Завдання 1

Розв'язати графічним способом при умовах:

Розв'язування

Зобразимо розв’язок системи нерівностей та вектор F (1;2):

Максимум функції досягається в точці А:

Мінімум функції досягається в точці В:

Завдання 2

Розв'язати транспортну задачу методом потенціалів.

Розв'язування

Спочатку перевіримо задачу на замкненість:

.

Задача є замкненою.

Вихідна таблиця:

А/В	10		20		25		40
25	4		7		2		5
15	9		3		4		6
35	8		5		9		3
20	2		1		7		4

Складемо початковий план методом мінімального елементу:

А/В	10		20		25		40
25	4		7		2		5
					25
15	9		3		4		6
	10						5
35	8		5		9		3
							35
20	2		1		7		4
			20

Опорний план є виродженим, адже число зайнятих клітинок менше ніж m+n-1=8. Зробимо його невиродженим, розміщуючи базисні нулі в клітину з координатами (i,j)=(1,1) та (4,1). Вирішимо задачу методом потенціалів:

А/В	10		20		25		40		U
25	4		7		2		5		0
	0				25
15	9	-	3	+	4		6		5
	10						5
35	8		5		9		3		2
							35
20	2	+	1	-	7		4		-2
	0		20
	4		3		2		1		295

Сформуємо оціночну матрицю з елементів :

Оціночна матриця
0	4	0	4
0	-5	-3	0
2	0	5	0
0	0	7	5

План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.

Переміщуємо по циклу вантаж величиною 10 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».

Маємо,

А/В	10		20		25		40		U
25	4	-	7		2		5	+	0
	0				25
15	9		3	+	4		6	-	0
			10				5
35	8		5		9		3		-3
							35
20	2	+	1	-	7		4		-2
	10		10
V	4		3		2		6		245

Оціночна матриця
0	4	0	-1
5	0	2	0
7	5	10	0
0	0	7	0

План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.

Переміщуємо по циклу вантаж величиною 0 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».

Отримаємо,

А/В	10		20		25		40		U
25	4		7		2		5		0
					25		0
15	9		3		4		6		1
			10				5
35	8		5		9		3		-2
							35
20	2		1		7		4		-1
	10		10
V	3		2		2		5		245

Оціночна матриця
1	5	0	0
5	0	1	0
7	5	9	0
0	0	6	0

Як бачимо усі . Адже отриманий план є оптимальним.

При цьому загальна вартість перевезень складає 245 і є мінімальною.

Завдання 3

Розв'язати задачу ЛП симплекс-методом:

Розв'язування

Запишемо в канонічному виді:

Вирішимо задачу симплекс методом.

Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x4	6	1	3	-3	1	0
x5	4	-2	1	1	0	1
ИС	0	3	-2	-1	0	0
Обрано ключовий елемент (1,2)
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x2	2	1/3	1	-1	1/3	0
x5	2	-7/3	0	2	-1/3	1
ИС	4	11/3	0	-3	2/3	0
Обрано ключовий елемент (2,3)
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x2	3	-5/6	1	0	1/6	1/2
x3	1	-7/6	0	1	-1/6	1/2
ИС	7	1/6	0	0	1/6	3/2

Отримано оптимальний план x* = (0, 3, 1). За нього fmin = (x*) = -7.

Список використаних джерел

1. Бурий В.В., Шевченко І.В. Математичне програмування. — К.: НАУ, 2007. — 168с.

2. Єгоршин О.О., Малярець Л.М. Математичне програмування. — Х.: ВД "ІНЖЕК", 2006. — 383с.

3. Жильцов О.Б., Кулян В.Р., Юнькова О.О. Математичне програмування (з елементами інформаційних технологій) / Міжрегіональна академія управління персоналом / Олена Олександрівна Юнькова (ред.). — К.: МАУП, 2006. — 184с.

4. Зеленський К.Х. Математичне програмування. — К.: Університет "Україна", 2007. — 241c.

5. Івченко І.Ю. Математичне програмування. — К.: Центр учбової літератури, 2007. — 232с.

6. Лебідь М.Т., Синявіна Ю.В. Математичне програмування. — Х., 2007. — 72с.