Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Теория вероятностей

Министерство образования и науки Российской Федерации

Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»


Факультет заочного обучения

Кафедра физики, информатики, математики


Контрольная работа


по дисциплине Математика


Руководитель работы:

Шабалина Л.Г.

Исполнитель:

Студент з-09 ПГС группы

Сушков Е.А.


Бузулук 2010

Задание 1


1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго - 0,8; для третьего – 0,85.

Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

б) все три станка потребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Решение: I II III


P 0, 9 0, 8 0, 85


а) А (i =1,2,3) – не потребует внимания станок в течение часа

В – событие, где все 3 станка не потребуют внимания рабочего в течение часа


Р (В) = Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р(А1) Ч Р(А2) Ч Р(А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612


б) А (i =1,2,3) – не потребует i-й внимания станок

Ᾱ (i =1,2,3) – потребует i-й внимания станок, независимое событие


Р (Ᾱ 1) = 1 – 0,9 = 0,1

Р (Ᾱ 2) = 1 – 0,8 = 0,2

Р (Ᾱ 3) = 1 – 0,85 = 0,15

Р (Ᾱ 1 Ч Ᾱ 2 Ч Ᾱ 3) = (0,1 Ч 0,2 Ч 0,15) = 0,003

в) Ᾱ 1 = 0,1; Ᾱ 2 = 0,2; Ᾱ 3 = 0,85

Аi – один станок потребует внимания рабочего в течение часа


Р (В) = Р (А1 Ч Ᾱ 2 Ч А3 + Ᾱ 1 Ч А2 Ч А3 + А1 Ч А2 Ч Ᾱ 3) = (0,9Ч 0,2 Ч 0,85 + 0,1 Ч 0,8 Ч 0,85 + 0,9 Ч 0,8 Ч 0,15) = 0,329


г) Найдём вероятность через противоположное событие, т.е. ни один станок не потребует внимания рабочего в течение часа


Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р (А1) Ч Р (А2) Ч Р (А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612

Р ( С) = 1 – 0,612 = 0,388


Ответ: а) вероятность равна 0,612, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего; б) вероятность равна 0,003, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего; в) вероятность равна 0,329, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) вероятность равна 0,388, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.


Задание 2


Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартные. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б) все детали нестандартные; в) все детали стандартные; г) хотя бы одна деталь стандартная.

Решение:

а) число способов, где взяли 5 деталей из 10 детали, можно подсчитать по формуле:

С2 – число способов, где взяли 2 стандартные детали из 3-х нестандартных

С3 – число способов, где взяли 3 стандартные детали из 7-ми нестандартных

С5 – всего способов, где взяли 5 стандартных деталей из 10-ти


С2 =__3!___ = 3 С3 = __7!___ = 35 С5 = __10!___ = 252

2! Ч 1! 3! Ч 4! 5! Ч 5!

С3 Ч С7 = 3 Ч 35 = 0,417

С5 252


б) С7 – число способов выбора, где взяли 5 деталей из 7-ми


С5 = __7!__ = 21

5! Ч 2!


Число выбора деталей считается в сочетании С5 = 1

С7 – число способов, где взяли 5 деталей из 7-ми

С10 – всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти

Искомая вероятность Р ( Д):


Р (Д) = С7 Ч С3 = 21 Ч 1 = 0,083

С10 252


в) Событие, где взяли 5 стандартных деталей из 3-х стандартных деталей невозможно. Вероятность равна нулю.

г) Найдём искомую вероятность через противоположное событие:

С7 – число способов, где взяли 5 нестандартных деталей из 7-ми

С3 – число способов выбора из 3-х

С10 – всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти

С7 Ч С3 = 0,083 - искомая вероятность равна результату под пунктом б). С10

Ответ: а) Если среди отобранных 5 деталей окажутся только 2 стандартные детали, то вероятность равна 0,417; б) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали нестандартные, то вероятность равна 0,083; в) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали стандартные, то вероятность равна 0; г) если среди отобранных 5 деталей окажется, хотя бы одна деталь стандартная, то вероятность равна 0,083.


Задание 3


Имеется 2 ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором - только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?

