Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Череповецкий Государственный Университет

Кафедра Сопротивление материалов

Лабораторная работа № 1

«Испытание стержней на устойчивость»

Выполнил студент

группы 5 ЭН – 22

Малинин М.С.

Проверил профессор

Титов В.А.

г. Череповец

2007 г

Цель работы

Определение критической силы для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул

Задачи работы

• Определить предельную гибкость

• Определить фактическую гибкость для двух типов закрепления концов стержня

• Сделать вывод о выборе формулы для определения критической силы

• Определить критическую силу для двух типов закрепления концов стержня.

Основные теоретические положения

При осевом сжатии стержней, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиной, может произойти потеря устойчивости стержня, т.е. стержень будет искривляться в плоскости наименьшей жесткости.

Наименьшее значение нагрузки, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

В случае, когда потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превосходящих предела пропорциональности, критическая сила P_кр определяется по формуле Эйлера: P_кр = π² · E · У_min / (μ · l) ²

E – модуль продольной упругости материала стержня;

У_min – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

μ – коэффициент приведения длины, который зависит от способа закрепления концов стержня;

l – длина стержня.

Если потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, критическую силу вычисляют через критические напряжения σ_кр, которые определяют по формуле Ясинского:

σ_кр = a – b · λ

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала стержня

(для стали a = 310 МПа, b = 1,4 МПа)

λ – гибкость стержня.

Практически применимость той или другой формулы для вычисления критической силы устанавливают сравнением гибкости стержня λ с предельной гибкостью для материала стержня λ_пред, которые определяются по формулам:

λ = μ · l / ί_min λ_пред = √ π² · E / σ_пц

где σ_пц - предел пропорциональности материала стержня

ί_min - минимальный радиус инерции площади F поперечного сечения стержня, определяемый по формуле: ί_min = √ У_min / F

Схема установки

1. схема установки

2. график нагрузка – прогиб

3. определение критической нагрузки

Состав установки

1. Верхняя траверса

2. Верхний зажим для закрепления стержня

3. Четыре стойки

4. Нижний зажим для закрепления стержня

5. Нижняя траверса

6. Индикатор

7. Динамометр

8. Силовой механизм

9. Стержень

10. Индикатор для измерения прогибов стержня

Данные о стержне при μ = 1 : l = 87 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см

Данные о стержне при μ = 0,7 : l = 84,25 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см

Результат измерений

μ = 1
Нагрузка P	мм	0	42		85		130		172
	Н	0	200		400		600		800
Прогиб fg, мм · 10 -2		92	111		145		191		354
μ = 0,7
Нагрузка P	мм	90		172		200		346		432
	Н	400		800		1200		1600		2000
Прогиб fg, мм · 10 -2		9		21		50		99		338

μ = 1 μ = 0,7

Вычисление теоретического значения P_кр

Для μ = 1

У_min = b · h³ / 12 = 4,05 · 0,51³ / 12 = 44,76 · 10^-11 м⁴

F = b · h = 0,002 м²

ί² = У_min / F = 44,76 · 10^-11 / 0,002 = 2,24 · 10^-6 м²

ί _min = 1,49 · 10^-3 м

λ = μ · l / ί_min = 1 · 0,87 / 1,49 · 10^-3 = 584

λ_пред = √ π² · E / σ_пц = √10 · 2 · 10¹¹ / 2 · 10⁸ = 100

Т.к. λ > λ_пред то P_кр= π² · E · У_min / (μ · l) ² =

= 10 · 2 · 10¹¹ · 44,76 · 10^-11 / (1 · 0,87)² = 1182,7 H

Для μ = 0,7

У_min = b · h³ / 12 = 4,05 · 0,51³ / 12 = 44,76 · 10^-11 м⁴

F = b · h = 0,002 м²

ί² = У_min / F = 44,76 · 10^-11 / 0,002 = 2,24 · 10^-6 м²

ί _min = 1,49 · 10^-3 м

λ = μ · l / ί_min = 0,7 · 0,8425 / 1,49 · 10^-3 = 395

λ_пред = √ π² · E / σ_пц = √10 · 2 · 10¹¹ / 2 · 10⁸ = 100

Т.к. λ > λ_пред то P_кр= π² · E · У_min / (μ · l) ² =

= 10 · 2 · 10¹¹ · 44,76 · 10^-11 / (0,7 · 0,8425)² = 2560 H

Расчет погрешности измерений

Δ₁ = P_кр^теор – P_кр^опыт / P_кр^теор = 1182,7 – 1045 / 1182,7 = 11,6 %

Δ₂ = P_кр^теор – P_кр^опыт / P_кр^теор = 2560 – 2240 / 2560 = 12,5 %

Результаты определения критической силы

Схема закрепления	Значение Pкр, H		Расхождение, %
	опытное	теоретическое
μ = 1	1045	1182,7	11,6
μ = 0,7	2240	2560	12,5

Вывод

В ходе лабораторной работы мы определили критическую силу P_кр для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул. В процессе вычислений было выяснено, что для нахождения критической силы нужно использовать формулу Эйлера. Расчеты показали следующие значения: при μ = 1 P_кр^теор = 1182,7 Н, при μ = 0,7 P_кр^теор = 2560 Н; по графику видно, что при μ = 1 P_кр^опыт = 1045 Н, при μ = 0,7 P_кр^опыт = 2240 Н. Полученная ошибка (11,6% и 12,5%) объясняется погрешностью лабораторной установки, снятием показаний приборов и неточностью расчетов.