Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности
{xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|0. Пусть N – номер, соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:

|yn-b|0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть n – наименьший номер, для которого lnm; lnsm, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

[pic], [pic].

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, … lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

[pic],… [pic]

Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1l1. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что одновременно выполняются все неравенства

[pic]

[pic].

Если А((, то также n((.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Так как L1-AA>0. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что одновременно выполняются все неравенства

[pic]

[pic].

Если А(0, то также n(0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Тогда [pic]. Последовательность

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

стремится к -(. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:

[pic]

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.