Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа

Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.

К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.

Уфа 2001

Содержание

Стр.

Введение 3

§ 1 Свойства функции [pic]. 4

§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных. 5

2.1 [pic] 5

2.2 [pic] 6

2.3 [pic] где (>0 7

2.4 [pic] 9

§ 3 Поведение [pic] 11

3.1 [pic] 11

3.2 [pic] 11

3.3 [pic] 12

3.4 [pic] 13

§ 4 Поведение [pic] 14

4.1 [pic] 14

4.2 [pic] 15

4.3 [pic] 15

4.4 [pic] 16
Заключение 17
Литература 18

Введение

Пусть [pic] произвольная функция, определенная на [pic], и [pic] при [pic]
Введем в рассмотрение функцию [pic] с помощью следующего равенства:

[pic] (1)

Назовем эту функцию усреднением функции [pic]
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

[pic][pic][pic]

[pic]

§ 2 Свойства функции [pic].

1. Если [pic], при [pic], то [pic] при [pic]

Доказательство:

[pic], [pic], [pic] [pic] ( N >0, [pic]: [pic] [pic]

2. [pic] (2)

3. [pic] (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

[pic] (4)

[pic](5)

§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции [pic] для случаев когда [pic]:

2.1 [pic]

[pic]

[pic]
2.2 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]
2.3 [pic] где (>0;

[pic]

[pic]
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

[pic]

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при [pic]функция стремится к 0.
Доказательство:

[pic]
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

[pic]

Рассматривая первый интеграл, получаем:

[pic]

[pic]

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении [pic], то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при [pic] становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при [pic] [pic]

Следовательно:

[pic][pic]

[pic]
2.4. [pic]

[pic]
Наложить на[pic] ограничение, такое чтобы [pic]присутствие [pic] не влияло на поведение функции.

[pic]

[pic]
Рассматривая полученное выражение можно заметить что

[pic] становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части как только [pic]. Ограничение №1
В тоже время

[pic]
Становится бесконечно малым как только [pic]. Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

[pic] должен быть очень малым при [pic]то есть

[pic] так как [pic] ограниченная функция, к 0 должен стремится [pic].

[pic] [pic]

[pic]

[pic] Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

[pic]
Следовательно, [pic] ограничение на [pic] удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие [pic]не влияет на поведение функции [pic].

§ 3 Рассмотрим поведение функции [pic]для случаев:
3.1) [pic]

[pic]

[pic]

[pic]
3.2) [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
3.3) [pic]

[pic]
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

[pic]=

[pic]=

[pic] [pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

[pic] рассматривая пределы при [pic] видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член [pic]

[pic]

Поведение данной функции при [pic] эквивалентно поведению функции

[pic] (*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

[pic]=

[pic]

[pic]

[pic] (**)

Учитывая (*)и (**) получаем

[pic]

[pic]

Следовательно, по формуле (2) получаем [pic]

3.4 [pic]

[pic]

Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

[pic]

[pic]

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

[pic]

[pic]

Вычислим знаменатель:

[pic]

Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

[pic]

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при [pic]

Следовательно, знаменатель:

[pic]

[pic]

[pic]

§4. Рассмотрим поведение второй производной [pic]

Для облегчения вычислений введем обозначения:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

При этом формула для [pic]примет вид [pic] (6)

4.1 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Виду того, что d(x) очень мал то [pic] будет несравним с d(x) т.е.
[pic]

4.2 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:

[pic]
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что [pic]

4.3 [pic]
[pic]
[pic]
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
[pic]
[pic]
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
[pic]
[pic]
[pic]
Вычисляя [pic]по формуле 6, получаем:

[pic] и [pic]

4.4 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

[pic] и [pic]

Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |