Алгебра множеств лежит в основе многих разделов современной математики. Для нее практически невозможно установить точную дату открытия и назвать имя первооткрывателя. Алгебра множеств постепенно развивалась на фоне многочисленных попыток найти строгое математическое основание для Аристотелевой логики. Некоторые предпосылки этой алгебры содержатся в трудах Лейбница. В разработку основ этой алгебры внесли значительный вклад многие известные логики и математики (Ж.Д.Жергонн, А. де Морган, Дж. Венн и др.). Но особая заслуга в ее развитии и распространении принадлежит Леонарду Эйлеру.

В 1736 г. в "Письмах к германской принцессе о различных физических и философских материях" Л. Эйлер в популярной форме изложил свое понимание Аристотелевой силлогистики. При этом он использовал наглядные схемы, которые впоследствии получили название "круги Эйлера". В дальнейшем круги Эйлера стали использовать не только в учебных курсах по логике, но также и при изложении азов многих основополагающих разделов современной математики, в которых используется алгебра множеств. Здесь воспользуемся этими наглядными отображениями, позволяющими достаточно быстро овладеть абстрактными понятиями алгебры множеств.

Идеи Эйлера были развиты в работах французского астронома и математика Ж. Д. Жергонна. Жергонну удалось в опубликованной в 1817 г. работе "Основы рациональной диалектики" представить все классы суждений, выделенных Аристотелем, с помощью соотношений между множествами. Эти соотношения получили в математике и логике название "жергонновых отношений". Рассмотрим их более подробно.

В основе силлогистики лежат простые суждения, представленные четырьмя типами: A – общеутвердительное (все X есть Y); E – общеотрицательное (все X не есть Y); I – частноутвердительное (некоторые X есть Y); O – частноотрицательное (некоторые X не есть Y). Отметим, что в трудах Аристотеля смысл суждений отличается от общепринятого – этот смысл вместе с обозначениями утвердился в логике после работ известного схоласта Петра Испанского. Сам Аристотель не употреблял в суждениях двусмысленную связку "есть" и формулировал суждения следующим образом:

A: Y присуще всем X

E: Y не присуще всем X

I: Y присуще некоторым X

O: Y не присуще некоторым X

Термины X и Y можно представить как некоторые совокупности (множества, классы) в виде кругов Эйлера. Жергонн выделил 5 возможных соотношений между ними (рис. 1).

Рис. 1

Каждый тип Жергонновых отношений имеет собственное название:

G1 – совпадение или равнозначность;

G2 – левостороннее включение;

G3 – частное совпадение;

G4 – правостороннее включение;

G5 – несовместимость.

Жергонн показал, что каждый тип Аристотелевского суждения соответствует некоторым типам этих отношений, в частности:

типу A соответствует G1 или G2;

типу E соответствует G5;

типу I: соответствует G1 или G2 или G3 или G4;

типу O: соответствует G3 или G4 или G5.

Например, суждение типа I означает, что некоторая непустая часть множества или класса X содержится в Y. Посмотрев на рисунок, нетрудно убедиться, что этому условию удовлетворяют все типы Жергонновых отношений кроме G5. В логике слово "некоторые" используется в широком смысле: "хотя бы один, но не исключено, что и все". Жергонновы отношения часто использовались для строгого обоснования не только правил вывода для простого категорического силлогизма, в котором в качестве посылок используются только два суждения, но и для более сложных умозаключений, когда в качестве посылок допускается произвольное число суждений. Вершиной анализа такого рода можно считать работы английского логика и философа Дж. Венна (1834–1923).

Однако применение жергонновых отношений в логике связано с рядом трудностей. Главной из них является то, что практически для всех типов суждений (за исключением типа E) можно использовать несколько вариантов Жергонновых отношений, и при увеличении количества исходных суждений число возможных вариантов анализа возрастает в степенной зависимости. Если допустим, рассматриваем сложное рассуждение, содержащее много суждений, то должны для каждого суждения просмотреть все соответствующие ему варианты Жергонновых отношений. Однако работы Эйлера, Жергонна, Венна и многих других стали своеобразной "затравкой" для создания алгебры множеств.

