Комплексные числа, их прошлое и настоящее.

 

 

Содержание.

 

I.                      Введение.

II.                   Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

III.               Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.                             

1.                     Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

2.                     Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

3.                     Операция сопряжения и ее свойства.

4.                     Извлечение корней.

5.                     Геометрический смысл алгебраических операций.

IV.                Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1.                     Формула Кердано.

2.                     Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

V.                   Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

VI.                Заключение.

VII.            Литература.

I.     Введение.

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

(α) Линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-^b/_a – единственный корень;

(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то x=^{-b±√b∙b-4ac}/_2a; при этом число корней зависит от величины D = b² – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

II.  Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х²+1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1)  для записи решения уравнения (х-а)²+b²=0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1)  стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a₀∙xⁿ+a₁∙x^n-1+…+a_n-1∙x+a_n=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n≥1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число  совпадающих с ним корней). При n≥5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и  числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

 

III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

 

1.               Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары  z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂);    (1)

(x₁,y₁)∙(x₂,y₂)=(x₁∙x₂ – y_iy₂, x_iy₂ + x₂y₁).    (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).

Два комплексных числа z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂)  называются равными только в том случае, когда x₁=x₂ и y₁=y₂. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0).                  (3)

Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i²=-1, равенство (3) принимает вид  z=x+iy  и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а) z₁+z₂=z₂+z₁ (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б) z₁z₂=z₂z₁

в) z₁+(z₂+z₃)=(z₁+z₂)+z₃ (сочетательный закон или ассоциативность)

г) z₁(z₂z₃)=(z₁z₂)z₃

д) (z₁+z₂)z₃=z₁z₃+z₂z₃ (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ определяют, причем однозначно, их разность z₁-z₂ и частное z₁/z₂ как решения соответствующих уравнений z+z₂=z₁ и zz₂=z₁ (при z₂≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z₁ на z₂ вычисляются по формулам:

z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂),       (4)

z₁/z₂=(x₁x₂+y₁y₂)/(x₂²+y₂²) + i((y₁x₂-x₁y₂)/(x₂²+y₂²))       (5)

Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z₁+(-z₂), где число  (-z₂) называется противоположным z₂; деление – как действие, обратное умножению: z=z₁(z₂^-1), где z₂^-1 – число, обратное для z₂ (z₂≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i²=-1.

     2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.

Число r=√x²+y²­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.

Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x²+y²; sinφ=y/√x²+y².

Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ)     (6)   называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа e^iφ=cosφ+isinφ       (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=re^iφ     (8)

3.               Операция сопряжения и ее свойства.

Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,

       z+z=2x=2Rez;

z-z=2iy=2iImz;

zz=x²+y²=|z|²,

        а также: z₁+z₂=z₁+z₂; z₁z₂=z₁z₂; (z₁/z₂)=z₁/z₂; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и  Q – многочлены с действительными коэффициентами.

4.               Извлечение корней.

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zⁿ=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:

√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак «+» в скобках берется при β>0,  «-» - при β<0.

5.               Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂. В результате сложения этих чисел получается число z₃, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z₁+z₂=0A+0B=0C=z₃.

Рис.3

Разность (z₁-z₂) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z₁ и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z₁-z₂=z₁+(-z₂)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z₁-z₂) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂). Перемножая их получим z₁z₂=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z₁ на z₂, то выполняем следующие преобразования: z₁/z₂=(z₁z₂)/(z₂z₂)=(r₁(cosφ₁+isinφ₁)r₂(cosφ₂-isinφ₂))/ (r₂(cosφ₂+isinφ₂)r₂(cosφ₂-isinφ₂))=(r₁/r₂)(cos(φ₁-φ₂)+isin(φ₁-φ₂)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zⁿ=rⁿ(cosφ+isinφ)ⁿ=rⁿ(cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)ⁿ= cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=re^iφ, z=ρe^iσ. Решаем уравнение zⁿ=a для вычисления ⁿ√a: ρⁿe^inσ=re^iφ. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρⁿ=r, nσ-φ=2πK, или ρ=ⁿ√r; σ_K+1=(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, z_k=ⁿ√r(cosφ+isinφ)=ⁿ√r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n))         (10), где ⁿ√r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений z_k (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел z_k+1 и z_k постоянна и равна 2π/n: σ_k+1-σ_k=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения ⁿ√a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

 

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1.                Формула Кардано.

Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x³+ax²+bx+c=0     (11).

(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y³+py+q=0     (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у₀ – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у₀=α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α³+β³+( α+β)(3αβ+p)+q=0         (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений

     α+β=у₀;

     αβ=-р/3, а значит, существуют.

При этих условиях уравнение (12) примет вид α³+β³+q=0, а т.к. еще           α³β³=-р³/27, то получаем систему

   α³+β³=-q;

   α³β³=-р³/27,

из которой по теореме Виета следует, что α³ и β³ являются корнями уравнения t²+qt-p³/27=0. Отсюда находим: α³=-q/2+√q²/4+p³/27;                    β³=-q/2-√q²/4+p³/27, где √q²/4+p³/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)²+(p/3)³.

y_1.2.3=ⁿ√-q/2+√q²/4+p³/27+³√-q/2-√q²/4+p³/27, причем для каждого из трех значение первого корня ³√α соответствующие значения второго корня ³√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=³√α+³√β, где α=-q/2+√q²/4+p³/27; β=-q/2-√q²/4+p³/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

2.                Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x⁴+ax³+bx²+cx+d=0      (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у⁴+ру²+qy+r=0   (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y²+p/2)²+qy+(r-p²/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме                            (y²+p/2+α)²-[2α(y²+p/2)+α²-qy+p²/4-r]=0                 (15)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках       2αy²-qy+(αp+α²+p²/4-r)  стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы           q²-8α(αp+α²+p²/4-r)=0, или 8α³+8pα²+8α(p²/4-r)-q²=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V.  Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii²i³…i¹⁰=?

Решение: ii²i³…i¹⁰=i^1+2+…+10=i^11∙10/2=i⁵⁵=ii⁵⁴=i(i²)²⁷=i(-1)²⁷=-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z₁-z₂|, г) Arg(z₁/z₂)?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z₁-z₂|- расстояние между точками z₁ и z₂, изображающими комплексные числа z₁ и z₂;

г) Arg(z₁/z₂) – угол между изображающими векторами 0z₁ и 0z₂.

3. Доказать, что cos3φ=cos³φ-3sin²φcosφ; sin3φ=3cos²φsinφ-sin³φ.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)³=(cos³φ-3cosφsin²φ)+(3cos²φsinφ-sin³φ)        , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos³φ-3sin²φcosφ, sin3φ=3cos²φsinφ- sin³φ.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i 

3x-5y=4

x+2y=16                        x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество  |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+( z₁-z₂)( z₁-z₂)= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+     +( z₁-z₂)( z₁-z₂)=2 z₁ z₁+2 z₂ z₂=2(|z₁|²+|z₂|²).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z₀|=R; б) z=z₀+Re^it        (0≤t<2π)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z₀.

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д)   |z|≤R

        π/4≤argz≤5π/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁=-2, как и от точки z₂=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (х_с;у_с), где х_с=(-2+0)/2=-1; у_с=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)²+(2x-z)²=2Re(z²).

Доказательство:

1)               (2x-z)²+(2x-z)²= 4x²-4xz+z²+4x²-4xz+z²=8x²-4x(z+z)+z²+z²=8x²-4x2x+(z+z)²-

-2zz=(2x)²-2|z|²=4x²-2(x²+y²)=2(x²+y²)=2Re(z²).

      2) 2Re(z²)=2Re(x+iy)²=2Re(x²-y²+2ixy)=2(x²-y²).

8. Решить систему уравнений

  (3-i)z₁-(4+2i)z₂=1+3i;

  (4+2i)z₁+(2+3i)z₂=7.    

