1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін

Припустимо змінюється доход (). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності . Нехай цими точками є точки , , , на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву . Така крива називається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.

Рисунок 1. Рисунок 2

Припустимо, що змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2. Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)

.

Нехай зменшується. Тоді точка переходить у точку , а точка – у точку – нову точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності . Зменшимо ціну . Тоді точка переміститься в точку , а точка займе положення точки й т.д. З'єднавши точки , , , , одержимо криву ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох товарів при зміні ціни . На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається в точці .

Рисунок 3

Проаналізуємо більш детально процес переходу з точки в точку при зміні ціни (рис. 4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через , а змінену – через . Проведемо пряму паралельно прямій лінії цін так, щоб вона мала точку дотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка . Як у точці , так й у точці споживачеві забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривій байдужності. Перехід із точки в розглянемо поетапно: спочатку з в точку , потім із точки у точку . Перехід з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки у точку відповідає ефекту доходу й обумовлений зміною реального доходу при зміні цін.

Рисунок 4

2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача

При будь-яких додатних цінах і доході розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.

Очевидно, що цей розв’язок залежить від і , тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту або в розгорнутому вигляді:

.

Цей запис означає, що при цінах і доході вибирається споживчих благ у кількостях .

Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін й :

, де .

Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.

Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів і . Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.

Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів і оптимального множника Лагранжа , тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту та функції попиту та доходу . Поставимо й в

або в розгорнутому вигляді

(1)

Позначимо і .

Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів і :

1. Розглянемо вплив зміни доходу на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по , тоді одержимо

(2)

де і відображають ступінь чутливості стосовно зміни .

Позначимо , тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:

,

де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто

, де – вектор-рядок.

Припустимо, що . Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні одержимо

де – алгебраїчні доповнення елементів , відповідно.

Якщо , то -й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли -й товар називається малоцінним.

2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад , на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по , одержимо:

(3)

де – дельта Кронекера . Запишемо систему (3) у такому вигляді:

.

Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто, тоді маємо при фіксованому такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького

(4)

Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на -й товар зміна попиту на -й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на -й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).

Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх та таких, що , тоді матриця розміром симетрична й від’ємно визначена, тобто .

Можна встановити властивості цієї матриці.

Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну , яка є результатом варіації ціни , за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення залишається незмінним.

При товари та прийнято вважати взаємозамінюючими, при – взаємодоповнюючими, а при – незалежними.

3 Коефіцієнт еластичності

Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через , маємо за означенням

,

де – приріст аргументу;

– викликаний ним приріст функції.

Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.

При маємо

.

Якщо функція є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності

.

Функція попиту є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність функцій попиту на окремі товари , кожна з яких є функцією від змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує частковий коефіцієнт еластичності.

Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.

Величини , що показують, на скільки відсотків зміниться попит на -й товар у розрахунку зміни ціни -го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо – то перехресними коефіцієнтами).

Показники , що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.

4 Алгоритми розв’язання задачі споживання

Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.

Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки , здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.

До першого класу відносять методи, в яких точки , що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.

До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).

Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції в черговій точці не стане дорівнювати нулю або ж поки

,

де – достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.

Для чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.

Нехай потрібно знайти максимальне значення функції корисності за умови .

Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного програмування.

Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:

1. Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить області припустимих розв’язків задачі.

2. Знайдемо градієнт цільової функції в точці

.

3. Побудуємо лінійну функцію

.

4. Знайдемо максимум при обмеженні , тобто розв’яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор , що доставляє максимум .

5. Визначимо значення оптимального кроку обчислення за формулою

.

6. Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою

.

7. Знайдемо значення , .

8. Порівняємо отримані , з точністю . Якщо , тоді і алгоритм переходить до пункту 2, якщо , тоді отримано оптимальний розв’язок задачі і при .