Рефетека.ру / Математика

Реферат: Теория вектора

Содержание:

1. Что такое вектор?

2. Сложение векторов.

3. Равенство векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Свойства операций над векторами.

6. Доказательства и решение задач.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением ( т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность , нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, векторомТеория вектораназывается семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).

Теория вектора

Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху, Теория вектора Теория вектораТеория вектора

Той же буквой, но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора Теория вектора обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить , что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Теория вектора

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Теория вектора

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов Теория вектора и Теория вектора с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор Теория вектора с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.

Теория вектора

Теория вектора

Следствие:

Теория вектора

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

Теория вектораи Теория вектора – векторы (рис.5).

Теория вектора

Пусть

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

Теория вектора

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор Теория вектора, от точки А вектор Теория вектора и от точки в – вектор Теория векторас. Тогда мы имеем: Теория вектора

Теория вектора

откуда и следует равенство Теория вектора Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.

Остановимся теперь на случае, когда векторы Теория вектора и Теория вектора направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0. Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть векторы Теория вектораи Теория вектора – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор Теория вектора в вектор Теория вектора. Значит, векторы Теория вектора и Теория вектора равны, что и требовалось доказать.

Теория вектора Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначение:Теория вектора.

Свойства скалярного произведения:

1.Теория вектора х Теория вектора = Теория векторахТеория вектора.

2. Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Теория вектора х Теория вектора = 0.

3. Выражение Теория вектора х Теория вектора будем обозначать Теория вектора2 и называть скалярным квадратом вектораТеория вектора . Свойства операций над векторами.

Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.

1. Пусть даны Теория вектора = (ах, аy, аz) и Теория вектора = ( вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор Теория вектора, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. Теория вектора =Теория вектора +Теория вектора = (ах + вx; аy + ву; аz + вz).

Пример 1. Теория вектора = ( 3; 4; 6) и Теория вектора= ( -1; 4; -3), тогда Теория вектора= ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3).

2.Теория вектора = (ах, аy, аz) и Теория вектора = ( вx, ву, вz), тогда разность этих векторов есть вектор Теория вектора, координаты которого равны разности одноименных координат данных векторов, т.е. Теория вектора = Теория вектора-Теория вектора = (ах - вx; аy - ву; аz - вz).

Пример 2.

Теория вектора = ( -2; 8; -3) иТеория вектора = ( -4; -5; 0), тогда с = Теория вектораТеория вектора= ( -2 – ( -4 ); 8 – ( -5 ); -3 –0 ) = ( 2; -13; -3).

3. При умножении вектора Теория вектора= (ах, аy, аz) на число м все его координаты умножаются на это число, т.е. мТеория вектора = ( мах, маy, маz).

Пример 3.

Теория вектора = ( -8; 4; 0) и м = 3, тогда 3Теория вектора = ( -8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = ( -24; 12; 0).

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов.

Теорема 1.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Пусть АВСD – данный ромб (рис.7). Введем обозначения: Теория вектора Из определения ромба: Теория вектора

По определению суммы и разности векторов Теория вектора

Рассмотрим Теория вектора.

Теория вектора

  Так как стороны ромба равны, тоТеория вектора =Теория вектора. Следовательно, Теория вектора Из последнего получаем Теория вектора

Ч.т.д.

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов.

Задача 1.

Даны два вектора Теория вектора и Теория вектора, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. Теория вектора= ( -3; 3; 0) и Теория вектора= (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

Теория вектора х Теория вектора= ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что Теория вектора

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Теория вектора

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

Теория вектора = а, Теория вектора = в, Теория вектора = с

(рис.8). Тогда

АD =AB+ ВD =AB+Теория вектора= с + Теория вектора

аналогично определяются и другие медианы:

Теория вектора = а + Теория вектора, Теория вектора= в + Теория вектора

Так как, в силу условия замкнутости

Теория вектора + Теория вектора+ Теория вектора= а + в + с =0,

то мы имеем:

Теория вектора + Теория вектора + Теория вектора = ( с + Теория вектора) + (а + Теория вектора) + ( в + Теория вектора) = Теория вектора( а + в + с) = Теория вектора х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор Теория вектора и от точки С1 – вектор Теория вектора, мы получим.

Теория вектора

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.

Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С (теорема косинусов)

Теория вектора

Решение.

Положим: а = СВ, в = Теория вектора,

с = Теория вектора(рис.10).

Тогда с = а – в, и мы имеем

(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):

с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2 = а2 – 2ав х соs С + в2.

Задача 4.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение.

Теория вектора

Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

Теория вектора

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

Теория вектора

Сложим эти равенства почленно. Получим:

Теория вектора

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y), чтобы векторы Теория вектора и Теория векторабыли равны.

Решение.

Вектор Теория вектораимеет координаты –2, -1. Вектор Теория вектораимеет координаты х – 0, y –1. Так какТеория вектора = Теория вектора, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0.

Задача 6.

Даны два вектора Теория вектораи Теория вектора, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. Теория вектора= ( -3; 3; 0) и Теория вектора( 3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

Теория векторах Теория вектора= ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее озночает, что Теория вектора

Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач.

Используемая литература.

1. “Векторы в школьном курсе геометрии”. (1976г.) В.А.Гусев. Ю.М.Колягин. Г.Л.Луканкин.

2. “Векторы в курсе геометрии средней школы. (1962г.) В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.


Рефетека ру refoteka@gmail.com