Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Курсовая работа: Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра

1. Краткое математическое описание методов расчёта


1.1. Общие положения


Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (1)


Для нерекурсивного цифрового фильтра Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает вид:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (2)


Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (3)


Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, (4)


где Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (5)


Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).

Заменив в (4) z на Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, получим комплексную частотную характеристику:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (6)


Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (7)


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (8)


Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (9)


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (10)


Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра. Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (11)


Так как интервал определения Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, то интервал определения Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра. Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.

Аналитически АЧХ будет записываться в виде:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (12)


При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра), либо антисимметричной (Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра). Учитывая, что порядок фильтра Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:

N – нечётное, ИХ – симметричная

N – чётное, ИХ – симметричная

N – нечётное, ИХ – антисимметричная

N – чётное, ИХ – антисимметричная

цифровой фильтр выборка частотный

1.2 Метод частотной выборки


Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (13)


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (14)


Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (15)


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (16)

Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (17)


Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (18)


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (19)


При чётном N:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (20)


При нечётном N:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (21)

Подставляя вместо Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, по выражениям (20) и (21) можно найти Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, а из (17) – Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра.


1.3 Метод наименьших квадратов


При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


после чего решается система уравнений:

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра и находятся коэффициенты Ск.


Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


2. Расчётная часть


2.1 Расчёт методом частотной выборки


2.1.1 Расчёт импульсной характеристики

Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.


Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки

i

Значение импульсной характеристики Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


N=15 N=25 N=32

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

0,081

-0,013

0,025

-0,052

-0,303

0,03

0,46

0,03

-0,303

-0,052

0,025

-0,013

0,081


0,001497

0,001756

-0,02

-0,007456

-0,007554

0,028

0,061

-0,004905

0,034

-0,048

-0,297

-0,035

0,45

0,035

-0,297

-0,048

0,034

-0,004905

0,061

0,028

-0,007454

-0,007456

-0,02

0,001756

0,001497


0,001488

-0,008534

0,008698

-0,000256

0,003711

-0,011

0,015

-0,007875

-0,001266

0,053

0,029

0,0009025

0,04

-0,193

-0,224

0,321

0,321

-0,224

-0,193

0,04

0,0009025

0,029

0,053

0,001266

-0,007875

-0,015

-0,011

-0,003711

-0,000256

0,008698

-0,0008534

0,001488


2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, взятой с шагом 0,01 (Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра.


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, (32)

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра

В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра.

Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра

График функции точности аппроксимации для N=25


Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:


Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ
N=13 N=25 N=32
0,125 0,082 0,049

2.2 Расчёт методом наименьших квадратов


2.2.1 Расчёт импульсной характеристики

Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.


Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов

i

Значение импульсной характеристики Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


N=13 N=25 N=32

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,055

-0,004049

0,035

-0,042

-0,296

0,03

0,45


-0,003929

-0,003499

-0,012

0,008469

-0,008832

-0,026

0,055

0,035

-0,042

-0,296

0,03

0,45


0,002208

-0,005211

0,003349

0,003189

-0,003929

-0,003499

-0,012

-0,008469

-0,008832

0,026

0,055

-0,004049

0,035

-0,042

-0,296

0,45

0,45


2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра, взятой с шагом 0,01 (Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра).

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра

Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)


2.2.3 Расчёт точности аппроксимации

Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов

Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра


В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N.


Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ
N=135 N=25 N=32
0,125 0,057 0,051

2.3 Сравнение методов расчёта


Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.


Заключение


В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:

Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)

Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N.


Рефетека ру refoteka@gmail.com