Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Особливі точки рівняння

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара


КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Диференціальні рівняння"

на тему „Особливі точки”


Виконавець: студентка групи

Назаренко Олеся

Перевірив:


м. Дніпропетровськ 2010 р.

Зміст


1. Особливі точки

2. Задача 1

3. Задача 2

4. Задача 3.

5. Задача 4


1. Особливі точки


Особливою точкою системи


Особливі точки рівняння (1)


або рівняння


Особливі точки рівняння (2)


де функції Особливі точки рівняння й Особливі точки рівняння неперервно диференційовані, називається така точка, в якій Особливі точки рівняння.

Для дослідження особливої точки системи


Особливі точки рівняння (3)


або рівняння


Особливі точки рівняння (4)


треба знайти розв’язок характеристичного рівняння


Особливі точки рівняння (5)


Якщо розв’язки Особливі точки рівняння дійсні, різні Особливі точки рівняння й одного знаку Особливі точки рівняння, то особлива точка - вузол (рис.1, а), причому стійкий, якщо Особливі точки рівняння й нестійкий, якщо Особливі точки рівняння.

Вузол характеризується тим, що всі траєкторії, крім однієї II, мають у точці (0,0) загальну дотичну I, що сама є траєкторією. Прямі I і II спрямовані вздовж власних векторів матриці Особливі точки рівняння, які відповідають Особливі точки рівняння і Особливі точки рівняння, причому пряма I відповідає меншому за модулем з Особливі точки рівняння і Особливі точки рівняння.

При Особливі точки рівняння вузол є стійкою точкою спокою. На рис.1а стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні Особливі точки рівняння у випадку стійкого вузла. Якщо Особливі точки рівняння, то вузол нестійкий і стрілки заміняються на протилежні.


Особливі точки рівняння

Рис.1. Типові траєкторії [2]


Якщо розв’язки Особливі точки рівняння дійсні, різні Особливі точки рівняння й різних знаків Особливі точки рівняння, то особлива точка - сідло (рис.1, б). Сідло є нестійкою точкою спокою.

Сідло характеризується наявністю двох траєкторій I і II, що проходять через (0,0) також у напрямку власних векторів. Пряма I є асимптотою для інших траєкторій при Особливі точки рівняння, а II є асимптотою при Особливі точки рівняння. Прямолінійна траєкторія I розташована за напрямком власного вектора, що відповідає додатньому Особливі точки рівняння, а прямолінійна траєкторія II за напрямком власного вектора, що відповідає від‘ємному Особливі точки рівняння. Прямі I і II називаються сепаратрисами сідла. На рис.1б стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні Особливі точки рівняння. Сепаратриса II є єдиною траєкторією, якій відповідає розв’язок, що прямує до 0 при Особливі точки рівняння. Тільки дві траєкторії I і II є прямолінійними. Інші траєкторії криволінійні й зі зростанням Особливі точки рівняння йдуть із Особливі точки рівняння в Особливі точки рівняння. Сепаратриси I і II розділяють фазову площину на 4 області, у яких лежать криволінійні траєкторії.

Якщо розв’язки Особливі точки рівняння комплексні з дійсною частиною Особливі точки рівняння, відмінною від нуля, то особлива точка - фокус (рис.1, в), причому стійкий, якщо Особливі точки рівняння й нестійкий, якщо Особливі точки рівняння. На рис.1в стрілками показаний напрямок руху при зростанні Особливі точки рівняння у випадку стійкого фокуса.

Зауваження. У випадку фокуса траєкторії можуть бути закручені навколо (0,0) у різних напрямках. Для того, щоб визначити напрямок закручування, досить обчислити вектор швидкості Особливі точки рівняння в якій-небудь точці, наприклад, в (0,1). Аналогічно досліджується напрямок руху у випадку центра й виродженого вузла.

Якщо розв’язки Особливі точки рівняння комплексні чисто мнимі (Особливі точки рівняння), то особлива точка - центр (рис.1, г). Центр є стійкою, але не асимптотично стійкою точкою спокою.