С точки зрения современной математики алгебра множеств относится к классу алгебраических систем, т.е. структур, в которых имеются (даны):

носитель – некоторая совокупность объектов (например, числа, геометрические фигуры, слова, множества и т.д.);

совокупность отношений (например, больше, меньше, равно и т.д);

совокупность операций (например, сложение, умножение, пересечение и т. д).

Заметим, что смысловая разница между отношением и операцией заключается в следующем: если задано некоторое отношение между объектами, то о нем можно только сказать, истинно оно для данных объектов или нет (например, "2 > 3" является ложным отношением), в то время как в результате некоторой операции с объектами получается некоторый новый объект (например, "2+3=5").

В алгебре множеств носителем является некоторая совокупность множеств. Основными понятиями алгебры множеств считаются понятия множество и элемент. Соотношение между ними называется отношением принадлежности и обозначается знаком "О". Запись

bОA

переводится с символического языка как "bявляется элементом множества A" или "элемент b принадлежит множеству A". Если известны все элементы множества (например, a, b и c), то общепринятой является такая запись множества:

A={a,b,c}.

В этом случае элементы множества принято заключать в фигурные скобки. Кроме того, при перечислении элементов порядок несущественен, т.е. A={a,b,c}={c,b,a}={a,c,b} и т.д.

Множества могут быть заданы двумя способами: с помощью формулировки характерных признаков (например, множество K цифр, обозначающих четные числа) или с помощью перечисления элементов (например, K = {0, 2, 4, 6, 8})

В современной математике пока что нет четкого определения отношения принадлежности. В алгебре множеств этой неопределенности можно избежать, если считать, что это отношение связывает два разных типа объектов ("элемент"О"множество"), но ни в коем случае не должно быть связи типа "множество"О"множество".

Между множествами устанавливается другое вроде бы похожее, но в то же время принципиально отличающееся отношение – включение, структурные свойства которого в современной математике определены достаточно четко и однозначно. Рассмотрим его более подробно. Допускаются два отличающихся варианта этого отношения:

"М" – строго включено;

"Н" – включено или равно.

Запись AМB означает, что множество A включено в множество B, т.е. все элементы множества A являются одновременно элементами множества B, но при этом невозможно равенство этих множеств. Запись AНB означает, что множество A включено в множество B, но при этом не исключается, что они могут быть равными. Изображение отношения включения с помощью кругов Эйлера показано на рисунке 2. В данном случае не обязательно использовать правильные круги. Для изображения множества может подойти любая замкнутая фигура.

Рис. 2

Если множества заданы с помощью перечисления элементов, то отношение включения (или невключения) одного множества в другое множество можно легко установить, если сравнить элементы этих множеств. Например, если заданы множества

P ={a, b, c, d, e}; Q ={b, d, a}; R ={a, c, f},

то можно легко установить, что QМP, но в то же время отношение RМP для этих множеств неверно, так как элемент f из множества R не является элементом множества P.

Порядок перечисления элементов для множеств несущественен. Например, множества {b,d,a}; {a, b, d}; {d, a, b} – это по сути одно и то же множество. Если же порядок перечисления множеств является существенным, то в этом случае имеем дело не с множествами, а с последовательностями или с упорядоченными множествами (некоторые сведения о них приведены ниже). Математические свойства последовательностей существенно отличаются от математических свойств множеств.

Заметим, что несходство отношений принадлежности и включения можно иллюстрировать следующим примером. Допустим, aОP, из чего следует, что a является элементом, а P – множеством. Можно ли в этом случае записать aНP? Оказывается, нельзя, потому что отношение включения применимо только для двух множеств. Правильной в этом случае является запись {a}Н P, в которой слева записан не элемент, а одноэлементное множество.

Рассмотрим еще одно отношение между множествами – отношение равенства. Множества равны, если у них одни и те же элементы. Для доказательства равенства двух множеств, особенно в тех случаях, когда у них большое или бесконечное число элементов, используется следующее определение.

