Рефетека.ру / Математика

Реферат: Неопределённые уравнения первой степени

Введение в неопределённые уравнения

Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.

Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и ,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.

Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:

Неопределённые уравнения первой степени

Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.

Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:

Неопределённые уравнения первой степени

должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.

Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.

Метод спуска Неопределённые уравнения первой степениНеопределённые уравнения первой степени (материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")

Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:

Неопределённые уравнения первой степени

где a, b, c - известные целые коэффициенты.

Разберём это всё на знакомом примере:

Неопределённые уравнения первой степени 

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:

Неопределённые уравнения первой степени

Теперь выделим целую часть:

Неопределённые уравнения первой степени

Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 — 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 — 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде

Неопределённые уравнения первой степени

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.

Продолжаем действовать всё по тому же принципу:

Неопределённые уравнения первой степени

Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:

Неопределённые уравнения первой степени

Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v — произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:

Неопределённые уравнения первой степени

Неопределённые уравнения первой степени

Неопределённые уравнения первой степени

Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых

Неопределённые уравнения первой степени

Неопределённые уравнения первой степени

и, стало быть,

Неопределённые уравнения первой степени

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3. То есть у Миши было 3 5-рублёвые монеты и 3 8-рублёвые монеты.

Вообще, целые решения у уравнения вида

Неопределённые уравнения первой степени

могут быть не всегда. Более того, если на НОД (наибольший общий делитель) a и b делится c, тогда и только тогда, уравнение разрешимо в целых числах.

Рефетека ру refoteka@gmail.com