Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Курсовая работа: Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Размещено на http://

Содержание


Введение

1. Основные понятия о передаточных функциях БИХ-фильтров

2. Структурная схема БИХ-фильтра

3. Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

4. Описание метода синтеза фильтра

5. Результаты синтеза

Выводы

Список используемой литературы


Введение


Непрерывно развивающаяся цифровая техника, увеличение скорости вычислений и номенклатуры выполняемых операций приводит к широкому внедрению различных методов цифровой обработки сигналов в радиоэлектронных системах. Применение этих методов позволяет во многих случаях использовать для обработки сигналов точные оптимальные алгоритмы. Такие алгоритмы были получены уже давно, исходя из статистических свойств сигналов и шумов, но их реализация в аналоговом виде была невозможна. Область применения цифровых методов неуклонно расширяется и одной из основных является цифровая фильтрация.

Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот. К подавлению или выделению какой-либо частотной составляющей и т.п. Фильтрация нашла многочисленные применения, например, для подавления шума, маскирующего сигнал, для устранения искажения сигнала, для разделения двух или более различных сигналов, для разложения сигналов на частотные составляющие, для демодуляции сигналов, для преобразования дискретных сигналов в аналоговые, для ограничения полосы частот, занимаемой сигналами.

Любой аналоговый сигнал, ограниченный по частоте, можно преобразовать в дискретный, используя теорему Котельникова, проквантовать его и, получив цифровой сигнал, подвергнуть его цифровой фильтрации. Использование цифровых фильтров обусловлено следующими их преимуществами по сравнению с аналоговыми:

Возможность реализации фильтров с любыми импульсными и частотными характеристиками в пределах полосы частот, обеспечиваемой преобразователями АЦП и арифметических устройств. При этом можно построить устройства, реализация которых в аналоговом виде невозможна.

Отсутствие негативных факторов (инерционность энергоемких элементов, влияние паразитных связей между отдельными узлами, несогласование узлов по входному сопротивлению).

Повторяемость характеристик.

Высокая точность воспроизведения операторов преобразования и стабильность характеристик.

Нечувствительность к изменениям внешних условий.

Высокая надежность в работе.

Возможность диагностики и самодиагностики.

Модернизация в процессе эксплуатации.

Простота осуществления устройств памяти.

Малые габариты и вес.


1. Основные понятия о передаточных функциях БИХ-фильтров


Дискретным фильтром называется устройство, точно реализующее следующий алгоритм:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


где Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) и Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) – n-е отсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно, а aj и bl – коэффициенты. Выражение (1) представляет собой разностное уравнение.

Если коэффициенты aj и bl зависят только от текущего индекса n (то есть являются функция времени) и не зависят от значений {xn} и {yn}, то фильтр называется линейным импульсным фильтром, а уравнение (1) – линейным разностным уравнением. Если же aj и bl - просто постоянные коэффициенты, то фильтр называется линейным инвариантным во времени дискретным фильтром, а (1) – линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

Для вычисления yn при n=0,1,2,3, необходимо задать начальные условия – значения y(-Дt), y(-2Дt),..., y(-MДt) и значений x(-Дt), x(-2Дt), ,x(-MДt). В дальнейшем предполагается, что заданы нулевые начальные условия.

Из выражения (1) видно, что для вычисления выходных отсчетов фильтра необходимо выполнять лишь три операции:

задержку (запоминание) N и M отсчетов соответственно входного и выходного сигналов;

умножение;

алгебраическое сложение.

Реализация выражения (1) с малыми погрешностями, не зависящими от температуры, влажности и т.д., возможна только с помощью цифрового устройства.

Цифровое устройство, реализующее алгоритм (1), называется цифровым фильтром. В таких фильтрах входной и выходной сигналы являются цифровыми, представленными двоичными кодами. Поскольку при цифровом представлении сигналов xn, yn и коэффициентов aj и bl используется конечное число двоичных разрядов, вычисления по алгоритму (1) происходит с погрешностью. Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелинейные устройства, к которым не применимы методы анализа и синтеза линейных систем. Однако количество разрядов в кодах, как правило, настолько велико, что погрешностью представления указанных величин в цифровой форме можно пренебречь и при анализе считать их точными, то есть представленными бесконечным числом двоичных разрядов. Конечность числа разрядов обычно учитывается при определении точности цифровых фильтров.