Определение 1. Множества A и B равны, если справедливо как AНB, так и BНA.

Если множества связаны отношениями AМB или AНB, то в этом случае множество A называют подмножеством множества B. Среди всех возможных подмножеств произвольного множества A обязательно содержится также и само множество A. Другими словами, для любого множества A всегда справедливо AНA.

В алгебре множеств особо выделяется и часто используется множество, которое называется "пустое множество" (обозначается "Ж"). Интуитивно пустое множество означает множество, не содержащее никаких элементов. Но это интуитивное определение не раскрывает полностью его сути и роли в алгебре множеств. В большей степени его суть раскрывается в следующем предложении, которое можно отнести к одной из аксиом алгебры множеств:

Пустое множество включено в любое множество.

Для пояснения смысла этого предложения рассмотрим следующий пример. Пусть A – множество крокодилов. Ясно, что это множество может иметь какие-то подмножества. Например, множество C крокодилов, живущих в зоопарках. Тогда отношение между A и C можно записать как CМA. Рассмотрим еще одно подмножество множества A: подмножество крокодилов, говорящих на русском языке. Ясно, что это пустое множество и, тем не менее, можем его считать подмножеством множества A. В математических рассуждениях, когда нам надо доказать, что данное множество X не существует (или существует), сводим доказательство существования к доказательству отношения X=Ж (или X№Ж). Часто такой метод позволяет намного упростить доказательство.

Если множество задано перечислением элементов, то часто интерес представляет совокупность всех подмножеств этого множества. Например, для множества A={a, b, c} такая совокупность состоит из восьми подмножеств:

Ж, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Само множество А является подмножеством самого себя. Известно также простое соотношение, позволяющее сразу же узнать общее число всех возможных подмножеств множества, содержащего ровно N элементов. Оказывается, что для любого N такое число равно 2N. Например, для нашего множества A={a, b, c} число всех возможных подмножеств равно 23.

Обычно во многих рассуждениях используется некоторый набор множеств. Такой набор называется в алгебре множеств системой множеств. В систему множеств при этом помимо пустого множества включается и универсум, т.е. множество, для которого все множества системы множеств являются подмножествами. Другими словами, системой множеств является некоторая совокупность подмножеств некоторого множества, принятого за универсум. Например, для множеств планет, комет, звезд и т.д. в качестве универсума можно принять множество астрономических объектов.

Для универсума нет общепринятых обозначений. Далее будем обозначать его символом U.

Перейдем к операциям. Начнем с операции дополнения, которая может быть определена только тогда, когда для системы множеств задан универсум.

Определение 2. Дополнением множества A называется множество , содержащее все элементы универсума, которые не являются элементами множества A.

В логике дополнению множества соответствует связка "не". Например "не красный" – любой возможный цвет кроме красного. Обычно дополнение множества обозначается с помощью черты, расположенной над символьным обозначением этого множества. Например, является обозначением дополнения множества .

Пример 1. Пусть U={a, b, c, d} и P={a, c}. Тогда ={b, d}.

Определим еще две основные операции – пересечение и объединение множеств.

Определение 3. Пересечением множеств A и B называется множество C, все элементы которого являются одновременно элементами множеств A и B.

Операция пересечения множеств обозначается символом "З". Символически определение 3 можно записать как формулу

C = AЗB.

Например, пересечением множества всех студентов данного вуза и множества всех участников КВН, является множество студентов данного вуза, участвующих в КВН. Другой пример: пересечением множества всех чисел, делящихся на 2, и множества всех чисел, делящихся на 3, является множество всех чисел, делящихся на 6.

В логике операции пересечения соответствует логическая связка "И" (обозначается как Щ или &). Если речь идет об объектах со свойствами P или Q, то логическая формула PЩQ означает, что речь идет только об объектах, которым присущи оба этих свойства. Если, допустим, свойствам P и Q соответствуют некоторые множества SP и SQ, то пересечение этих множеств SPЗSQ, будет состоять из элементов, каждому из которых одновременно присущи свойства P и Q

Пример 2. Пусть A={a, b, c, d} и P={a, c, f}. Тогда AЗP = {a, c}.