Решение: I ящик II ящик

Доброкачественные 50 Ч 50 изделия Н1 – взяли из I ящика с доброкачественными изделиями, то Р ( Н1) = 0,5

Н2 – взяли из II ящика, то Р ( Н2) = 0,5

Событие А, где взяли доброкачественную деталь, Р ( А ǀ Н1) = 1

Событие А ǀ Н1 – доброкачественная деталь из I ящика

Событие А ǀ Н2 – из II ящика, Р ( А ǀ Н2) = 0,5

Тогда искомая вероятность Р ( А ) =Р ( Н1 ) Ч Р ( А ǀ Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р (А ǀ Н2)


Р ( А) = 0,5 Ч 1 + 0,5 Ч 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Р ( Н1 ) Ч Р ( А ǀ Н1 ) ˃ Р ( Н2 ) Ч Р ( А ǀ Н2)


Ответ: Если изделие принадлежит первому и второму ящику, и количество изделий в ящиках одинаково, то вероятности отличаются на 0,75.

Задание 4


В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?

Решение: I II III


20 18 14

0,7 0,85 0,9

Р ( А ǀ Н1 ) = 0,7 Р ( А ǀ Н2 ) = 0,85 Р ( А ǀ Н3 ) = 0,9

Р ( А) = 0,7 Ч 0,85 Ч 0,9 = 0,536


А – взятое изделие отличного качества из II станка

Искомая вероятность равна:


Р ( Н2 ǀ А ) = ________ Р ( Н2 ) Ч Р ( А ǀ Н2)

Р ( Н1 ) Ч Р ( А ǀ Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р ( А ǀ Н2 ) + Р ( А ǀ Н3)


Где Н1, Н2, Н3 – соответственно изготовлено изделий на станках I, II и III.

Р ( А ǀ Н1) = 0,7 – вероятность отличной детали I станка

Р ( А ǀ Н2) = 0,85 – вероятность отличной детали II станка

Р ( А ǀ Н3) = 0,9 – вероятность отличной детали III станка


Р ( Н2 ǀ А) = ________ 0,346 Ч 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365

0,385 Ч 0,7 + 0,346 Ч 0,85 + 0,269 Ч 0,9 0,806

Ответ: Вероятность равна 0,365, что взятое наудачу изделие оказалось отличного качества изготовлено на втором станке.


Задание 5


Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

Решение:

Событие А произойдёт не менее 2-х раз в 4 независимых испытаниях


Р ( А ) = р Р ( А) = Сm Ч рm Ч qn - m

Р = 0,6

q = 1 – р = 1 – 0,6 = 0,4


– вероятность противоположного события. Нет наступления события А в 1-ом испытании.

Найдём произведение npq и определим формулу вычисления:

вероятность случайный величина интегральный

n = 4 npq = 4 Ч 0,6 Ч 0,4 = 0,96


Можно использовать формулу Бернули:


Р ( А) = С2 Ч p2 Ч q2 + С3 Ч р3 Ч q1 + С4 Ч р4 Ч q0


Найдём через противоположное событие:


Р ( А) = 1 – С0 Ч p0 Ч q4 + С1 Ч p1 Ч q3 = 1 – 1 Ч 1 Ч (0,4)4 + 4 Ч 0,6 Ч (0,4)3 = 1 – 0,0256 + 4 Ч 0,6 Ч 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128

С4 = __4!__ = 4

1! Ч 3!

Ответ: Если событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятность равна 1,128.


Задание 6


Вероятность того, что пара обуви, наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что из 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.

Решение:

Для решения задачи используем интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Вероятность событий Рn (m1 ˂ m ˂ m2) = Ф (х2) – Ф (х1)


р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3

х1 = _m1 – np_ = 1000 – 2100 Ч 0,7 = 1000 – 1470 = – 470 = – 22,38

√ npq √2100 Ч 0,7 Ч 0,3 √441 21

х2 = _m2 – np_ = 1500 – 2100 Ч 0,7 = 1500 – 1470 = _30_ = 1,43

√ npq √2100 Ч 0,7 Ч 0,3 √441 21

Ф ( – х) = – Ф (х) Ф (– 22,38) = 0,5 Ф (– 22,38) = 0,4236

Ф (х2) – Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236


Ответ: Если число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500, то из 2100 пар, поступающих на контроль, равна вероятности 0,9236.

Задание 7


Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(х) (плотность вероятности), б) найти математическое ожидание и дисперсию Х, в) построить графики интегральной и дифференциальной функций, г) вероятность попадания случайной величины Х в интервал Теория вероятностей.

Решение:

По определению Fʹ (х) = f (х)

0, при х ≤ 0

f ( х) = х2 , при 0 ˂ х ≤ 2

1, при х ˃ 2


Fʹ ( х ) = 0ʹ = 0 Fʹ ( х ) = ( х2 ч 4 )ʹ = 0,5х Fʹ ( х ) = 1ʹ = 0


в) Построение графиков интегральной и дифференциальной функции.

