Рефетека.ру / Физика

Реферат: Спектральные характеристики

Демидов Р.А., ФТФ, 2105

Введение


В первой части работы я поставил себе цель описать линейные операторы в целом, а также подробно рассказать о важной характеристике спектра операторов – спектральном радиусе.

В этой части работы я подробнее остановлюсь на не менее важной характеристике спектров – резольвенте, и расскажу о связи этой характеристики с подвидами спектра оператора – с остаточным, точечным и непрерывными его частями. Вначале, опять же, необходимо остановиться на некоторых основных определениях и понятиях теории линейных операторов. Итак:

Пусть A - оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу nЧn можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Пусть A - оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(λ) = (A − λI)-1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен.

Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества - спектром этого оператора.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:


Спектральные характеристики

Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса,приусловии существования данного предела.

Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:

дискретный (точечный) спектр - множество всех собственных значений оператора A - только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;

непрерывный спектр - множество значений λ, при которых резольвента (A - λI)-1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;

остаточный спектр - множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.

Свойства резольвенты


Теорема 1: Спектральные характеристикиограничен. Тогда Спектральные характеристики является регулярной точкой.

Доказательство. Спектральные характеристики. ПустьСпектральные характеристики. Тогда Спектральные характеристики.

Спектральные характеристики- банахово, Спектральные характеристики, причем он ограничен:


Спектральные характеристики


Резольвента существует и ограничена. Чтд.

Теорема 2: Спектральные характеристикине принадлежит точечному спектру Спектральные характеристикиосуществляет биекцию Спектральные характеристикина Спектральные характеристики.

Доказательство.

Если построена биекция, то не существует Спектральные характеристики, за исключением тривиальной.

Если - точка точечного спектра, то Спектральные характеристики, что противоречит биективности Спектральные характеристики.

Теорема 3:(Тождество Гильберта) Спектральные характеристики

Доказательство.


Спектральные характеристики,Спектральные характеристики,

Спектральные характеристики,Спектральные характеристикиверно => Чтд.


Следствия:

Спектральные характеристики - коммутативность резольвенты.

Спектральные характеристики (т.к. Спектральные характеристикинепрерывна по Спектральные характеристикив точке Спектральные характеристики), т.е. она бесконечно дифференцируема (аналитическая функция).

Итак, Спектральные характеристики- аналитическая оператор-функция на множестве регулярных точек (резольвентном множестве). Спектральные характеристики- разложение в ряд Лорана (имеет место при Спектральные характеристики, но, возможно, и в большей области).

Упражнение: (Примеры вычисления спектрального радиуса)


Спектральные характеристики,

Спектральные характеристикиСпектральные характеристики.


ВозьмемСпектральные характеристики.Тогда


Спектральные характеристики


Таким образом Спектральные характеристики. Эта оценка достижима при Спектральные характеристики , т.е. Спектральные характеристики,и rc(A)=1.

Теорема 4: всякая к.ч Спектральные характеристики, есть регулярная точка самосопряженного оператора A.

Доказательство.

]Спектральные характеристики регулярная точка, значит Спектральные характеристикине собственное значение и Спектральные характеристики. Проверим ограниченность Спектральные характеристики.


Спектральные характеристикиСпектральные характеристики

Спектральные характеристикиСпектральные характеристики


Спектральные характеристикиограничен, Спектральные характеристики и его можно распространить на Спектральные характеристикис сохранением нормы оператора, так как Спектральные характеристики не собственое значение. Если при этом Спектральные характеристики не замкнуто, то Спектральные характеристики не замкнут. При этом линейный оператор, обратный к замкнутому, а также сопряженный к нему, замкнут => самосопряженный оператор замкнут.


Спектральная теория в электронике


Полезнейшим приложением спектральной теории в физике является теория спектров электрических сигналов. Суть теории состоит в том, что любой сигнал на входе линейной цепи возможно представить совокупностью гармонических колебаний, или тестовых сигналов, заданной частоты, вопрос такого разложения состоит в нахождении амплитуд результирующих колебаний. Последние вычисляются определенным образом.


Спектральные характеристики


Классическое преобразование Фурье представляет из себя линейный оператор.

Спектральная теория здесь работает следующим образом – для периодических входных сигналов для нахождения соответствующих амплитуд используется интегральное преобразование – дискретный Фурье- образ:

Спектральные характеристики

Спектральные характеристики

Спектральные характеристики

Спектральные характеристики


в котором разложение начинается с частоты следования wк. В данном случае очевидно, что, раз выходной сигнал представляется суммой бесконечного ряда, то мы имеем дело с точечным спектром сигнала, поскольку он дискретен. Следовательно, любое периодическое колебание можно рассматривать как сигнал с дискретным спектром, поскольку непрерывным спектром он не обладает. Однако, если же взять непериодический сигнал, например, единичный прямоугольный импульс, то вводится понятия прямого и обратного преобразований Фурье:


Спектральные характеристики Спектральные характеристики,


где S(w) – спектральная плотность сигнала s(t).

Соответственно, S(w) – непрерывная по w функция, и в данном.

Заключение


В работе не ставилась цель охватить весь курс спектральной теории и спектрвльных характеристик, а ставилась цель изучить основные спектральные характеристики линейных операторов, и обрисовать применение этих понятий. Опять же, класс Фурье преобразований включает в себя намного больший объем, чем тот, о котором упомянуто в работе, они используются в теории алгоритмов при кодировке и сжатии информации в цифровом формате изображений JPEG, в вейвлет - преобразованиях. Новое поколение функциональной электроники содержит на элементарном уровне элементы, способные производить непрерывные преобразования Фурье и Лапласа, что намного ускоряет работу электронных устройств.

В общем и целом, наряду с первой частью работа дает представление о б основных спектральных характеристиках линейных операторов и их применении в различных областях математики, информатики и физики.

Список литературы


Лекции по математической физике, Попов И.Ю., СПбГУ ИТМО, кафедра высшей математики.

Элементы теории функций и функционального анализа, А.Н. Колмогоров и С.В. Фомин.

Теория цепей и сигналов, Новиков Ю.Н.

Свободная энциклопедия Википедия.

Сжатие данных, изображения и звука, Д. Сэломон.

Похожие работы:

  1. • Спектральные характеристики электролюминофора ZnS:Cu,Mn
  2. • Фотоэлектронная эмиссия. Эффективные фотокатоды
  3. • Фотоэлектронная эмиссия
  4. • Характеристики компонентов волоконно-оптических ...
  5. • Решение обратных задач динамики
  6. • Прикладная теория информации
  7. • Матричные фотоприемники
  8. • Спектральный анализ ...
  9. • Решение обратной задачи динамики
  10. • Контроль оптических характеристик приборов
  11. • Електронне растрування
  12. • Внутренний фотоэффект
  13. • Анализ радиосигналов и расчет характеристик ...
  14. • Функциональные сбои персонального компьютера при воздействии ...
  15. • Проектирование системы автоматического управления
  16. • Проектирование передающей камеры
  17. •  ... цепей при импульсном воздействии. Спектральный анализ ...
  18. • Разработка технического и программного обеспечения ...
  19. • Джерела випромінювання в оптичній спектроскопії
Рефетека ру refoteka@gmail.com