Рефетека.ру / Информатика и програм-ие

Курсовая работа: ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ


Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие гамма-функции

2.2 Вычисление гамма функции

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы


ВВЕДЕНИЕ


Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относится гамма функции Эйлера.

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.


Гамма-функция расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Через гамма-функции выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.


1. Постановка задачи


Требуется реализовать основные способы вычисления гамма-функции:

1. Гамма-функции для целых положительных n равна


Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1). (1)


2. Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции. (2)


3. Гамма-функции для ряда точек:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (3)


Пример 1.

Вычислить гамма-функции Г(6).

Решение:

Так как 6 – положительное целое число, воспользуемся формулой (1):


Г(6) =(6-1)! = 5! = 120


Ответ: 120.

Пример 2.

Вычислить гамма-функции Г(0,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (2):

ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.

ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.

Ответ: ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.


Пример 3.

Вычислить гамма-функции Г(1,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (3):


y = 1.5 + 2 = 3.5.

ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.

Ответ: ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.


2. Математические и алгоритмические основы решения задачи


2.1 Понятие гамма-функции


Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода


G(a) =ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (2.1)


сходящийся при ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 1. График гамма-функции действительного переменного


Положим ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции=ty, t > 0 , имеем


G(a) =ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


и после замены ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции, через ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции и t через 1+t ,получим


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции, имеем:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


или после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


откуда


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (2.2)


заменяя в (2,1) ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции, на ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции и интегрируем по частям


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


получаем рекурентною формулу


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (2.3)


так как


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 2. График модуля гамма-функции на комплексной плоскости


При целом ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции имеем


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (2.4)


то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


2.2 Вычисление гамма функции


Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции. Сама же гамма вычисляется через него.

Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексных z) такого вида:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функцииЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.

Она похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции. Кроме того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.

Для получения действительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Также можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.

Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции – логарифма, а не двух – экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция – быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации LnGam() – логарифма гамма-функции – получается формула:


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функцииЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


Значения коэффициентов Ck являются табличными данными (Таблица 1).


k C
1 2.5066282746310005
2 1.0000000000190015
3 76.18009172947146
4 -86.50532032941677
5 24.01409824083091
6 -1.231739572450155
7 0.1208650973866179e-2
8 -0.5395239384953e-5

Таблица 1. Значения коэффициентов Ck


Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты. ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции.


3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи


Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4, 5, 6.

Условные обозначения:

X – параметр функции;

RS – инкремент;

GN – список коэффициентов;

Y – вспомогательная переменная;

RES – результат вычисления гамма-функции;

GAM – временная переменная, содержащая вычисление гамма-функции.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_ WHOLE

ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_LN


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 6 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_POINT


4. Программная реализация решения задачи


;СПИСОК КОЭФФИЦИЕНТОВ

(SETQ CN '(2.5066282746310005 1.0000000000190015 76.18009172947146 -86.50532032941677 24.01409824083091

-1.231739572450155 0.1208650973866179e-2 -0.5395239384953e-5))

;ЛОГАРИФМ ГАММА ФУНКЦИИ

(DEFUN GAMMA_LN (X)

(SETQ SER (CADR CN))

(SETQ L (CDDR CN))

(SETQ Y X)

(DO

((J 2))

((>= J 8))

(SETQ Y (+ Y 1))

(SETQ CO (CAR L))

(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))

(SETQ L (CDR L))

(SETQ J (+ J 1))

)

(SETQ Y (+ X 5.5))

(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))

(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))

)

;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ

;ГАММА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

(DEFUN GAMMA (X)

(EXP (GAMMA_LN X))

)

;ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(DEFUN GAMMA_WHOLE (X)

(SETQ X (- X 1))

(DO

((RES 1) (RS 1))

((EQL X 0) RS)

(SETQ RS (* RES RS))

(SETQ X (- X 1))

(SETQ RES (+ RES 1))

)

)

;ГАММА ДЛЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК

(DEFUN GAMMA_POINT (X)

(IF (> X 0)

(PROGN

(SETQ Y (+ X 2))

(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (- (/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))

(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))

)

;ИНАЧЕ

(PROGN

(SETQ J 0)

(SETQ Y X)

(DO

(())

((>= Y 0))

(SETQ J (+ J 1))

(SETQ Y (+ Y 1))

)

(SETQ GAM (GAMMA_POINT Y))

(DO

((I 0))

((>= I (- J 1)))

(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))

(SETQ I (+ I 1))

)

(SETQ RES GAM)

)

)

RES)

;ПОЛУЧАЕМ ЭЛЕМЕНТ ФУНКЦИИ

(SETQ FUNC 0)

(SETQ INPUT_STREAM (OPEN " D:\GAMMA.TXT" :DIRECTION :INPUT))

(SETQ FUNC (READ INPUT_STREAM))

(CLOSE INPUT_STREAM)

;РЕЗУЛЬТАТ ГАММА-ФУНКЦИИ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\RESULT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

(PRINT 'RESULT_OF_GAMMA_FUNCTION OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_WHOLE FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_POINT FUNC) OUTPUT_STREAM)

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

;END

5 Пример выполнения программы


Пример 1.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 7 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 8 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел


Пример 2.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции


Рисунок 9 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 10 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел


Пример 3.


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 11 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел


ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

Рисунок 12 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных способов вычисления гамма функции. Данная модель применима к гамма-функции с положительным целым параметром, гамма-функции с положительным параметром, гамма-функции для множества точек. Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гамма функции и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы


Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

Вычисление гамма-функции и бета-функции [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.cyberguru.ru/cpp-sources/algorithms/vytchislenie-gamma-funktsii-i-beta-funktsii.html

Гамма-функция – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма_функция

Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.

Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.

Похожие работы:

  1. Функциональное и логическое программирование
  2. • ЛИСП-реализация основных операций над базами данных
  3. • ЛИСП-реализация основных операций над нечеткими ...
  4. • Особые свойства Гамма-функции Эйлера
  5. • ЛИСП
  6. • Обработка результатов психологических тестов (ЛИСП ...
  7. • Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП ...
  8. • Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП ...
  9. • Лисп-реализация алгоритма кодирования информации RSA
  10. • Гамма функции
  11. • Лисп-реализация конечных автоматов
  12. • Химическая реакция в смеси идеальных газов. Константа ...
  13. • Лисп-реализация математических операций над ...
  14. • ЛИСП-реализация операций над матрицами
  15. • АвтоЛИСП - реализация языка программирования
  16. • Форматированный ввод
  17. • Применение цифровых приборов при экологических ...
  18. • Языки программирования, их классификация и развитие
  19. • Система программирования
Рефетека ру refoteka@gmail.com