Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Теория вероятности

Вариант 10

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)


Контрольная работа №3


1. На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором - 30, из них четыре с дефектами, на третьем - 50 деталей, из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.

Какова вероятность того, что она обработана на третьем станке?


Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса:

Пусть Н1, Н2, … Нn – полная группа попарно несовместных событий гипотезы, А – случайное событие, тогда:


Теория вероятности


Введем гипотезы: Н1 – деталь обработана на первом станке, Н2 – деталь обработана на втором станке, Н3– деталь обработана на третьем станке.

Введем событие А – купленная деталь оказалась без дефектов.

Тогда, по условию задачи:


Теория вероятности


Так как на первом станке было изготовлено 20-7 = 13 деталей без дефектов, то


Теория вероятности


На втором станке было изготовлено 30-4 = 26 деталей без дефектов, то

Теория вероятности


А на третьем станке было изготовлено 50-10 = 40 деталей без дефектов, то


Теория вероятности


По формуле полной вероятности получаем:


Теория вероятности

По формуле Байеса:


Теория вероятности

Ответ: Теория вероятности


2. Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности р - 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине)?


Решение


По условию, р=0,9, тогда q=0,1. Необходимо найти n. Необходимо, чтобы условие


Теория вероятности

выполнялось с вероятностью, не меньшей, чем 0,9545. Раскроем модуль и найдем границы для m:


Теория вероятности


По теореме Муавра-Лапласа:


Теория вероятности


По условию, Теория вероятности≥0,9545.


По математико-статистическим таблицам находим приближенное значение функции Лапласса:


Ф(Х) = 0,9545, где Х=Теория вероятности.


Имеем: Ф(Х) = 2,0 , отсюда


Теория вероятности


Итак, следует взять не менее 900 семян.


3. Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина « Каберне». Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002.

Какова вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок?


Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью, тогда вероятность Рn(m) того, что событие наступило m раз в этой серии испытаний можно найти:


Р(А) = Теория вероятности,


так как число n=2000 велико, а вероятность р=0,002 мала, то найдем:


Теория вероятностито воспользуемся формулой Пуассона:

Теория вероятности


Искомая вероятность приближенно равна:


Теория вероятности

P = P2000(0)+ P2000(1)+ P2000(2)+ P2000(3)+ P2000(4)+ P2000(5)≈0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954+0,1563 = 0,7852

Ответ: Р≈0,7852


4. Одна из случайных величин (X) задана законом распределения:


X 0 1 3
p 0,2 0,3 0,5

а другая (У) имеет биномиальное распределение с параметрами п=2,р=0,4.

Составить закон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.


Найдем закон распределения для величины (Y):


y 0 1 2
p p0=0,36 p1=0,48 p2=0,16

Z11 = X1 - Y1 = 0-0 = 0; p(Z11) = 0,2·0,36=0,072;

Z12 = X1 - Y2 = 0-1 = -1; p(Z12) = 0,2·0,48=0,096;

Z13 = X1 - Y3 = 0-2 = -2; p(Z13) = 0,2·0,16=0,032;

Z21 = X2 - Y1 = 1-0 = 1; p(Z11) = 0,3·0,36=0,108;

Z22 = X2 - Y2 = 1-1 = 0; p(Z11) = 0,3·0,48=0,144;

Z23 = X2 - Y3 = 1-2 = -1; p(Z11) = 0,3·0,16=0,048;

Z31 = X3 - Y1 = 3-0 = 3; p(Z11) = 0,5·0,36=0,018;

Z32 = X3 - Y2 = 3-1 = 2; p(Z11) = 0,5·0,48=0,024;

Z33 = X3 - Y3 = 3-2 = 1; p(Z11) = 0,5·0,16=0,08.


Итак, закон распределения разности имеет вид:


Z -2 -1 0 1 2 3
P 0,032 0,096+0,048=0,144 0,072+0,144=0,216 0,108+0,08=0,188 0,24 0,18

Мат. ожидание:


М(Z) = -2·0,032-1·0,144+0·0,216+1·0,188+2·0,24+3·0,18= -0,02+0,48+0,54 = 1


Проверка:


М(Х) = 0,3+1,5 = 1,8

М(Y) = np = 0,8

M(X-Y) = M(X) – M(Y) = 1,8-0,8 = 1.


Дисперсия:


D(Z) = M(Z2)-[M(Z)]2

M(Z2)=0,128+0,144+0+0,188+0,96+1,62 = 3,04

D(Z) = 3,04-1 = 2,04.


5. Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием М{Х) = 10 и средним квадратическим отклонением δ = 2, найти вероятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интервале (5; 6).

В каких границах (симметричных относительно М(Х)) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95?


Теория вероятности

2 Теория вероятности


Используя таблицу значений нормированной функции Лапласса, имеем:


Теория вероятности


Список использованной литературы


Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.

Похожие работы:

  1. • Теория вероятностей
  2. • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова
  3. • Динамика развития некоторых понятий и теорем теории ...
  4. • Разработка программы факультативного курса по теории ...
  5. • Возможности использования элементов теории вероятностей и ...
  6. • Теория вероятностей и математическая статистика
  7. • Теория вероятностей
  8. • Теория вероятности и математическая статистика
  9. • Теория вероятности и мат статистика
  10. • Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей
  11. • Теория вероятности и математическая статистика
  12. • Аксиоматика теории вероятностей
  13. • Теория вероятности и математическая статистика
  14. • Теория вероятностей
  15. •  ... курса "Основы теории вероятностей и математической ...
  16. • Теория вероятностей
  17. • Теория вероятностей
  18. • Теория вероятности
  19. • Теория Вероятностей
  20. •  ... комбинаторики, теории вероятностей и математической ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com