Существуют цифровые фильтры двух классов:

рекурсивные;

нерекурсивные.

Если в выражении (1) хотя бы один из коэффициентов aj не равен нулю, то реализуемый цифровой фильтр называется рекурсивным. Если же в выражении (1) все коэффициенты aj равны нулю, то есть то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным.


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции(2)


Нерекурсивный фильтр является устройством без обратной связи, а рекурсивный фильтр – устройством с обратной связью. Нерекурсивный фильтр принято называть фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр), а рекурсивный фильтр - фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Так как в курсовой работе рассматривается синтез БИХ-фильтра, то в дальнейшем будем рассматривать только фильтры данного типа.

Анализ свойств цифровых фильтров производится в рамках теории z-преобразования, которое имеет такое же значение, как теория преобразования Лапласа при изучении аналоговых фильтров.

Передаточной функцией H(z) фильтра называется отношение z-образа выходного сигнала {yn} к z-образу входного сигнала {xn} при нулевых начальных условиях:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (3)


Применив к выражению (1) z-преобразование и учтя нулевые начальные условия у-М=у-М+1=…=у-1=х-N=х-N+1=…=x-1=0, получим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (4)


Выражение (3) можно преобразовать к следующему виду:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (5)


Где


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Y(z) – z-образ вспомогательного дискретного сигнала {yn}. Из этих соотношений видно, что алгоритм работы фильтра можно задать в виде системы разностных уравнений вместо одного уравнения:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (6)

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Первое уравнение соответствует передаточной функции H1(z), а второе – передаточной функции H2(z).

Формы реализации рекурсивного цифрового фильтра, построенные на основании формул (1) и (5), называются прямой и канонической соответственно.

Обычно рекурсивные фильтры большого порядка (при большом М) в прямой и рекурсивной формах не реализуют, так как при этом наблюдается значительный уровень шумов на выходе, обусловленных конечной разрядностью кодов, циркулирующих в фильтре. Поэтому фильтры большого порядка реализуют в виде совокупности отдельных звеньев, каждое из которых соответствует простому разностному уравнению. Универсальным, пригодным для построения любых фильтров, является биквадратный блок с передаточной функцией

фильтр синтез передаточная функция

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции , (7)


где Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции и Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - постоянные коэффициенты.

Возможны два варианта создания фильтров из отдельных биквадратных блоков: каскадная; параллельная.

Каскадной схеме соответствует разложение передаточной функции (4) на множители типа


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (8)


Реализация рекурсивного фильтра в параллельной форме соответствует представлению передаточной функции (4) в виде суммы простых дробей:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (9)


Это выражение соответствует случаю отсутствия кратных корней в правой части (4). Каждое слагаемое реализуется в виде биквадратных блоков. Все эти блоки соединяются параллельно. Если же есть кратные корни, то может понабиться последовательное соединение биквадратных звеньев для кратных корней.


2. Структурная схема БИХ-фильтра


Исходя из технического задания необходимо привести структурную схему фильтра в каноническом виде и в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядка.

Каноническая форма реализации рекурсивного фильтра выглядит следующим образом:

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Форма реализации рекурсивного фильтра в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядка представлена на следующем рисунке:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


3. Методы расчета БИХ-фильтров и вид целевой функции


Расчет БИХ-фильтров можно вести в частотной и временной областях. При расчете в частотной области используется синтез по аналоговому и цифровому прототипам. Численные методы расчета разработаны для применения в частотной и временной областях.

Синтез по аналоговому прототипу основан на преобразовании p-плоскости в z-плоскость, а характеристик и параметров аналоговых фильтров - в соответствующие характеристики и параметры цифровых фильтров. Передаточная функция аналогового фильтра на p-плоскости в общем виде может быть записана так:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. (1)


Для перехода к функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции и разностному уравнению ЦФ существуют следующие четыре метода.

Метод 1.Отображение дифференциалов. Это наиболее простой метод, сущность которого заключается в замене дифференциалов на конечные разности. В операторном уравнении (1), если дифференциалы заменяются прямыми разностями, то


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции или Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции,


а если обратными, то


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции или Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.


Недостатком метода является неполное соответствие частотно-избирательных свойств ЦФ свойствам аналогового прототипа. Кроме того, при использовании прямых разностей устойчивый аналоговый фильтр - прототип отображается в неустойчивый ЦФ. Поэтому, несмотря на простоту, применять этот метод не рекомендуется.

Метод 2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики (стандартное Z-преобразование). Сущность метода заключается в расчете импульсной характеристики (ИХ) ЦФ по аналоговому прототипу и вычислении системной (передаточной) функции ЦФ.

Достоинством данного метода является подобие импульсных характеристик ЦФ и аналогового прототипа; простота. Недостатком же является наличие эффекта наложения частотных характеристик ЦФ, если полоса пропускания аналогового прототипа превышает Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Поэтому точность расчетов ЦФ по данному методу тем выше, чем меньше отношение Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, где Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - верхняя частота полосы пропускания ЦФ; Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - частота дискретизации.

Метод 3. Согласованное Z-преобразование. Полюсы и нули аналогового прототипа на p-плоскости отображаются в полюсы и нули ЦФ на z-плоскости по правилу:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.


Для реализации этого метода передаточную функцию аналогового прототипа представляют в виде произведения сомножителей


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции,


где Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - действительные или комплексно-сопряженные коэффициенты. Метод согласованного Z-преобразования не применим, если передаточная функция аналогового прототипа имеет только полюсы (нули расположены в бесконечности). Для устранения этого недостатка при расчетах фильтров с нулями в бесконечности рекомендуется вводить полюс того же порядка, что и нуль, в точке Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

Метод 4. Билинейное (дробно-линейное) Z-преобразование. При отображении p-плоскости в z-плоскость вся мнимая ось Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции отображается в единичную окружность. Для этого необходимо выбирать нелинейную монотонную функцию частоты. Эта функция должна изменяться в пределах от Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции до Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции на оси частот дискретизации при изменении Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции от Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции до Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. В качестве такой функции комплексных частот можно выбрать гиперболический тангенс


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции или Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, (2)


которому при Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции соответствует обычный тангенс


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.


Гиперболический тангенс в выражении (2) можно представить следующим образом:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. (3)


Таким образом, комплексная плоскость p преобразуется в комплексную z-плоскость заменой переменных (3).

С помощью билинейных Z-преобразований можно от аналогового ФНЧ - прототипа перейти к ЦФ нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовому, режекторному, гребенчатому и др.

Билинейное Z-преобразование обладает следующими достоинствами: во-первых, физически реализуемый и устойчивый аналоговый фильтр отображается в физически реализуемый и устойчивый ЦФ: во-вторых, отсутствуют проблемы, связанные с наложениями: в-третьих, нелинейность шкалы частот ЦФ, преобразованного из прототипа, можно учесть для широкого класса фильтров.

Недостатком этого метода является не совпадение импульсной и фазовой характеристик рассчитанного прототипа, поэтому необходимо вводить корректоры и усложнять конструкцию ЦФ. Тем не менее метод билинейного Z-преобразования является самым распространенным аналитическим методом расчета ЦФ.

Для синтеза БИХ ЦФ по цифровому прототипу используются преобразования ЦФ НЧ с безразмерной частотой среза Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции в ЦФ НЧ с другой частотой среза, ЦФ ВЧ, полосовой, режекторный или гребенчатый фильтры. Методика расчета по цифровому прототипу проще, чем методика расчета по аналоговому прототипу, так как в ней отсутствует этап перехода от аналогового фильтра - прототипа к ЦФ.

Применение методов оптимизации для расчета БИХ-фильтров.

В последние годы широкое распространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров, называемых методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, что система уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, не может быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентов приходится использовать численные методы оптимизации, минимизирующие, согласно выбранному критерию, некоторую ошибку.

В качестве такого критерия используется критерий минимума среднеквадратической ошибки. При этом целевая функция задачи имеет вид


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции,


где Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции- (Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции)-мерный вектор искомых коэффициентов, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - получаемая амплитудная характеристика фильтра, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - заданная амплитудная характеристика фильтра, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - дискретный ряд частот, на которых вычисляются отклонения получаемой и заданной характеристик фильтра.

Минимизация функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции сводится к нахождению оптимального значения параметрического вектора весовых коэффициентов фильтра Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Так как функция Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции является нелинейной, для ее минимизации необходимо использовать эффективные методы оптимизации.

