
;=16.21
Полученные значенияисравниваются с критическим, который получают по таблице Стьюдента с учетомпринятого в экономико-статистических исследова-ниях уровня значимости=0.05 и числа степеней свободы k=10-2 табличное критическоезначение =2.3.
Сравнив фактичекие и табличные значения t-критерия (>
* Таким образом мы выявили, что степень связи между темпами инфляцииивалютногокурсаочень высокая. Это же подтверждает и график (рис.2), на котором до августа прослеживается довольнопропорциональный рост инфляции и курса.Однаконачинаясавгуста темпыроста курса резко начинают увеличиваться, а за сентябрь и вовсе выравниваютсясинфляционными. Происходит“скачок” в результате которого происходит переход на другой уровень. Что же является этому причиной?
Во второй половине года началось покрытие бюджетного дефицита за счет денежной эмиссии. Во второй же половине августа произошла дестабилизация на валютном рынке. Ей предшествовал длительный периодумеренногороста курса доллара (по тенденции 3.5-4%в месяц,или50-60% в год), что было заметно ниже инфляции и вело к укреплениюреального курса рубля. В августе сложившийся уровень курса доллара был признан руководством Центрального банка заниженным,что в совокупности с ожиданиями сезонного ускорения темпов инфляции автоматически вело к переходунадругойуровень темпов его роста.
Следовательно именно в августе меняется тенденция. Определим приблизительную дату ее начала.
Проанализируем еще раз график на котором изображена динамика роста курса доллара (рис.1). Как видно отход от прежней тенденции произошел в период с 8 по 12 августа,а начинаяс 29-2 августа уже можно говорить о движении по новой тенденции. Ей соответствует рост приблизительно на 15% в месяц.
Кроме того расчеты средних уровней ряда динамики этих двух периодов показывают,что действительно поризошел переход на новую тенденцию. Средний уровень увеличился на 63% :
ср.уровень 1 периода:
ср.уровень 2 периода:
Ноябрьские (14-15%) и декабрьские (17-18%) темпы инфляции объясняют рост темпов курса доллара в сентябре-декабре. Искусственное сдерживание не может продолжаться вечно - иссякают валютные резервы. И регулирующие органы “отпустили” рубль в свободное падение.
2) Анализ зависимости между ростом курса доллара и брутто-оборотом торгов на ММБК.
переход нановыеориентиры темпов роста курса доллара также иллюстрирует график (рис.3), накоторомпоказанадинамикабрутто-оборота торгов на ММВБ по тенденции до и после августовскойдестабилизации рынка.Хорошовидно,чтодестабилизация сопровождалась резким ростом объема операций, который сменился спадом сразужепосле перехода на новую тенденцию. Этот спад оборота привел к стабилизации около нового характерногоуровняобъемовопераций. Этот новыйуровень стал несколько выше того, который был до дестабилизации:
Расчеты показывают,что он увеличился в 1.7 раза.
Таким образом анализируя график (3),иллюстрирующийизменение объемов продаж долларов,мы видим ,что и здесь в середине августа происходят переломный момент в развитии и переходнаболее высокий уровень,что также сказывается на динамике курса доллара.
3) Анализ зависимости между динамикой курса доллара и разницей в спросе-предложении.
Как в определении цены любого товара главным фактором является соотношение спроса на этот товар и его предложение на рынке, таки курс определяется на валютной бирже в результате взаимодействия спроса и предложения. Известно, что прибыль, которую приноситбанкам кредитование операций по импорту, значительно превышает прибыль от операций с частными лицамипокупле-продаже валюты. Следовательно, основными агентами, определяющими долларовый спрос и рублевое предложение навалютнойбирже, являются импортеры. Они же заинтересованы в более медленном падении курса рубля по сравнению с ростом инфляции. Т.о. крупные импортеры скоординированными действиями сдерживают падение курса в своих интересах, обеспечивая прибыльность операций по импорту. Ониограничиваютрублевоепредложение. Политикуна стабилизацию курса активно проводит и правительство, обязывая ЦБ проводить валютные интервенции.
Попытаемся проанализироватьпричины,которыеповлияли на ка-тастрофический обвал рубля на торгах 11.10.94 г.
Руководство ЦБ понимало необходимость приблизить темпыроста курсактемпаминфляции. Этого требовали и интересы экспортеров. Поэтому было принято решение не предпринимать напредстоящих торгах валютной интервенции. Коммерческим банкам, представляющим интересы импортеров, стало известно опланируемой тактике ЦБ. Они предприняли скоординированные действия с тем , чтобы вызвать шок. В отсутствие валютной интервенции они сформировали валютноепредложениетаким образом, чтобы резко снизить курс. Известно,что не все заявленные рубли реально былипредъявленык оплате. Помнению экономистов целью такой операции было пресечь действия ЦБ по девальвации рубля и продолжить политикуискусственного сдерживания курса, что прекрасно удалосьсделать.
