Рефетека.ру / Физика

Реферат: Основні поняття квантової механіки

РЕФЕРАТ

на тему:”Основні поняття квантової механіки”

План


1.2.1. Поняття стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.

1.2.2. Загальне (часове) рівняння Шредінгера.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

1.2.1. Подання стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови


У класичній механіці при одновимірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу t задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю Основні поняття квантової механіки або імпульсом частинки Основні поняття квантової механіки. Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

В фізиці мікрочастинок через наявність у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Установити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. У квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.

Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля. Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається Основні поняття квантової механіки. Хвильова функція Основні поняття квантової механіки не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються у пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі.

Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.

За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції


Основні поняття квантової механіки (1.2.1)


де Основні поняття квантової механіки ― функція, комплексно спряжена до Основні поняття квантової механіки.Основні поняття квантової механіки

В досліді Девіссона і Джермера, схема якого показана на рис. 1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції


Основні поняття квантової механіки. (1.2.2)


З іншого боку величина цього струму пропорційна також об’єму детектора dV


Основні поняття квантової механіки (1.2.3)


З урахуванням (1.2.2) і (1.2.3) маємо:


Основні поняття квантової механіки. (1.2.4)


Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму гальванометра буде також пропорційною величині цієї імовірності


I = k2dp. (1.2.5)


Прирівнявши рівності (1.2.4) і (1.2.5), одержимо:


Основні поняття квантової механіки. (1.2.6)


Завжди можна вибрати значення хвильової функції таке, щоб k1=k2.

Тоді (1.2.6) набуде вигляду


Основні поняття квантової механіки, (1.2.7)


звідки


Основні поняття квантової механіки. (1.2.8)


Квадрат модуля хвильової функції (1.2.8) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором Основні поняття квантової механіки в момент часу t. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.

При відомій хвильовій функції рівність (1.2.8) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об’ємі dV


Основні поняття квантової механіки. (1.2.9)


Якщо частинка знаходиться у довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто

Основні поняття квантової механікиdV =1. (1.2.10)


Умова (1.2.10) називається умовою нормування.

Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, оскільки через хвильові властивості мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. У квантовій механіці за допомогою хвильової функції Основні поняття квантової механіки визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. Зі сказаного випливає, що хвильова функція Основні поняття квантової механіки повинна задовольняти певні обмежувальні умови, які ще називаються стандартними умовами: вона має бути скінченою, однозначною і неперервною, тому що імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.


1.2.2 Загальне (часове) рівняння Шредінгера


У класичній механіці рівняння одновимірного руху частинки дозволяє одержати її координату x(t) і імпульс p(t) за їх початковими значеннями x(0) і p(0). Таким рівнянням руху є другий закон Ньютона.

Основні поняття квантової механіки (1.2.11)

де m ― маса частинки; Основні поняття квантової механіки ― прискорення руху частинки; Основні поняття квантової механіки ― градієнт потенціальної енергії, зміна якої визначається діючою силою.

З визначення квантового стану рівняння руху квантової частинки має задавати зміну в часі хвильової функції Основні поняття квантової механіки. Оскільки квантовий стан характеризує лише одна хвильова функція, то відповідне квантове рівняння руху повинно містити лише першу похідну за часом від хвильової функції. В інших випадках таке рівняння не буде погоджуватись з визначенням квантового стану .

Рівняння руху квантової нерелятивістської частинки в силовому полі називається рівнянням Шредінгера, тому що вперше в 1926 році воно було сформульовано німецьким фізиком Е. Шредінгером.

Справедливість цього рівняння обґрунтована тим, що всі висновки які випливають із нього, знайшли своє експериментальне підтвердження. Рівняння Шредінгера відіграє у квантовій механіці таку ж роль, як і рівняння Ньютона в класичній.

У загальному випадку часове рівняння Шредінгера має вигляд


Основні поняття квантової механіки (1.2.12)


де m ― маса частинки; Основні поняття квантової механіки ― потенціальна енергія частинки в сило-вому полі; Основні поняття квантової механіки ― уявна одиниця; Основні поняття квантової механіки ― стала Дірака; Основні поняття квантової механіки ― оператор Лапласа.

Через присутність в рівнянні Шредінгера (1.2.12) уявної одиниці хвильова функція Основні поняття квантової механіки, яка задовольняє це рівняння, завжди комплексна. Не кожна функція може бути розв’язком рівняння (1.2.12). Перш за все ця функція повинна бути скінченною, неперервною і мати неперервні перші похідні. Ці вимоги мають чисто математичний характер. Крім того ─ хвильова функція повинна бути однозначною, інакше буде порушений її статистичний зміст.

Рівняння Шредінгера за часом є лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння в частинних похідних повинно мати безліч розв’язків, причому таких, що всяка лінійна комбінація будь-якої сукупності розв’язків теж буде його розв’язком.

Слід зауважити, що рівняння Шредінгера, подібно до законів Ньютона в класичній механіці, не є результатом якогось теоретичного доведення, а є узагальненням багатьох дослідних фактів, встановлених при вивченні мікросвіту. Відмітимо також, що рівняння Шредінгера описує рух частинок, швидкість яких значно менша швидкості світла, оскільки співвідношення між кінетичною енергією й імпульсом справедливе лише при цих умовах. У релятивістському випадку для описання хвильових властивостей мікрочастинок слід користуватись іншими рівняннями, наприклад рівняннями Дірака або Клейна ― Гордона.


1.2.3 Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів


Потенціальна енергія частинки залежить від координат x, y, z і часу t. Якщо потенціальна енергія U від часу не залежить і відповідно повна енергія також не змінюється з часом, то хвильову функцію Основні поняття квантової механіки можна подати у вигляді добутку двох співмножників


Основні поняття квантової механіки. (1.2.13)


Перший співмножник в (1.2.13) залежить лише від часу, а другий ― лише від координат (Основні поняття квантової механіки).

Розв’язки рівняння Шредінгера, а також стани частинок, для яких потенціальна енергія, а також густина імовірностей не змінюються з часом, називаються стаціонарними. Стаціонарні стани не виключають залежності хвильової функції від часу, а лише обмежують її гармонічним законом Основні поняття квантової механіки.

Підставляючи хвильову функцію (1.2.13) у рівняння Шредінгера (1.2.12) одержимо


Основні поняття квантової механіки.


Скоротимо цей вираз на експоненту:


Основні поняття квантової механіки, (1.2.14)


де Основні поняття квантової механіки; Е ― повна енергія частинки; Основні поняття квантової механіки ― потенціальна енергія частинки, яка є функцією лише координат; Основні поняття квантової механіки ― хвильова функція; m ― маса частинки; Основні поняття квантової механіки ― стала Дірака (Основні поняття квантової механіки).

Стаціонарне рівняння Шредінгера (1.2.14) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку відносно координат x, y, z. У випадку, коли Основні поняття квантової механіки=0, це рівняння не має фізичного змісту. У рівнянні Шредінгера для стаціонарних станів є єдиний вільний параметр ― повна енергія частинки Е. При деяких значеннях повної енергії це рівняння може мати нульові розв’язки. Ті значення повної енергії, при яких рівняння (1.2.14) буде мати нульові розв’язки, називаються власними значеннями. Кожному такому власному значенню енергії відповідає свій розв’язок рівняння (1.2.14).

Стаціонарне рівняння Шредінгера дає не лише значення хвильової функції, але й значення цієї функції у стаціонарних станах.

Рефетека ру refoteka@gmail.com