Якщо розв’язки рівні й ненульові (тобто Особливі точки рівняння), то особлива точка може бути виродженим вузлом (рис.1, д) або дикритичним вузлом (рис.1, е), причому дикритичний вузол має місце тільки у випадку системи Особливі точки рівняння (або рівняння Особливі точки рівняння), а у всіх інших випадках при Особливі точки рівняння особлива точка є виродженим вузлом. У випадку виродженого вузла всі траєкторії дотикаються однієї прямої, спрямованої вздовж єдиного власного вектора, що відповідає Особливі точки рівняння. Дикритичний вузол може бути стійким Особливі точки рівняння і нестійким Особливі точки рівняння.

Якщо ж один або обидва розв’язки рівняння (5) дорівнюють нулю, то Особливі точки рівняння, і, отже, дріб у правій частині рівняння (4) скорочується. Рівняння набуває вигляду Особливі точки рівняння, і розв’язок на площині XOY зображуються паралельними прямими.


2. Задача 1


Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:


Особливі точки рівняння


Розв’язання.

Для дослідження особливої точки рівняння


Особливі точки рівняння


треба знайти розв’язок характеристичного рівняння


Особливі точки рівняння


У нас Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння. Складаємо характеристичне рівняння


Особливі точки рівняння


і розв’язуємо його відносно Особливі точки рівняння


Особливі точки рівняння


Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки.

Отже, особлива точка (0,0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння. Маємо


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Власний вектор (1; 1/2) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

Далі, власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння. Маємо


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

На площині Особливі точки рівняння будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1; 1/2) і (1; - 1), а потім будуємо гіперболи.

2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.

Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол).

Прямі, що проходять через особливу точку (0,0), шукаємо у вигляді Особливі точки рівняння. Підставляючи Особливі точки рівняння у вихідне рівняння


Особливі точки рівняння,

одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта Особливі точки рівняння


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Таким чином, маємо дві шукані прямі


Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння.


3. Напрямок руху по траєкторіях. Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці Особливі точки рівняння вектор швидкості Особливі точки рівняння. Наприклад, у точках Особливі точки рівняння та Особливі точки рівняннявектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння,


у точках Особливі точки рівняння та Особливі точки рівняннявектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння,


у точках Особливі точки рівняння та Особливі точки рівняння вектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння,


у точках Особливі точки рівняння та Особливі точки рівняння вектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння.


Приблизний вид сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 2.


Особливі точки рівняння

Рис.2. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]


3. Задача 2


Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:


Особливі точки рівняння


Розв’язання. Для дослідження особливої точки рівняння


Особливі точки рівняння


треба знайти розв’язок характеристичного рівняння


Особливі точки рівняння


У нас Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння. Складаємо характеристичне рівняння


Особливі точки рівняння


і розв’язуємо його відносно Особливі точки рівняння


Особливі точки рівняння


Розв’язки характеристичного рівняння дійсні, різні й одного знака.

Отже, особлива точка (0,0) - стійкий вузол (Особливі точки рівняння).

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння.


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Власний вектор (2;

1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

Далі, власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння.


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

На площині Особливі точки рівняння будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (2;

1) і (1; - 1), а потім будуємо параболи й вказуємо напрямок руху по траєкторіях.

2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.

Прямі, що містять фазові криві системи, шукаємо у вигляді Особливі точки рівняння.

Підставляючи Особливі точки рівняння у вихідне рівняння


Особливі точки рівняння,


одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта Особливі точки рівняння:


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Виходить, що Особливі точки рівняння і Особливі точки рівняння - шукані прямі.

Фазові криві - частини парабол, що дотикаються на початку координат прямої Особливі точки рівняння. Параболи дотикаються саме прямої Особливі точки рівняння, оскільки власний вектор (2;

1) матриці коефіцієнтів даної системи, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, паралельний прямій Особливі точки рівняння.

3. Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці Особливі точки рівняння вектор швидкості Особливі точки рівняння. Наприклад, у точці Особливі точки рівняння вектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння,


а в точці Особливі точки рівняння вектор швидкості


Особливі точки рівняння.


Приблизний вигляд сім’ї фазових кривих зображений на рисунку 3.


