Содержание

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 1

Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х³-7х и D(x)=2х²+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

,

,

.

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

- не удовлетворяет условию задачи,

.

График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.

Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х₁ и х₂ – объемы некоторых ресурсов; цены р₁=1 и р₂=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :

при .

,

.

Найдем максимум функции графически.

Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х₁=90.

,

.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х₁=90 и х₂=60.

Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

	х	у
1	5	70
2	11	65
3	15	55
4	17	60
5	2	50
6	22	35
7	25	40
8	27	30
9	30	25
10	35	32

1. Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2. Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3. Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4. С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5. Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6. Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7. Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

8. Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

9. Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X.

10. Найдите коэффициент детерминации R² и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1. Корреляционное поле случайных величин X и Y

2. Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 – Вспомогательные расчеты

	х	у	х2	y2	xy
1	5	70	25	4900	350
2	11	65	121	4225	715
3	15	55	225	3025	825
4	17	60	289	3600	1020
5	2	50	4	2500	100
6	22	35	484	1225	770
7	25	40	625	1600	1000
8	27	30	729	900	810
9	30	25	900	625	750
10	35	32	1225	1024	1120
сумма	189	462	4627	23624	7460
средн	18,9	46,2	462,7	2362,4	746

Математическое ожидание:

,

.

Дисперсия:

,

.

Среднеквадратическое отклонение:

,

.

Размах вариации:

,

.

3. Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции

Ковариация:

.

Коэффициент корреляции:

.

4. Уравнение линейной регрессии Y на X

,

,

.

5. Уравнение линейной регрессии X на Y

,

,

.

6. Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии

Точка пересечения (18,4;46,9).

7. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Таблица 3 – Вспомогательные расчеты

	х	у	x'	y'	x-xcp	y-ycp	(x-xcp)2	(y-ycp)2
1	5	70	5,572	62,975	-13,028	16,775	169,7288	281,4006
2	11	65	8,3645	55,745	-10,2355	9,545	104,7655	91,10702
3	15	55	13,9495	50,925	-4,6505	4,725	21,62715	22,32562
4	17	60	11,157	48,515	-7,443	2,315	55,39825	5,359225
5	2	50	16,742	66,59	-1,858	20,39	3,452164	415,7521
6	22	35	25,1195	42,49	6,5195	-3,71	42,50388	13,7641
7	25	40	22,327	38,875	3,727	-7,325	13,89053	53,65563
8	27	30	27,912	36,465	9,312	-9,735	86,71334	94,77023
9	30	25	30,7045	32,85	12,1045	-13,35	146,5189	178,2225
10	35	32	26,795	26,825	8,195	-19,375	67,15803	375,3906
сумма	189	462	188,643	462,255	2,643	0,255	711,7565	1531,748
средн	18,9	46,2	18,8643	46,2255	0,2643	0,0255	71,17565	153,1748

Для линии регрессии Y на X:

,

,

.

Для линии регрессии X на Y:

,

,

.

8. Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31

Для линии регрессии Y на X:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

Для линии регрессии X на Y:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

9. Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X

Доверительный интервал для b₀:

<a₀<,

<a₀<,

54,97<a₀<83,03.

Доверительный интервал для b₁:

<a₁<,

<a₁<,

-1,23<a₁<-1,17.

10. Коэффициент детерминации R² :

.

Коэффициент детерминации R²=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.