Рефотека.ру / Математика

Реферат: Уравнения и способы их решения

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему:  Уравнения и способы их решения

           

                                                                            Выполнил: ученик 10 "А" класса

                                                                                                    Крутько Евгений

Проверила: учитель математики                                                                                                                                        Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001


Содержание

1. План ............................................................................................................................. 1

2. Введение ...................................................................................................................... 2

3. Основная часть ........................................................................................................... 3

4. Заключение ............................................................................................................... 25

5. Приложение .............................................................................................................. 26

6. Список использованной литературы ..................................................................... 29


План.

1. Введение.

2. Историческая справка.

3. Уравнения. Алгебраически уравнения.

                        а) Основные определения.

                        б) Линейное уравненение и способ его решения.

                        в) Квадратные уравнения и способы его решения.

                        г) Двучленные уравнения способ их решения.

                        д) Кубические уравнения и способы его решения.

                        е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

                        ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

                        ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

                        з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

                            решения.

                        и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

                        к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

                            абсолютной величины и способ его решения.

4. Трансцендентные уравнения.

                        а) Показательные уравнения и способ их решения.

                        б) Логарифмические уравнения и способ их решения.


Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.


Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

            Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

Основные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1]). Для записи тождества наряду со знаком Уравнения и способы их решения также используется знак Уравнения и способы их решения.

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения ... – или теми же буквами, снабженными индексами: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ... или Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ... – или теми же буквами, снабженными индексами: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ... или Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения(Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ..., Уравнения и способы их решения)Уравнения и способы их решения.

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияявляются решениями уравнения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, то говорят, что уравнение Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения есть следствие уравнения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, и пишут 

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Два уравнения

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияи Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения

называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, если множество решений уравнения Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения совпадает с объединением множеств решений уравнений Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Н е к о т о р ы е  э к в и в а л е н т н ы е  у р а в н е н и я:

1) Уравнение Уравнения и способы их решенияэквивалентно уравнению Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

2) Уравнение Уравнения и способы их решения эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

3) Уравнения и способы их решения эквивалентно двум уравнениям Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения и  Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

4) Уравнение Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

5) Уравнение Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения при нечетном n эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения, а при четном  n эквивалентно двум уравнениям  Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияи Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

где Уравнения и способы их решения – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

            Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения+ ... +Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ..., Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

            Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

            Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х)Уравнения и способы их решения, где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

            Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

                                                                 Уравнения и способы их решения,                                                                 (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

            Линейное уравнение всегда имеет единственный корень Уравнения и способы их решения, который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число Уравнения и способы их решения, получаем уравнение

                                                                   Уравнения и способы их решения,                                                                   (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину Уравнения и способы их решения, получаем корень уравнения (1):

Уравнения и способы их решения.

Квадратное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.

                                                            Уравнения и способы их решения,                                                            (3)

где Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если Уравнения и способы их решения, то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Уравнения и способы их решения,

Выражение Уравнения и способы их решения называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом:

если Уравнения и способы их решения, то уравнение имеет два различных действительных корня;

если Уравнения и способы их решения, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если Уравнения и способы их решения, то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

Уравнения и способы их решения,                                   Уравнения и способы их решения,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если Уравнения и способы их решения), которое обычно записывается в виде

Уравнения и способы их решения.

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

                                                    Уравнения и способы их решения.                                                    (4)

            Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения - целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

                                                      Уравнения и способы их решения.                                                      (5)

            Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

            Корни приведенного квадратного уравнения

Уравнения и способы их решения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

Уравнения и способы их решения,

Уравнения и способы их решения.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, то оба корня отрицательны;

если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, то оба корня положительны;

если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

                                                             Уравнения и способы их решения                                                             (6)

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

                                                                Уравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решения,                                                                (7)

 то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Уравнения и способы их решения,

откуда

Уравнения и способы их решения,           Уравнения и способы их решения.

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

Заметим, что Уравнения и способы их решения, поэтому

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

откуда

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

но Уравнения и способы их решения, из формулы (7) поэтому окончательно

Уравнения и способы их решения.