Особливі точки рівняння

Рис.3. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]


4. Задача 3.


Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:


Особливі точки рівняння


Розв’язання.

Для дослідження особливої точки системи


Особливі точки рівняння


треба знайти розв’язок характеристичного рівняння


Особливі точки рівняння


У нас Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння. Складаємо характеристичне рівняння


Особливі точки рівняння


і розв’язуємо його відносно Особливі точки рівняння


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Розв’язки характеристичного рівняння комплексні й різні.

Отже, особлива точка (0,0) - стійкий фокус (Особливі точки рівняння).

Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку закручування інтегральних кривих (спіралей) будуємо вектор швидкості Особливі точки рівняння в точці (1,0):


Особливі точки рівняння


Отже, спаданню Особливі точки рівняння відповідає рух по спіралях за ходом годинникової стрілки. При русі за ходом годинникової стрілки інтегральні криві наближаються до початку координат (0,0).

Приблизний вигляд сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 4.


Особливі точки рівняння

Рис.4. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]


5. Задача 4


Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:


Особливі точки рівняння


Розв’язання.

Для дослідження особливої точки системи


Особливі точки рівняння


треба знайти розв’язок характеристичного рівняння


Особливі точки рівняння


У нас Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння, Особливі точки рівняння. Складаємо характеристичне рівняння


Особливі точки рівняння


і розв’язуємо його відносно Особливі точки рівняння


Особливі точки рівняння


Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки. Отже, особлива точка (0, 0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння. Маємо


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Власний вектор (1,1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

Власний вектор Особливі точки рівняння, що відповідає власному числу Особливі точки рівняння, знаходимо, підставляючи в рівняння


Особливі точки рівняння


значення Особливі точки рівняння. Маємо


Особливі точки рівняння


Власний вектор (0, Особливі точки рівняння) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу Особливі точки рівняння.

На площині Особливі точки рівняння будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1;

1) і (0, Особливі точки рівняння), а потім будуємо гіперболи.

2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.

Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол). Розділивши друге рівняння вихідної системи на перше рівняння, одержуємо


Особливі точки рівняння або Особливі точки рівняння


Прямі, що проходять через особливу точку (0,0) шукаємо у вигляді Особливі точки рівняння (а також Особливі точки рівняння). Підставляючи Особливі точки рівняння в останнє рівняння, одержуємо


Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння

Особливі точки рівняння


Виходить, що Особливі точки рівняння і Особливі точки рівняння - шукані прямі.

3. Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці Особливі точки рівняння вектор швидкості Особливі точки рівняння. Наприклад, у точці Особливі точки рівняння вектор швидкості дорівнює


Особливі точки рівняння,

у точці Особливі точки рівняння вектор швидкості


Особливі точки рівняння,


у точці Особливі точки рівняння вектор швидкості


Особливі точки рівняння,


у точці Особливі точки рівняння вектор швидкості


Особливі точки рівняння.


Особливі точки рівняння

Рис.5. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]

Список використаних джерел


Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с.

Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.: Государственное издание техникотеоретической литературы, 1947. - 448 с.

Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.: ил.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 176 с.

Похожие работы:

  1. • Рішення ірраціональних рівнянь
  2. • Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь
  3. • Диференціальні рівняння вищих порядків
  4. • Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
  5. • Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і ...
  6. • Основні поняття квантової механіки
  7. • Елементи теорії відносності та основне рівняння ...
  8. • Вирішення задач по аналітичній хімії
  9. • Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения ...
  10. • Теоретичні основи теплотехніки
  11. • Невласні подвійні інтеграли
  12. • Дослідження процесів масопереносу при фільтрації ...
  13. • Графічні методи розв"язування задач із параметрами
  14. •  ... Коші для звичайного диференціального рівняння першого ...
  15. • Розробка програмного забезпечення для розв'язку СЛАР ...
  16. • Рішення рівнянь із параметрами
  17. • "Дискретні та неперервні динамічні системи в ...
  18. • Розробка програми мовою програмування С++ по пошуку ...
  19. • Дослідження збіжності рішень для диференціальних ...
  20. • Опис та типологія коливань
Рефетека ру refoteka@gmail.com