Определение 4. Объединением множеств A и B называется множество C, все элементы которого являются элементами по крайней мере одного из этих множеств.

Операция объединения множеств обозначается символом "И". Символически определение 4 можно записать как формулу

C=AИB

В логике операции объединения соответствует логическая связка "ИЛИ" (обозначается "Ъ"). Если речь идет об объектах со свойствами P или Q, то логическая формула PЪQ означает, что речь идет только об объектах, которым присуще хотя бы одно из этих свойств. При этом допускается, что объекты, которым присущи оба этих свойства, также относятся к этому классу объектов.

Пример 3. Пусть A={a, b, c, d} и P={a, c, f}. Тогда AИP = {a, b, c, d, f}.

Обратите внимание, что в примере 3 элементы a и c, которые содержатся в каждом из множеств A и B, в объединении C не удваиваются, а содержатся как однократные. В математике и ее приложениях иногда используют множества с кратными элементами (они называются мультимножествами), но нам такие множества не понадобятся. В таких множествах нарушаются некоторые законы обычной алгебры множеств.

Операции дополнения, пересечения и объединения являются основными операциями алгебры множеств.

Определение 5. Разностью множеств A и B называется множество C=A\B, которое содержит только те элементы множества A, которые не являются одновременно элементами множества B.

Пример 4. Пусть A={a, b, c, d} и B={a, c, f}. Тогда A\B = {b, d}.

Важно отметить, что разность множеств является производной операцией. Это означает, что ее можно выразить с помощью других основных операций – для разности множеств справедливо следующее соотношение:

A\B = AЗ.

Если в примере 4 задать универсум, например, U = {a, b, c, d, e, f}, то нетрудно убедиться в справедливости этого равенства:

= {b, d, e}; тогда A\B =AЗ= {b, d}.

В то же время операцию дополнения можно выразить с помощью операции разности: =U\A. В некоторых версиях алгебры множеств операция разности множеств представлена как основная операция, а операция дополнения – как производная операция. Однако основные соотношения (или законы) алгебры множеств при этом остаются неизменными.

На рисунке 3 соответствующие операции над множествами изображены с помощью "кругов Эйлера". Серым цветом показаны результаты операций.

Рис. 3

Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Для множеств A и B, у которых нет общих элементов, справедливы следующие соотношения:

AЗB = Ж ; A Н ; B Н.

Ситуацию, соответствующую этим соотношениям, можно наглядно отобразить с помощью диаграммы Эйлера (рис. 4).

Рис. 4

Теперь у нас вполне достаточно понятий для того, чтобы отобразить в виде математической формулировки заданные суждения. Например, суждение "Все члены палаты лордов носят титул пэра" то расчленяется на субъект "члены палаты лордов" (A) и предикат "носят титул пэра" (B). Тогда математической формулой данного суждения будет

A Н B.

Это означает, что все члены палаты лордов включены в множество тех, кто носит титул пэра. Более сложное суждение, например, "Все члены палаты лордов носят титул пэра и находятся в здравом рассудке" можно выразить, используя два предиката: "носят титул пэра" (B) и "находятся в здравом рассудке" (С). Тогда получим следующую математическую формулировку:

AН(B З C). (1)

В случае, когда в суждении имеются предикаты с отрицаниями, используем в математической записи операцию дополнения. Например, суждение "Все члены палаты лордов носят титул пэра и не принимают участия в скачках на мулах", можно записать как

AН(B З), (2)

где D – предикат "принимают участие в скачках на мулах".

Если использовать диаграммы Эйлера, то получим наглядное изображение формул (1) и (2) (рисунки 5 и 6).

Рис. 5

Рис. 6

Количественные соотношения в диаграммах Эйлера (т. е. в данном случае – площади фигур) не принимаются во внимание. Среди наших знаний немало таких, когда не знаем, чему равно число элементов множества, но это не мешает нам знать о том, что некоторые из таких множеств строго включены в некоторые другие множества, или что некоторые из таких множеств точно не содержат общих элементов с некоторыми другими множествами. Количественный анализ множеств во многих случаях является составной частью наших знаний.