Теория вероятностейТеория вероятностей


б) М (Х) = х f (х) dx = 0 dx + х Ч _1_ dx + 0 dx =_ 1_ Ч х3 ч 3 = х3 ч 6 =

2 2 =_ 23_ – _03 = 8 – 0 = 4 = а

6 6 6 3

Д (Х) = (х – _4_)2 f (х) dx = 0 (х – _4)2 f (х) dx + (х – 4)2 1 х dx +

3 3 3 2

+ (х – 4_)2 f (х) dx = (1 х3 – 4 х2 + 8 х) dx = (1_Ч х4 - 4_Ч х3 + 8_Ч х2) =

3 2 3 9 2 3 9

= 1_ Ч 24 – 4 Ч 23 + 8_ Ч 22 = 16 – 32 + 16 = 144 – 128 = 16 = _2_

2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 72 9

г) Р ( 1 ˂ Х ˂ 2) = F (в) – F (а) 22 Ч 1 – 12 Ч 1 = _1 – _1 = _1_ ––

3 4 3 4 9 12 12


вероятность попадания в этот промежуток.

Ответ: М (Х) = _4 = а ; Д (Х) = _2 ; Р ( 1 ˂ Х ˂ 2) =_ 1_

3 9 12


Задание 8


Найти вероятность попадания в заданный интервал ( a,b ) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s.

a = 2, b = 13, а = 10, s = 4.

Решение:

Если случайная величина Х нормально распределена, то она является непрерывной случайной величиной, и М (Х) вычисляется, как: (a + b) ч 2, а Д (Х) вычисляется, как: (b-a) ч (в-а), и s связаны формулой √ Д.

Тогда вероятность: Р { Х ϵ [a,b] } будет вычисляться по формуле:


Ф ( ( b – a ) ч s) – Ф ( (a – b) ч s ).

М (Х) = (a + b) ч 2 = (2 + 13) ч 2 = 7,5

Д (Х) = (b - a)2 ч 12 = 9 ч 12 = 0,75

s = √ Д = √ 0,75 = 0,87 Ч 100 = 87


То искомая вероятность находится по формуле:

Р (a ˂ Х ˂ b ) = Ф ( ( b – a ) ч s ) – Ф ( (a – b) ч s ) = Ф ((13 – 10) ч 4) –

Ф ((2 – 10) ч 4) = Ф (0,75) – Ф (– 2) = Ф (0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 =

=0,773


Где Фх – функция Лапласа, которую находим по таблице.

Ответ: Вероятность попадания в заданный интервал ( a,b ) нормально распределенной случайной величины Х, равна 0,773.


Задание 9


Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, если выборочная средняя Теория вероятностей, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s.


Теория вероятностей= 12, 15, n = 169 s = 5


Решение:

Находим доверительные интервалы: х – t γ ˂ а ˂ х + t γ


√ n √ n

где Ф (t) = Ф (γ ч s) → t = (γ ч s) = (0,95 ч 5) = 0,19

х – t γ = 12,15 – 0,19 Ч 0,95 = 12,15 – 0,01 = 12,14

√ n √ 169

х + t γ = 12,15 + 0,19 Ч 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16

√ n √ 169


Ответ: Доверительные интервалы 12,14 ˂ а ˂ 12,16.

Литература


Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей – М.: Наука, 1980.

Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004.

Чистяков В.П. Курс теории вероятности, М.: 2001.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2003.

Данко П.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (I и II часть).-М, 2005.

Богаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика – М.: 1998.

Венцель Е.С. Теория вероятностей – М.: 1962.

Солодовников А.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978.

Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементами комбинаторики и математической статистики.

Кремер Н.Ш.: «Теория вероятностей и математическая статистика»; М.ЮНИТИ – Дана, 2003.

Похожие работы:

  1. • Теория вероятностей
  2. • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова
  3. • Динамика развития некоторых понятий и теорем теории ...
  4. • Разработка программы факультативного курса по теории ...
  5. • Возможности использования элементов теории вероятностей и ...
  6. • Теория вероятностей и математическая статистика
  7. • Теория вероятностей
  8. • Теория вероятности и математическая статистика
  9. • Теория вероятности и мат статистика
  10. • Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей
  11. • Теория вероятности и математическая статистика
  12. • Аксиоматика теории вероятностей
  13. • Теория вероятности и математическая статистика
  14. • Теория вероятностей
  15. •  ... курса "Основы теории вероятностей и математической ...
  16. • Теория вероятностей
  17. • Теория вероятности
  18. • Теория Вероятностей
  19. •  ... комбинаторики, теории вероятностей и математической ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com