Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)


Прізвище,ім’я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна


Київ 2008 рiк.

Завдання 1


Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (*)


Розв’язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. (1)


Введемо позначення:


А≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - матриця системи,

Х ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з невідомих членів,

В ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з вільних членів.


1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Знайдемо обернену матрицю до даної:


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

де А11= (-1) 2·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=10-24=-14,А12= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-6+6) =0,А13= (-

1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-12+5=-7,А21= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4

·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-6-1=-7,А23= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-

6+5=-1,А32= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-15-3=-18.

det A = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 30-6-12+5+6-72=-49.


Тому


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:


X = - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=

=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тобто х1=1,х2=1,х3=1.

2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (2)


Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (3)


З рівняння (3) маємо:


х2= 1,х2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 1,х3 = 5-3·1-1=1.


Відповідь. дана система в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


її розв’язок (1; 1;1).


Завдання 2


Показати, що перші три вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (2,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,1,1), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = (5,7,10)


Розв’язання.

Для того, щоб вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,за умови, що α = β = γ = 0.


Тобто


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,


або


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тоді, система:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:


А = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса0.


Отже, вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса є їх лінійною комбінацією:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = b1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + b2 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ b3 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:


b1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

b2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

b3 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= detРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.


Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.

Отримали вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Відповідь. вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Завдання 3


Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.

A (0;

2), B (2;

3), С (1;

3).

Розв’язання.

рівняння АВ:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;

рівняння АС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;

рівняння ВС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої ВС: у = 3.

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - нормальний вектор прямої ВС, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;

2) -


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=0


х = 0 - рівняння прямої АК.

3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:


∟A = ∟BAK - ∟CAK,

де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

тому ∟ A = arctg 2 - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв’язком системи рівнянь даних прямих:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Маємо: К (0;

3).


Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;

(ВС): у = 3;

(АК): х=0;

∟ A = arctg 2 - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса;

К (0;3).


Завдання 4


Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):


а) Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса;

б) Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса;

в) Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Розв’язання:

а) Коли x прямує до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-3;


б) Здійснимо заміну змінних y = x - 2:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


розпишемо синус за допомогою формули Тейлора:


sin у = y - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+…


Тоді:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса1 - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса) +…=-1+0+…=-1;


в) Скористаємося визначенням числа e:


е = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


і здійснимо заміну змінних y = - 2x - 1:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = =

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= е2.


Відповідь. - 3; - 1; е2.

Завдання 5

Знайти похідну функції:


у = еsin x ln x


Розв’язання.

Скористаємося формулою диференціювання добутку і складної функції:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Відповідь. Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Завдання 5


Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:

1) знайти область визначення й область зміни функції;

2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;

3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;

4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;

5) знайти асимптоти графіка функції.


у = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Розв’язання.

1) Область визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль:


х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞),


область значень функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-∞; 0) U (0; +∞).

2) Точки розриву x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;

функція перетинає вісь y при х = 0, у = - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

3) Інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:

знайдемо похідну функції:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


похідна додатна при x < 0, тому функція при x <0 зростає,

похідна від’ємна при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,

похідна дорівнює 0 при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

знайдемо другу похідну функції:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


друга похідна дорівнює - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса при x = 0, тобто від’ємна, тому даний локальний екстремум - це локальний максимум.

4) Знайдемо інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:

друга похідна додатна в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞), тому в них функція випукла вниз;

друга похідна від’ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;

відповідно, точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину

5) Знайдемо асимптоти графіка функції:

при х→-∞ і х→+∞ функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна асимптота;

точки x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.

6) Побудуємо графік функції:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Відповідь.1) х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞), у є (-∞; 0) U (0; +∞);

2) точки розриву x = - 3 и x = +3;

функція перетинає вісь в т. (0; - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса);

3) функція при x <0 зростає,

функція при x > 0 спадає,

функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

у=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса при x = 0 - локальний максимум;

4) в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞) функція випукла вниз;

в інтервалі (-3; +3) функція випукла вгору;

точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину;

5) y = 0 - горизонтальна асимптота;

x = - 3 и x = +3 - вертикальні асимптоти.


Завдання 6


Знайти невизначені інтеграли:


а) Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, б) Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Розв’язання.

а) Здійснимо заміну змінних y = cos x - 4, dy = - sin x dx:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса;


б) Скористаємося формулою інтегрування за частинами:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Відповідь. Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса; Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Завдання 7


Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:


z (x,y) =x ln y + y Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Розв’язання.

Скористаємося формулою диференціювання і складної функції:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Відповідь. Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса; Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Похожие работы:

  1. • Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
  2. • Розв"язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
  3. • Знаходження оберненої матриці за формулою
  4. • Числові методи
  5. • Дослідження методів чисельного інтегрування
  6. • Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ...
  7. • Метод Жордана Гаусса
  8. •  ... забезпечення для розв'язку СЛАР методом Гауса
  9. •  ... перетворень для знаходження оберненої матриці
  10. • Визначення емпіричних закономірностей
  11. • Чисельні методи розв"язування крайових задач для ...
  12. • Термонапружений стан частково прозорих тіл з порожнинами за ...
  13. • Системы линейных уравнений
  14. • Захист від перенапруг
  15. • Шпаргалка по численным методам
  16. • Математические модели и методы обоснования управленческих ...
  17. • Оцінка точності при параметричному методі врівноваження
  18. • Автоматизація розрахунків легкового автомобілю
  19. • Обчислення матричних задач
Рефетека ру refoteka@gmail.com