Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных


Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Найдем производную, когда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Зададим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что даст Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то

Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций,


то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Если Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, результат тот же.

2. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Зададим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что даст Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


3. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Зададим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что даст Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


4. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

По определению Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Будем дифференцировать Таблица производных. Дифференцирование сложных функций как частное:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


5. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

По определению Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Будем дифференцировать Таблица производных. Дифференцирование сложных функций как частное:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


6. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Зададим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что даст Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и

Таблица производных. Дифференцирование сложных функций,


то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим Таблица производных. Дифференцирование сложных функций: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Значит, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

8. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Зададим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что даст Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Отсюда


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим Таблица производных. Дифференцирование сложных функций: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Значит, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Теорема. Если для некоторой функции Таблица производных. Дифференцирование сложных функций существует обратная ей Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, которая в точке Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет производную не равную нулю, то в точке Таблица производных. Дифференцирование сложных функций функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет производную Таблица производных. Дифференцирование сложных функций равную Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, откуда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Значит, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

В данном случае обратной функцией будет Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Для нее Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Отсюда


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций,

то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


11. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Так как


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


В данном случае обратной функцией будет Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Для нее


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


13. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Так как


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


2. Производная сложной функции


Пусть дана функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и при этом Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Тогда исходную функцию можно представить в виде Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Функции такого типа называются сложными. Например, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

В выражении Таблица производных. Дифференцирование сложных функций аргумент Таблица производных. Дифференцирование сложных функций называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет производную в точке Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет производную в соответствующей точке Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Тогда сложная функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций в точке Таблица производных. Дифференцирование сложных функций также будет иметь производную равную производной функции Таблица производных. Дифференцирование сложных функций по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Для доказательства дадим приращение аргументу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть от Таблица производных. Дифференцирование сложных функций перейдем к Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Это вызовет приращение промежуточного аргумента Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, который от Таблица производных. Дифференцирование сложных функций перейдет к Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Но это, в свою очередь, приведет к изменению Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, который от Таблица производных. Дифференцирование сложных функций перейдет к Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Так как согласно условию теоремы функции Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, что, в свою очередь, вызовет стремление Таблица производных. Дифференцирование сложных функций к нулю.

Составим Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Отсюда,


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


и, следовательно, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Если функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, где Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, а Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, или Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то, соответственно, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и так далее.


3. Дифференцирование параметрически заданной функции


Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение Таблица производных. Дифференцирование сложных функцийсвязывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, получаем значение Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть пару чисел, являющихся координатами точки Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. При изменении Таблица производных. Дифференцирование сложных функций меняется Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций где Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Для каждого значения Таблица производных. Дифференцирование сложных функций из данного промежутка будет своя пара чисел Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, которой будет соответствовать точка Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Пробегая все значения, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций заставляет меняться Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть точка Таблица производных. Дифференцирование сложных функций движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная Таблица производных. Дифференцирование сложных функций – параметром.

Если функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Подставляя Таблица производных. Дифференцирование сложных функций в Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, получим Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций в зависимости от времени Таблица производных. Дифференцирование сложных функций, то есть в виде параметрически заданной функции Таблица производных. Дифференцирование сложных функций Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

1. Окружность.

Возьмем точку Таблица производных. Дифференцирование сложных функций на окружности с радиусом Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Выражая Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Рис. 3.1


2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса – Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Отсюда Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Возьмем две точки Таблица производных. Дифференцирование сложных функций и Таблица производных. Дифференцирование сложных функций на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу Таблица производных. Дифференцирование сложных функций (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Подставим это выражение в Таблица производных. Дифференцирование сложных функций: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Рис. 3.2

3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Рис. 3.3


4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса Таблица производных. Дифференцирование сложных функций без скольжения катится другая окружность радиуса Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Рис. 3.4


Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция Таблица производных. Дифференцирование сложных функций от Таблица производных. Дифференцирование сложных функций задана параметрически: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций где Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Найдем Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.

Составим отношение Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Тогда


Таблица производных. Дифференцирование сложных функций.


Следовательно, Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.

Литература


Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.

Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

Рефетека ру refoteka@gmail.com