При использовании методов оптимизации учитывается поведение только амплитудной характеристики, поэтому некоторые полюсы или нули после завершения итераций могут оказаться за пределами единичного круга. В этом случае можно прежде всего заменить полюс с полярными координатами Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, оказавшийся вне единичного круга, на полюс с координатами Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, находящийся внутри единичного круга. Амплитудная характеристика фильтра при такой замене остается неизменной, так как полюс заменяется своим зеркальным отображением. После того, как все полюсы оказываются внутри единичного круга, появляется возможность с помощью дополнительного анализа еще больше оптимизировать квадрат ошибки. Такая ситуация возникает достаточно часто, и в этих случаях оптимизация должна производиться двумя этапами:

Использование программы оптимизации для минимизации функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции без каких-либо ограничений на расположение нулей и полюсов.

После завершения итераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся вне единичного круга. После этого продолжение оптимизации для нахождения нового минимума Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.


4. Описание метода синтеза фильтра


При разработке современных систем (в том числе и цифровых фильтров) возникает задача оптимального проектирования. Под этим термином понимается процесс разработки наилучшего, оптимального устройства (в каком-то смысле), как правило с помощью ЭВМ. Большинство методов оптимизации являются итерационными по своей природе.

Как было уже сказано, большинство методов оптимизации, в том числе и методов безусловной оптимизации, носит итерационный характер. Это значит, что начиная с какой-либо точки х0, называемой начальным приближением, алгоритм оптимизации генерирует последовательность точек х1, х2,…хn, которая в принципе должна сходиться к точке Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. На практике процесс генерирования точек прекращается после конечного S числа шагов. И точка Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции выдается в качестве приближения к точке Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. При этом вычисление очередной точки Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции называется к-той итерацией, а точку Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - к-ым приближением.

Вектор Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции называется к-тым шагом. Отсюда Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, к=0,1,2…

В основу всех методов оптимизации положено следующее правило: значение целевой функции от итерации к итерации должно убывать. То есть должно выполняться следующее условие:

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Данное условие называется условием спуска.

Методы оптимизации, которые удовлетворяют этому условию, называются допустимыми или методами спуска. Основу всех методов спуска составляет следующая модельная схема:

к=0, выбирается начальное приближение Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции;

Проверяются критерий останова. Если критерий выполняется, то расчеты прекращаются и точка Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции выдается как приближение Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. В противном случае осуществляется переход к следующему пункту.

Рассчитывается ненулевой n-мерный вектор Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, называемый направлением поиска или направлением шага.

Вычисляется малое положительное число Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (длина шага) такое, что должно выполняться условие спуска:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Выполнение к-той итерации Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, к=к+1 и происходит переход к пункту 2.

Шаг 4 в модельной схеме предполагает решение задачи одномерной минимизации – нахождение длины шага hk. Чтобы решить эту задачу, необходимо, чтобы вектор Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции был допустимым направлением поиска или направлением спуска, условием чего является следующее выражение : Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции , то есть угол между вектором-градиентом и направлением поиска должен быть тупым.

В модельной схеме значение целевой функции F(x) убывает от итерации к итерации. Тем не менее монотонно убывающая последовательность {F(x)} может не сойтись к минимуму по следующим причинам:

1. Как бы хорошо не выбиралось направление Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, все может испортить неудачный выбор длины шага hk, при котором величина убывания целевой функции F(x) по итерациям будет слишком быстро стремиться к нулю.

2. Решение не удастся получить, если алгоритм расчета направления поиска Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции выдает векторы почти касательные к линиям уровня целевой функции, где ее значение постоянно. В результате угол между вектором-градиентом и направлением поиска будет стремиться к 90 градусам, то есть их скалярное произведение будет близким к нулю.

Следовательно, для того, чтобы получить гарантированно сходящуюся последовательность в соответствии с модельной схемой необходимо, чтобы длина шага hk обеспечивала бы существенное убывание целевой функции от итерации к итерации и, чтобы угол между вектором-градиентом и направлением поиска на каждой итерации был больше 90 градусов.

Помимо этих двух требований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одно условие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Для функции F(x) и числа Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции множеством уровней называется совокупность всех точек, для которых справедливо выражение F(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Дополнительное условие заключается в том, чтобы данное множество L(F(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции)) было бы ограничено и замкнуто.

