Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр

Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротато­ре однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, вы­раженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения

(4.105)

. (4.105)

(4.107)

Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.

4.3.7.2. Обозначим величину и составим таблицу 4.5 воз­можных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. предста­вим его энергетическую диаграмму.

4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, одна­ко значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:

. (4.108)

Таблица 4.5.

Уровни жесткого ротатора

l	Символ уровня	Энергия Е,	Вырождение g=2l+1
0	S	0	1
1	P	2	3
2	D	6	5
3	F	12	7
4	G	20	9

Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.

Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями . Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр пред­ставляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел .

Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность эксперимен­тального определения момента инерции молекул и, следовательно, меж­атомных расстояний.

4.3.3. Волновые функции жёсткого ротатора

4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов и без каких-либо специальных сведений о дифференциаль­ных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь мини­мальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.

4.3.8.2. Прежде всего, выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):

(4.109)

В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже об­суждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением

(4.110)

4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции

(4.111)

На основании формул (4.50) и (3.28) функцию мож­но представить в виде

(4.112)

С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме

. (4.113)

Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции:

откуда следует (4.114)

4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем

(4.115)

Учтём что ,

(4.116)

Интегрирование уравнения (4.116) даёт

(4.117)

где – постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции

(4.118)

4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волно­вых функций , отвечающие максимальному и минимальному значе­ниям квантового числа m, а именно и , или что то же самое . Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям очень просто получаются последовательным действием операторов с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае

4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читате­лем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется сли­шком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей ред­ко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, по­этому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).

4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции и , с точностью до постоянного множителя:

для s-состояния и

для p- состояния и

для d- состояния и

для f- состояния и

4.3.8.8. Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция тре­бует только нормировки. Поскольку сомножитель уже нормирован, достаточно пронормировать функцию . Выделяя из эле­мента конфигурационного пространства (см. рис 4.3) все со­множители, определенные на переменной , получаем

и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид

(4.119)

Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями – степенями синусоиды .

4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с Двум из них с отвечает Нормировочный множитель находим из соотношения

.

Откуда следует: (4.120)

Функцию , необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая вниз или вверх на одно состояние

Определим нормировочный множитель для

Интегрируя с помощью подстановки и, следовательно полагая, получаем

, т.е.

4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору . Соответственно

(4.121)

(4.121)

(4.122)

Отсюда получаются d-функции

; .

Величины ;; представлены в таблице 4.6.

4.3.8.11. Аналогично получается весь набор f-функций

(4.123)

Все найденные s-, р-, d- и f-орбитали сведём в таблицу 4.6.

Таблица 4.6.

Сферические волновые функции

Уровень	l	m					Символ Y
s	0	0	1	1
p	1					– “ –
		0		1		– “ –
d	2					– “ –
						– “ –
		0		1		– “ –
f	3					– “ –
						– “ –
						– “ –
		0		1		– “ –

Полярные диаграммы волновых функций жесткого ротатора.

4.3.9.1 В разделе 3.2.7. были рассмотрены полярные диаграммы волновых функций плоского ротатора. Они же – графические образа фун­кции сомножителя Теперь проанализируем полярные диаграммы функции для чего будем откладывать на радиус-векторе, исходящем из центра под углом к оси z, значения функции (рис.4.6.).

4.3.9.2. В таблице 4.6 суммированы орбитали жесткого ротатора с комплексными сомножителями которые являются собственными функциями операторов полной энергии, квадрата момента импульса и его проекции на ось z. Однако, графический об­раз комплексных функций недоступен. На рис. 4.7. представлены полярные диаграммы действительных функций , получаемых как линейные комбинации аналогично построенным в разделе 3.2.6 функциям плоского ротатора. При этом, для состояний, описываемых такими действительными функциями утрачивается определенность в значении проекции момента импульса , но сохраняется постоянное значение энергии и модуля момента импульса. Как видно на рис. 4.6 и 4.7, число узловых плоскостей на полярных диаграммах равно квантовому числу l . Анализ знаков волновых функций указывает, что орбитали s- и d- являются четными, а p- и f- нечётными по отношению к операции инверсии.