Если положить, что Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решения, то

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

Заметим, что Уравнения и способы их решения, поэтому

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

откуда

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

но Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения поэтому окончательно

Уравнения и способы их решения.

и

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Двучленные уравнения

Уравнения n-й степени вида

                                                                Уравнения и способы их решения                                                                (8)

называется двучленным уравнением. При Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения заменой [2])

Уравнения и способы их решения,

где Уравнения и способы их решения - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

Уравнения и способы их решения,

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение Уравнения и способы их решения при нечетном n имеет один действительный корень Уравнения и способы их решения. В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и Уравнения и способы их решения комплексных):

Уравнения и способы их решения                   (Уравнения и способы их решения 0, 1, 2, ..., Уравнения и способы их решения ).                           (9)

            Двучленное уравнение Уравнения и способы их решения при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня Уравнения и способы их решения, а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение Уравнения и способы их решения при четном n имеет один действительный корней Уравнения и способы их решения, а в множестве комплексных чисел Уравнения и способы их решения корней, вычисляемых по формуле

Уравнения и способы их решения    (Уравнения и способы их решения 0, 1, 2, ..., Уравнения и способы их решения ).                           (10)

Двучленное уравнение Уравнения и способы их решения при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет Уравнения и способы их решения корней, вычисляемых по формуле (10).

            Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

            1) Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения).

            Уравнение имеет два действительных корня Уравнения и способы их решения.

            2) Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения).

Уравнение имеет один дествительный корень Уравнения и способы их решения и два комплексных корня

Уравнения и способы их решения.

            3) Уравнения и способы их решения            (Уравнения и способы их решения).

Уравнение имеет два действительных корния Уравнения и способы их решения и два комплексных корня Уравнения и способы их решения.

            4) Уравнения и способы их решения            (Уравнения и способы их решения).

            Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: Уравнения и способы их решения.

            5) Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения).

Уравнение имеет один дествительный корень Уравнения и способы их решения и два комплексных корня

Уравнения и способы их решения.

            6) Уравнения и способы их решения            (Уравнения и способы их решения).

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

Уравнения и способы их решения, где Уравнения и способы их решения,

оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

Уравнения и способы их решения, где Уравнения и способы их решения,

разделить на Уравнения и способы их решения, то коэффициент при Уравнения и способы их решения станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

                                                     Уравнения и способы их решения.                                                     (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Уравнения и способы их решения

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь Уравнения и способы их решения на Уравнения и способы их решения и перегруппируем слагаемые:

                                           Уравнения и способы их решения.                                           (12)

Мы видим, что надлежащим выбором Уравнения и способы их решения, а именно взяв Уравнения и способы их решения, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при Уравнения и способы их решения и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

Уравнения и способы их решения.

Если здесь сделать замену Уравнения и способы их решения, получим кубическое уравнение относительно Уравнения и способы их решения без члена с Уравнения и способы их решения:

Уравнения и способы их решения.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

                                                            Уравнения и способы их решения.                                                            (13)

Формула Кардано

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

Уравнения и способы их решения.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу Уравнения и способы их решения:

Уравнения и способы их решения, или

Уравнения и способы их решения.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

Уравнения и способы их решения или Уравнения и способы их решения

и взять в качестве Уравнения и способы их решения сумму Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения. Заменой Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения эта система приводится к совсем простому виду:

Уравнения и способы их решения

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного  квадратного уравнения равна коэффициенту при Уравнения и способы их решения со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - корни уравнения

Уравнения и способы их решения.

Выпишем эти корни:

Уравнения и способы их решения

Переменные Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения равны кубическим корням из Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения, а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

Уравнения и способы их решения.

Эта формула известная как формула Кардано.