Таким образом, если

функция F(x) непрерывна и дважды дифференцируема;

ее множество уровней ограничено и замкнуто;

функция F(x) существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол между вектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам на фиксированную положительную величину,

то алгоритм модельной схемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

Сходимость такого рода называется глобальной, так как она не предполагает близости начального приближения точки Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции к стационарной точке Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

Четвертый шаг модельной схемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, которая должна удовлетворять условию спуска:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Для того, чтобы выбрать Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, удовлетворяющий этому условию, необходимо минимизировать значение целевой функции вдоль направления Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции как функцию одной переменной (скалярной) h. То есть минимизировать функцию:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Чем точнее будет находиться минимум функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, тем быстрее будет сходиться алгоритм модельной схемы. С другой стороны очень точное нахождение минимума Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции потребует больших вычислений функции, а следовательно вычисления целевой функции.

Для нахождения минимума Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции используются две группы методов одномерной оптимизации:

Эффективные методы одномерного поиска (метод Золотого сечения и метод Фибоначчи);

Методы полиномиальной интерполяции (Пауэлл, Ньютон, сплайн-интерполяция).

Для конкретизации модельной схемы помимо процедуры вычисления длины шага hk необходимо также задавать алгоритм расчета требуемого направления поиска Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

В отличие от одномерного случая, где возможно всего лишь два направления движения ( вперед и назад), уже в двумерной задаче множество направлений поиска является бесконечным.

В этом случае возникает проблема выбора направления поиска Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Именно способ вычисления Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции и определяет «лицо» алгоритма безусловной минимизации. Поэтому названия алгоритмам оптимизации даются по реализованным в них процедурам вычисления Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

В данной курсовой работе в качестве метода синтеза применяется метод сопряженных градиентов. В группе данных методов процедура вычисления направления поиска не предполагает решения каких либо СЛАУ. Эти методы принципиально отличаются от методов Ньютна и квазиньютоновских методов.

Рассмотрим задачу поиска минимума квадратичной функции вида:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


с,G - вектор и полноопределенная матрица, независящие от вектора Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции .

Предполагается, что нам известно к-тое приближение в точке минимумаМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции и (к+1) линейно независимых векторов Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

Будем искать точку минимума целевой функции Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) на линейном множестве векторов Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции+Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииРк, где Рк – (к+1)-мерное множество, образованное линейно независимыми векторами.

Множества, образованные вида Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции+Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииРк называются линейными многообразиями.

Задача сводится к нахождению точки минимума Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) на этом линейном многообразии.

Для решения этой задачи сначала вводится матрица Рк=[Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции]. Введение такой матрицы позволяет сформулировать задачу поиска минимума функции Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) на многообразии Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции+Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииРк следующим образом: найти Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

То есть надо найти вектор Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, таким образом, чтобы точка Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции была бы точкой минимума функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции.

Для решения этой задачи необходимо сначала в функцию Ф(х) вместо Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, затем продифференцировать получившуюся функцию по вектору Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, приравнять результат к нулю и оттуда выразить векторМетоды расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, который является решением задачи.


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Если есть функция


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции, то Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Тогда точка минимума


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (1)


Формулу (1) можно рассматривать как формулу рекуррентного расчета точки Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функциив классических методах спуска. Другими словами, формула (1) описывает процедуру пошаговой минимизации квадратичной функции Ф(х).

Формула (1) обладает рядом свойств:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции ,


то есть каждая компонента должна быть равна нулю


Так как предполагается, что все точки xj при j=1,к рассчитывается по формуле (1), то справедливо следующее свойство:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции i>j


Тогда формулу (1) можно преобразовать


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


ек – (к+1) столбец единичной матрицы

С учетом всего этого формула (1) примет вид


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Последнее выражение можно упростить, если матрица Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции будет ортогональной. Ето возможно сделать, если вектора Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции выбирать специальным образом. Вектора Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции должны быть сопряженными относительно матрицы G, то есть должны выполняться следующие соотношения


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Тогда получаем упрощенное выражение


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Таким образом мы установили, что среди методов минимизации квадратичных функций, укладывающихся в общую модельную схему, существует метод, к-тая итерация которого приводит в точку минимума функции Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) на многообразии Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции+Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииРк-1.

