Рефетека.ру / Математика

Реферат: Правила дефферинцирования

Самостоятельная работа по дисциплине: «Математика» Лапшина Дмитрия Петровича студента I курса группы 10п

Новокуйбышевский государственный гуманитарно-технологический колледж

2010

Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u  v) = u  v

2) (uv) = uv + uv

3)Правила дефферинцирования, если v  0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций:

1)С = 0; 9) Правила дефферинцирования

2)(xm) = mxm-1; 10) Правила дефферинцирования

3) Правила дефферинцирования 11) Правила дефферинцирования

4) Правила дефферинцирования 12) Правила дефферинцирования

5) Правила дефферинцирования 13) Правила дефферинцирования

6) Правила дефферинцирования 14) Правила дефферинцирования

7)Правила дефферинцирования 15) Правила дефферинцирования

8) Правила дефферинцирования 16) Правила дефферинцирования

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: Правила дефферинцирования.

Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

y = xa – степенная функция с произвольным показателем.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования

Показательно-степенная функция и ее дифференцирование

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования

Примеры

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования.

Таблица производных

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

а)Правила дефферинцирования.

б) Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Правила дефферинцирования.

Примеры

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования. Найти y'(–1).

Правила дефферинцирования

Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

Правила дефферинцирования

т.к. g(y)  0 Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Правила дефферинцирования

Известно, что Правила дефферинцирования

По приведенной выше формуле получаем:

Правила дефферинцирования

Т.к. Правила дефферинцирования то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Правила дефферинцирования

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0  [a; b] определяется равенством

Правила дефферинцирования

Следовательно, по свойству предела

Правила дефферинцирования

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δx (1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:


dy = f '(x)dx

Но из этого соотношения следует, что Правила дефферинцирования. Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию Правила дефферинцирования, т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

Действительно, имеем Правила дефферинцирования, и так как Правила дефферинцированияпри Δx→0, то Правила дефферинцирования.

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

Правила дефферинцирования

Правила дефферинцирования.

Геометрический смысл дифференциала

Правила дефферинцирования

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Теорема об инвариантности дифференциала

Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

Правила дефферинцирования.

Следовательно, по определению

Правила дефферинцирования,

но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. Правила дефферинцирования. Найти dy.

Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

Правила дефферинцирования.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда


f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Примеры:

y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3, 01.

Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x – 2 , f'(3)=4, Δx=0, 01.

Поэтому Δy ≈ 4·0, 01 = 0, 04.

Вычислить приближенно значение функции Правила дефферинцированияв точке x = 17.

Пусть x0= 16.

Тогда Δx = x – x0= 17 – 16 = 1,

Правила дефферинцирования,

Правила дефферинцирования.

Таким образом, Правила дефферинцирования.

Вычислить ln 0, 99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0, 99.

Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0, 01, f(x0)=0.

Правила дефферинцирования, f '(1)=1.Поэтому f(0, 99) ≈ 0 – 0, 01 = – 0, 01.

Список литературы

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.

Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орл: ОрлГТУ, 2000. – 96 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1996.

Мордкович А.Г Алгебра 7-11. 2001-2003г

Рефетека ру refoteka@gmail.com