Кроме того, как видно из графика (рис. 4) спрос на долларыбылво всехмесяцахгода выше предложения. И даже в относительно спокойные летние месяцы, когда все уверились в наступившей твердостирубля, спрос был выше:в июне - на 42 млн.долларов, в июле - на 101 млн., а в августе - даже на 312 млн.долларов.Еслисопоставитьцифры,то мы увидим,что за 7.5 месяца (с января по середину августа) суммарный объем спроса на долларысоставил10.2 млрд., азапоследующие лишь 2.5 месяца (с середины августа по октябрь,когда курс переходит на новуютенденциюроста)- 13млрд. долларов. Поэтому вряд ли можно считать “черный вторник” неожиданным.
Из проделанноговышеанализа видно, что переход темпов роста курса на другой уровень произошел всерединеавгуста,ичто именновэтотпериод ( с середины августа по середину октября) зародились причины,вызвавшие “черный вторник”.
IV. Построение нового тренда с учетом перелома.
Таким образом, определив время перехода на другой уровень синтезируем 2 новые модели трендов. Их построение аналогично построению первого тренда (см. стр.4),а результаты рачетов преведены в табл. (3).
Мы получаем следующие 2 модели:
1-Y= 1429 +21.88t (12)
( см. рис. 5 )
2-Y = 2229 + 76.20t (13)
Расчитываем дисперсию.
=177.87 руб.
Ошибка тренда составит:
По 2-ой модели экстраполируем курс на январь 1995г.
Для прогнозирования возможного уровня курса доллара в модель (13) подставляемt=19...22.
Точечный пргноз.
1ая неделя января..................3667.59 руб.
2ая ......................................3753.78 руб.
3ья........................................3829.98 руб.
4ая........................................3906.17 руб.
Интервальныя прогноз.
Осуществляется по формуле:
( 14 )
- коэф. доверия по распределению Стьюдента (для N-K=16, =2,1 при достоверности в 95% );
1ая неделя января..................3311.85---4023.33 руб.
(ср. курс 3756)
2ая ......................................3398.04---4109.52 руб.(ср. курс 3811)
3ья.......................................3474.24---4185.72 руб.
(ср. курс 3909)
4ая.......................................3906.17---4261.91 руб.
(ср курс 3947)
Вывод: все значения попадают в полученные интервалы.
Таким образом курсдоллара на конец января по полученной модели будет равен приблизительно 3900 рублей.
В соответствиисразработанной моделью корелляционной связи можно также по заданному значениюуровняинфляцииопределить темп роста курса доллара.
В январе1995года уровень инфляции составит приблизительно 15%. Темп роста т.о.составит:
T=3.29*1.15=3.78
по сравнениюс базисным уровнем.
Подставляя это значение вмодель (11.3) получаем:
Y=0.15+0.86*3.78=3.4,
где Y -темпростакурса доллара вянваре 1995г.Следовательно наконецянваря курс доллара составит приблизительно 4200 рублей (3.4*1249).
V. Выводы.
Несмотря на довольно невысокий % ошибки довольно трудно говоритьо достоверности модели в целом. Во-первыххоть точечный прогноз на январь 1995 года близок к истиным значениям, большие отклонения (порядка 350 рублей в обе стороны) в интервальном прогнозе сильно смазывают картину и дают лишь представление об общей тенденции ростакурса доллара. Во-вторых сама тенденция роста курса доллара достаточно нестабильна поскольку подвергается влиянию множества факторов, которые сложно предугадать (в первую очередь это всевозможные политические изменения). Например если использоватьисходную модель для прогноза на более долгосрочный период, то отклонения будут очень большими. Динамика роста курса доллара конца 1994 года никак не увязывается с тем, что сейчас вот уже почти полгода курс доллара не претерпевает никаких серьезных изменений и с июля держится в пределах 4400-4500 руб. за доллар. Объявленные недавно новые границы коридора (4550-5150 руб.) подтверждают предположения об относительно стабильном дальнейшем развитии курса доллара в условиях полного контроля ЦБ и при почти постоянном небольшом превышении долларового предложения.
Но все-таки необходимо отметить, что трендовая модель является более
приемлемсой для осуществления прогноза курса доллара, чем например модель множественнойлинейной регресси, где в качестве зависимых переменных по которым осуществлялся бы прогноз выступали бы : разница между спросом и предложением, объем продаж, и т.п. Связано это с тем, что время (зависимая переменная ) является по сущеятву ключевы. м фактором, акумулирующим различные влияния на результативный признак