Теоретически такой метод конечен, то есть он обеспечивает нахождение минимума функции Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) не более чем за N шагов (N-размерность задачи), так как многообразие Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции+Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функцииРк-1 на последнем N-том шаге совпадает с множеством значений аргумента Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции и следовательно, если минимум функции Ф(Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции) не был найден ранее, то он обязательно будет найден на этом шаге.

Для того, чтобы полностью определить метод сопряженных градиентов необходимо определить правило выбора вектора Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Это правило выглядит следующим образом:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (2)


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - скаляр, который выбирается по двум теоретически эквивалентным формулам:


1. Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - формула Флетчера-Ривса

2. Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции - формула Полака-Рибьера


Метод сопряженных градиентов для квадратических функций легко обобщается на случай целевой функции общего вида. Для этого необходимо ввести процедуру одномерного поиска длины шага hk и определиться, всегда ли направление поиска будет выдаваться по формуле (2) или допустимы отступления от нее. Такие отступления называются восстановлениями или рестартами. В начале рестарта вектор Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции. Метод сопряженных градиентов, использующий такие рестарты, называется традиционным. Традиционный метод сопряженных градиентов сходится в тех же предположениях, что и метод наискорейшего спуска. Он обладает теоретической N-шаговой сверхлинейной сходимостью, но из-за наличия ошибок округления реальная скорость сходимости метода сопряженных градиентов практически всегда линейна.

Таким образом, хотя схема метода сопряженных градиентов далека от идеала, тем не менее этот метод остается единственным разумным средством для решения задачи оптимизации очень большой размерности (число переменных более 1000000).


5. Результаты синтеза


Синтез фильтра в данной курсовой работе был проведен на ЭВМ. В результате были получены следующие характеристики фильтра верхних частот третьего порядка:


Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Устойчивость фильтра можно оценить по карте нулей и полюсов, полученных в результате синтеза фильтра:


Нули Полюсы
Модуль Фаза Модуль Фаза
0,4271382 0 -0,5972885 0
0,8485097 82,4483 0,8551201 122,995
0,8485097 -82,4483 0,8551201 -122,995

Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции


Коэффициенты фильтра:


ai bi
-0.4271382 0.5972885
-0.2230246 0.9313478
0.7199687 0.7312304

Заключение


В данной курсовой работе был рассчитан цифровой фильтр высоких частот 3-го порядка. Результаты расчета показали, что фильтр является устойчивым, поскольку нули и полюса фильтра лежат внутри единичной окружности, что иллюстрируется картой нулей и полюсов, а это является достаточным условием устойчивости цифрового фильтра. Также в работе представлены частотные характеристики, которые полностью удовлетворяют требованиям технического задания.


Список использованной литературы


1. Смирнов А.А. Лекции по курсу “Теория проектирования радиоэлектронных систем управления и передачи информации”, 2004г.

2. Езерский В.В. Лекции по курсу “Цифровая обработка сигналов и микропроцессоры в радиоуправлении”, 2003г.

3. Езерский В.В., Паршин В.С. Теоретические основы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие. РГРТА, Рязань, 1996г.

Похожие работы:

  1. • Методы расчета БИХ-фильтров
  2. • Расчет и моделирование цифрового фильтра
  3. • Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
  4. • Расчет цифровых фильтров с бесконечными ...
  5. • Реализация цифрового фильтра нижних частот
  6. • Цифровые фильтры
  7. • Разработка цифрового фазового корректора
  8. • Цифровая обработка сигналов
  9. • Проектирование цифрового фильтра верхних частот
  10. • Проектирование цифрового фазового звена
  11. • Цифровая обработка сигнала (Digital Signal processing)
  12. • Краткие сведения о принципах действия дискретных и цифровых ...
  13. • Проектирование цифрового фазового звена
  14. • Разработка микропроцессорного устройства цифрового фильтра
  15. • Цифровые частотные дискриминаторы, фильтры и генераторы ...
  16. • Цифровой фильтр высокой частоты
  17. • Обработка электрического сигнала с помощью фильтрации
  18. • Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов
  19. • Сигналы и процессы в радиотехнике (СиПРТ)
Рефетека ру refoteka@gmail.com