В математическую форму суждений можно перевести многие предложения естественного языка.

Законы алгебры множеств – это по сути теоремы, которые выводятся из основных определений и аксиом. Часто приводятся 26 или 28 законов алгебры множеств. Приведем без доказательства лишь некоторые из них, необходимые для ясного понимания дальнейшего. Пусть A, B, C – некоторые произвольные множества в универсуме U. Тогда законами алгебры множеств являются следующие соотношения между ними.

1. =A.

Пример 5. Пусть U={a, b, c, d} и P={a, c}. Тогда ={b, d} и ={a, c}=P.

В алгебре множеств это соотношение (двойное дополнение) носит название закон инволюции. В логике этот закон известен под названием закон отрицания отрицания (или закон двойного отрицания): не (не-A) – то же самое, что и A.

2. A З = Ж (множество и его дополнение не имеют общих элементов)

В логике этому закону соответствует закон непротиворечия (утверждение и его полное отрицание логически несовместимы).

3. A И = U.

В логике этому закону соответствует закон исключенного третьего (совмещение любого утверждения и его полного отрицания не допускает присутствия какого-либо третьего промежуточного варианта).

Следующие соотношения характеризуют более подробно свойства пустого множества и универсума:

4. = U;

5. = Ж

6. AЗЖ = Ж;

7. AИЖ = A;

8. AЗU = A;

9. AИU = U.

Следующие законы алгебры множеств связывают друг с другом отношения включения и равенства:

10. Из AНB следует:

10a. AЗB = A;

10b. AИB = B;

10c. ИB = U;

10d. AЗ = Ж.

Соотношение 10d можно выразить также с помощью операции разности множеств:

10e. Из AНB следует A\B = Ж.

Следующие законы в логике и алгебре множеств называются законами де Моргана:

11a. =И;

11b =З.

И, наконец, приведем два закона, которые определяют основные свойства отношения включения. Их используют в дальнейшем в правилах логического вывода.

12a. Если AНB и BНC, то AНC (закон транзитивности включения);

12b. Если AНB, то справедливо также и Н (закон контрапозиции).

В математической литературе приводятся разные способы обоснования этих законов. Многие из них весьма сложны для понимания. Здесь рассмотрим относительно простой способ, который называется комбинаторным.

Пусть нам необходимо вывести некоторые законы для двух множеств X и Y. Рассмотрим диаграмму Эйлера (рисунок 7), на которой изображены эти множества и объемлющий их универсум (U).

Рис. 7

Выделим на диаграмме участки a, b, c и d, которые не имеют внутренних границ, т.е. выполним разбиение нашего универсума на непересекающиеся друг с другом множества. Такое разбиение позволяет нам представить эти множества как элементы, из которых состоят универсум U и множества X и Y. Тогда для них справедливы соотношения:

U = {a, b, c, d}; X = {a, b}; Y = {b, c}.

Примем эти соотношения в качестве исходных данных и докажем для этого общего представления данной системы из двух множеств один из законов де Моргана =И. Тогда получим:

XЗY = {b};

= {a, c, d};

= {c, d};

= {a, d};

И={a, c, d};

сравнивая 2 и 5 заключаем, что =И, что и требовалось доказать.

Закон транзитивности (12a) интуитивно понятен. Рассмотрим обоснование закона контрапозиции (12b). Поскольку он действителен только в том случае, когда X Н Y, то придется немного изменить нашу исходную систему. Для этого примем, что множество, представленное в системе элементом a, равно пустому множеству, и поэтому его можно исключить из универсума. Тогда получим следующие исходные данные:

U = {b, c, d}; X = {b}; Y = {b, c}.

Ясно, что в этой системе соотношение X Н Y соблюдается. Приступим к доказательству.

= {c, d};

= {d};

сравнивая и , убедимся, что Н, что и требовалось доказать.

Литература

Алгебра и начало анализа – Высшая школа – М. 2003 г.

Алгебра – под ред. Бутинець К.К. – К . – 2000 г.