Тригонометрическое решение

Уравнения и способы их решения

подстановкой Уравнения и способы их решения приводится к "неполному" виду

                         Уравнения и способы их решения,   Уравнения и способы их решения,   Уравнения и способы их решения.                         (14)

Корни Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения"неполного" кубичного уравнения (14) равны

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения,

где

Уравнения и способы их решения,    Уравнения и способы их решения,

Уравнения и способы их решения.

Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.

            а) Если Уравнения и способы их решения ("неприводимый" случай), то Уравнения и способы их решения и

Уравнения и способы их решения,

Уравнения и способы их решения,

где

Уравнения и способы их решения.

(b) Если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, то

Уравнения и способы их решения,           Уравнения и способы их решения,

где

Уравнения и способы их решения   Уравнения и способы их решения,                 Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

(с) Если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, то

Уравнения и способы их решения,                    Уравнения и способы их решения,

где

Уравнения и способы их решения   Уравнения и способы их решения,     Уравнения и способы их решения           Уравнения и способы их решения.

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Биквадратное уравнение

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

Уравнения и способы их решения,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой Уравнения и способы их решения уравнение сводится к квадратному уравнению Уравнения и способы их решения с последующим решением двух двучленных уравнений Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

Уравнения и способы их решения,                       Уравнения и способы их решения.

Если Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения [3]), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня Уравнения и способы их решения и мнимых сопряженных корня:

Уравнения и способы их решения.

Если Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения, то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Уравнения и способы их решения,                Уравнения и способы их решения.

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

            Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

Уравнения и способы их решения

можно избавиться от члена Уравнения и способы их решения подстановкой Уравнения и способы их решения. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Уравнения и способы их решения.

            Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде Уравнения и способы их решения, где левая часть – квадрат выражения Уравнения и способы их решения, а правая часть – квадрат линейного уравнения Уравнения и способы их решения от Уравнения и способы их решения, коэффициенты которого зависят от Уравнения и способы их решения. После этого останется решить два квадратных уравнения: Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра Уравнения и способы их решения. Удобно взять Уравнения и способы их решения в виде Уравнения и способы их решения, тогда уравнение перепишется так:

                              Уравнения и способы их решения.                              (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от Уравнения и способы их решения. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

Уравнения и способы их решения, или

Уравнения и способы их решения .

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно Уравнения и способы их решения оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень Уравнения и способы их решения. При Уравнения и способы их решения правая часть уравнения (15) принимает вид

Уравнения и способы их решения,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

Уравнения и способы их решения.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

            Решим для примера уравнение

Уравнения и способы их решения.

            Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

Уравнения и способы их решения

и добавим к обеим частям выражение Уравнения и способы их решения, чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Уравнения и способы их решения.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

Уравнения и способы их решения,

или, после упрощения,

Уравнения и способы их решения.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители  свободного члена: Уравнения и способы их решения. После подстановки этого значения получим уравнение

Уравнения и способы их решения,

откуда Уравнения и способы их решения. Корни образовавшихся квадратных уравнений - Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения. Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Решение Декарта-Эйлера

Уравнения и способы их решения

подстановкой Уравнения и способы их решения приводится к "неполному" виду

                                                      Уравнения и способы их решения.                                                      (16)

Корни Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения,

причем Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - корни кубичного уравнения

Уравнения и способы их решения.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени Уравнения и способы их решения (Уравнения и способы их решения) можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

            После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени Уравнения и способы их решения при Уравнения и способы их решения неразрешимо в радикалах.

           

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени Уравнения и способы их решения, не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

            Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

            В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь Уравнения и способы их решения является корнем многочлена Уравнения и способы их решения с целыми коэффициентами, то ее числитель Уравнения и способы их решения является делителем свободного члена Уравнения и способы их решения, а знаменатель Уравнения и способы их решения - делителем старшего коэффициента Уравнения и способы их решения.

           

Для доказательства достаточно подставить в уравнение Уравнения и способы их решения Уравнения и способы их решения и умножить уравнение на Уравнения и способы их решения. Получим

Уравнения и способы их решения.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на Уравнения и способы их решения, поэтому и Уравнения и способы их решения делится на Уравнения и способы их решения, а поскольку Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - взаимно простые числа, Уравнения и способы их решения является делителем Уравнения и способы их решения. Доказательство для Уравнения и способы их решения аналогично.