Решение: Применим правило Крамера:

∆=  (3-i)-(4+2i)        =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i                                                                                                        

       (4+2i)+(2+3i)

∆_z1=  (1+3i)-(4+2i)        =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i                                                                                                         

           7       (2+3i)

∆_z2=  (3-i)     (1+3i)        =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i                                                                                                      

          (4+2i)      7

Z₁=  21+23i  =1; z₂=  23-21i  =-i(21+23i)  =-i

        21+23i                21+23i        21+23i

Ответ: z₁=1; z₂=-i.

9. Доказать, что (а²+1)(b²+1)(c²+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, что а²+1=|a+i|², тогда имеем: (а²+1)(b²+1)(c²+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)=         =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))²+(ab+bc+ca-1)².

10. Найти суммы:

  С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(e^iφ+e^2iφ+…+e^inφ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: e^iφ+e^2iφ+…+e^inφ= e^iφ((1- e^inφ)/(1- e^iφ))= (e^iφ(1- e^inφ) (1- e^-iφ))/( (1- e^iφ) (1- e^-iφ))=       =(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)/|1- e^iφ|².

Поскольку |1- e^iφ|²=|(1-cosφ)-isinφ|²=(1-cosφ)²+sin²φ=4sin²(φ/2);

Re(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ=                                                                  =- 2sin²(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и      Im(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), то С=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin²(φ/2)) =                                     =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);

S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin²(φ/2)) =                                     =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)

11. Найти сумму 1+e^πcosπ+e^2πcos2π+…+e^nπcosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+e^x+ix+e^2x+i2x+…+e^nx+inx= 1+e^x(1+i)+e^2x(1+i)+…+e^nx(1+i)=(1-( e^x(1+i))ⁿ⁺¹)/(1- e^x(1+i))=    =1-e^x(n+1)(1+i)/(1-e^x(1+i))=((1-e^x(n+1)(1+i))(1-e^x(1-i))/((1-e^x(1+i))(1-e^x(1-i))) =(1- e^x(n+1)(1+i)- e^x(1-i)+e^x(n+2+ni))/|1- e^x(1+i)|²=      

=(1-e^(n+1)xe^i(n+1)x-e^xe^-ix+e^(n+2)xe^xni)/(1-2e^xcosx+e^2x)

т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx=(1-e^(n+1)xcos(n+1)x+e^(n+2)xcosnx-e^xcosx)/(1-2e^xcosx+e^2x)

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+e^πcosπ+e^2πcos2π+…+e^nπcosnπ= (1+e^π+e^π(n+2)(-1)ⁿ-e⁽ⁿ⁺¹⁾(-1)ⁿ⁺¹)/(1+2e^π+e^2π)= =((1+e^π)+(-1)ⁿe^π(n+1)(e^π+1))/(e^π+1)²=(1+(-1)ⁿe^π(n+1))/(1+e^π)

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0               |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|²=((|z|²-1)+2iy)/|z+1|²; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|²-1=0           |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴√1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴√1+i√3=⁴√a, где a=1+i√3.

Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то z_k=⁴√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀= ⁴√2(cosπ/12+isinπ/12); z₁=⁴√2(cos7π/12+isin7π/12);

Z₂=⁴√2(cos13π/12+isin13π/12); z₄=⁴√2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число              1/(1+i√3)⁶-1/(√3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))⁶-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))⁶=                                                    =(1-i√3)⁶/|1+i√3|¹²-(√3+i)⁶/|√3+i|¹²=z₁-z₂=(т.к. |z₁|=|z₂|=2; φ₁=-π/3; φ₂=π/6, то)=1/2⁶∙2⁶(cos(-π/3)+isin(-π/3))⁶-1/2⁶∙2⁶(cosπ/6+isinπ/6))⁶=                                 =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

 

VII.                Литература.

VIII.              

1.                Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2.                Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3.                Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4.                Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5.                Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.