            С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов". Например, для уравнения

Уравнения и способы их решения,

старший коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: Уравнения и способы их решения.

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена Уравнения и способы их решения на двучлен Уравнения и способы их решения равен Уравнения и способы их решения, т. е. Уравнения и способы их решения.

Из теоремы непосредственно следует, что

Если Уравнения и способы их решения - корень многочлена Уравнения и способы их решения, то многочлен делится на Уравнения и способы их решения, т. е. Уравнения и способы их решения, где Уравнения и способы их решения - многочлен степени, на 1 меньшей, чем Уравнения и способы их решения.

           

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

Уравнения и способы их решения

множитель Уравнения и способы их решения. Чтобы найти частное Уравнения и способы их решения, можно выполнить деление "уголком":

Уравнения и способы их решения                                                         Уравнения и способы их решения Уравнения и способы их решения

                                                         Уравнения и способы их решения              Уравнения и способы их решения

          

                                                                    Уравнения и способы их решения

                                                                    Уравнения и способы их решения

                                                                         Уравнения и способы их решения

                                                                         Уравнения и способы их решения

                                                                                   0

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Уравнения и способы их решенияТеперь остается решить квадратное уравнение Уравнения и способы их решения. Его корни:

Уравнения и способы их решения.

Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

Уравнения и способы их решения.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

Уравнения и способы их решения.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

Уравнения и способы их решения.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Уравнения и способы их решения в обеих частях, получим систему уравнений

Уравнения и способы их решения

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что Уравнения и способы их решения, тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения. Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: Уравнения и способы их решения. Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов.

            Если уравнение имеет вид Уравнения и способы их решения, где Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - многочлены, то замена Уравнения и способы их решения сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения.

Возвратные уравнения

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной степени вида

Уравнения и способы их решения,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на Уравнения и способы их решения и последующей заменой Уравнения и способы их решения.

            Рассмотрим, например, уравнение

Уравнения и способы их решения.

Поделив его на Уравнения и способы их решения (что законно, так как Уравнения и способы их решения не является корнем), получаем

Уравнения и способы их решения.

Заметим, что

Уравнения и способы их решения.

Поэтому величина Уравнения и способы их решения удовлетворяет квадратному уравнению

Уравнения и способы их решения,

решив которое можно найти Уравнения и способы их решения из уравнения Уравнения и способы их решения.

            При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение Уравнения и способы их решения при любом Уравнения и способы их решения можно представить как многочлен степени Уравнения и способы их решения от Уравнения и способы их решения.

Рациональные алгебраические уравнения

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

                                                                  Уравнения и способы их решения,                                                                  (17)

где Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения - многочлены. Далее для определенности будем полагать, что Уравнения и способы их решения - многочлен m-й степени, а Уравнения и способы их решения - многочлен n-й степени.

            Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)

задается условием Уравнения и способы их решения, т. е. Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ..., Уравнения и способы их решения где Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, ..., Уравнения и способы их решения - корни многочлена Уравнения и способы их решения.

            Метод решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

Уравнения и способы их решения,

корни которого обозначим через

Уравнения и способы их решения.

Сравниваем множества корней многочленов Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения. Если никакой корень многочлена Уравнения и способы их решения не является корнем многочлена Уравнения и способы их решения, то все корни многочлена Уравнения и способы их решения являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена Уравнения и способы их решения является корнем многочленаУравнения и способы их решения, то необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена Уравнения и способы их решения больше кратности корня многочлена Уравнения и способы их решения, то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена Уравнения и способы их решения не является корнем рационального уравнения (17).

            П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

Уравнения и способы их решения,

где Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Многочлен Уравнения и способы их решения имеет два действительных корня (оба простые):

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Многочлен Уравнения и способы их решения имеет один простой корень Уравнения и способы их решения. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень Уравнения и способы их решения.

            Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение Уравнения и способы их решения имеет, кроме указанного действительного корня, два комплексно сопряженных корня:

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.        

            В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений.

1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения

Уравнения и способы их решения

в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение

Уравнения и способы их решения

множество решений которого представляет собой объединение множеств решений:

Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения.

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

                                                    Уравнения и способы их решения,                                                    (18)

где Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения - некоторые многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного Уравнения и способы их решения определяются условиями

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Возведя обе части уравнения (18) в квадрат, получим уравнение

Уравнения и способы их решения.

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в алгебраическое уравнение

                                       Уравнения и способы их решения.                                       (19)

Так как обе части уравнения (18) возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения (19) будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

            2) Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

            П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

Уравнения и способы их решения.

            Множество допустимых значений этого уравнения:

Уравнения и способы их решения.

            Положив Уравнения и способы их решения, после подстановки получим уравнение

Уравнения и способы их решения

или эквивалентное ему уравнение

Уравнения и способы их решения,

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно Уравнения и способы их решения. Решая это уравнение, получим

Уравнения и способы их решения,           Уравнения и способы их решения.

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

            Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

Уравнения и способы их решения,                  Уравнения и способы их решения.

            Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень Уравнения и способы их решения.

            В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

            П р и м е р 3. Решить уравнение

                                                 Уравнения и способы их решения.                                                 (20)

Множество допустимых значений данного уравнения: Уравнения и способы их решения. Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения.

Далее, записывая уравнение в виде

Уравнения и способы их решения,

получим:

            при Уравнения и способы их решения уравнение решений иметь не будет;

            при Уравнения и способы их решения уравнение может быть записано в виде

Уравнения и способы их решения.

            При Уравнения и способы их решения данное уравнение решений не имеет, так как при любом Уравнения и способы их решения, принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.

            При Уравнения и способы их решения уравнение имеет решение

Уравнения и способы их решения.

            Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием Уравнения и способы их решения, получаем окончательно:

            При Уравнения и способы их решения решением иррационального уравнения (20) будет

Уравнения и способы их решения.

            При всех остальных значениях Уравнения и способы их решения уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

                                                       Уравнения и способы их решения                                                       (21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

            1) Если Уравнения и способы их решения, то уравнение (21) приводится к виду

                                                            Уравнения и способы их решения.                                                            (22)

            Решения этого уравнения: Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения. Условию Уравнения и способы их решения удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

            2) Если Уравнения и способы их решения, уравнение (21) приводится к виду

Уравнения и способы их решения.

            Корнями этого уравнения будут числа Уравнения и способы их решения и Уравнения и способы их решения. Первый корень Уравнения и способы их решения не удовлетворяет условию Уравнения и способы их решения и поэтому не является решением данного уравнения (21).

            Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и Уравнения и способы их решения.

            Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

                                                             Уравнения и способы их решения.                                                             (23)

            Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка  (рис. 1):

Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Похожие работы:

  1. •  ... при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе
  2. • Функционально-графический подход к решению задач с ...
  3. • Моделирование напряженно-деформированного состояния деталей ...
  4. • Современный урок математики, требования к нему
  5. • Решение уравнений и неравенств с использованием ...
  6. •  ... решать тригонометрические уравнения и неравенства в ...
  7. • Диофантовые уравнения
  8. • Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 ...
  9. • Самостоятельная работа как средство обучения решению ...
  10. • Приближенное решение уравнений
  11. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  12. • Логарифмические уравнения
  13. • Приближенное вычисление корней в уравнения
  14. • Решение одного нелинейного уравнения
  15. • Применение новейших экономико-математических методов для ...
  16. • Методика обучения решению текстовых задач ...
  17. • Развитие продуктивного мышления на уроках математики
  18. • Реализация эвристического обучения учащихся на уроках ...
  19. • Информационные системы менеджмента