Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Ворожцов Вячеслав Андреевич _____

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина


Киров

2005

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16


Введение

Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец».

1.1. Определение полукольца. Примеры.

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

(S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

Ассоциативность: Положительные и ограниченные полукольца;

Коммутативность: Положительные и ограниченные полукольца;

Существование нейтрального элемента: Положительные и ограниченные полукольца.

(S,·) – полугруппа:

Ассоциативность: Положительные и ограниченные полукольца;

Умножение дистрибутивно относительно сложения:

левая дистрибутивность: Положительные и ограниченные полукольца а(в+с)=ав+ас;

правая дистрибутивность: Положительные и ограниченные полукольца (а+в)с=ас+вс.

Мультипликативное свойство 0:

Положительные и ограниченные полукольца.

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция Положительные и ограниченные полукольца в нем коммутативна: Положительные и ограниченные полукольца.

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1): Положительные и ограниченные полукольца

Примеры полуколец:

<N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

<{0},+,·> - тривиальное полукольцо;

Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

Множество матриц Положительные и ограниченные полукольцас элементами из полукольца N и операциями + и Положительные и ограниченные полукольца;

Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум Положительные и ограниченные полукольца и минимум Положительные и ограниченные полукольца двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца, называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.


1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение Положительные и ограниченные полукольца положив,

Положительные и ограниченные полукольца.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение Положительные и ограниченные полукольца на множестве L является отношением порядка.

Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент Положительные и ограниченные полукольца, что Положительные и ограниченные полукольца для любого Положительные и ограниченные полукольца. Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если Положительные и ограниченные полукольца, где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю Положительные и ограниченные полукольца и точную нижнюю Положительные и ограниченные полукольца грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

Положительные и ограниченные полукольца ,Положительные и ограниченные полукольца;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца, ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bПоложительные и ограниченные полукольцаI, sПоложительные и ограниченные полукольцаS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a Положительные и ограниченные полукольцаS, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так Положительные и ограниченные полукольца.

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если Положительные и ограниченные полукольца влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} – нулевой идеал;

2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце Положительные и ограниченные полукольца: Положительные и ограниченные полукольца;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: Положительные и ограниченные полукольца.


Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».

2.1. Определение, примеры и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а Положительные и ограниченные полукольца S элемент а+1 обратим в S, т.е.Положительные и ограниченные полукольца.

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

ограниченные дистрибутивные решетки;

полукольца непрерывных R+ - значных функций;

множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого Положительные и ограниченные полукольца выполняется Положительные и ограниченные полукольца. Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

ограниченные дистрибутивные решетки;

множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b Положительные и ограниченные полукольца S

(a+b Положительные и ограниченные полукольца M)Положительные и ограниченные полукольца (a Положительные и ограниченные полукольца M & b Положительные и ограниченные полукольца M).

Доказательство:

1Положительные и ограниченные полукольца2. ПустьПоложительные и ограниченные полукольца для произвольных Положительные и ограниченные полукольца и максимального правого идеала M. Предположим, что Положительные и ограниченные полукольца, тогда Положительные и ограниченные полукольца и Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольцадля некоторых Положительные и ограниченные полукольца и Положительные и ограниченные полукольца. Имеем:

Положительные и ограниченные полукольца.

В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

2Положительные и ограниченные полукольца1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Положительные и ограниченные полукольца

Доказательство. Пусть Положительные и ограниченные полукольца. Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый Положительные и ограниченные полукольца, такой что Положительные и ограниченные полукольца. Тогда

Положительные и ограниченные полукольца,т.к.Положительные и ограниченные полукольца. Получили y=1 и значит Положительные и ограниченные полукольца.

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть Положительные и ограниченные полукольца, тогда Положительные и ограниченные полукольца,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку Положительные и ограниченные полукольца выполняется для Положительные и ограниченные полукольца, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента Положительные и ограниченные полукольца и любого обратимого элемента Положительные и ограниченные полукольца элемент Положительные и ограниченные полукольца обратим.

Доказательство.

Положительные и ограниченные полукольца Полукольцо положительно, следовательно, элемент Положительные и ограниченные полукольца - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

Положительные и ограниченные полукольца

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца и Положительные и ограниченные полукольца – обратимы, тогда их произведение также обратимо Положительные и ограниченные полукольца, значитПоложительные и ограниченные полукольца обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

S – дистрибутивная решетка.

Положительные и ограниченные полукольца

Доказательство.

Положительные и ограниченные полукольца. Очевидно.

Положительные и ограниченные полукольца. По свойству 2 следует Положительные и ограниченные полукольца, тогда:

Положительные и ограниченные полукольца и Положительные и ограниченные полукольца.

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

Положительные и ограниченные полукольца и Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца


VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

a+1=1;

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Доказательство.

Положительные и ограниченные полукольца. Докажем методом математической индукции по числу n.

База. к=1. Положительные и ограниченные полукольца(выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.Положительные и ограниченные полукольца

Рассмотрим для k=n

Положительные и ограниченные полукольца и a+1=1 Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Из I и II Следует Положительные и ограниченные полукольца.

Положительные и ограниченные полукольца. Положительные и ограниченные полукольца.

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц Положительные и ограниченные полукольца. Зафиксируем элемент Положительные и ограниченные полукольца, где Положительные и ограниченные полукольца. Для n=2

Положительные и ограниченные полукольца верно, но Положительные и ограниченные полукольца совсем неверно.

VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.

Доказательство.

Осталось доказать Положительные и ограниченные полукольца.

Имеем Положительные и ограниченные полукольца. Добавим к правой и левой части выражения равные элементы Положительные и ограниченные полукольца:

Положительные и ограниченные полукольца

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед Положительные и ограниченные полукольца. В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Положительные и ограниченные полукольца

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.

VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое Положительные и ограниченные полукольца , что Положительные и ограниченные полукольца для всех Положительные и ограниченные полукольца. Тогда:

1. Положительные и ограниченные полукольца для всех Положительные и ограниченные полукольца;

2. Положительные и ограниченные полукольца - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияПоложительные и ограниченные полукольцаопределяется так:

Положительные и ограниченные полукольца.

Доказательство.

1. Возьмем Положительные и ограниченные полукольца.

Тогда Положительные и ограниченные полукольца, т.к. Положительные и ограниченные полукольца.

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

Положительные и ограниченные полукольца.

Доказательство: ММИ по числу n в Положительные и ограниченные полукольца.

I. База. n=1. Из условия ограниченности

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

II. И.П. n=i-1.

Положительные и ограниченные полукольца

Из условия II и ограниченности:

Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца.

По ИП:

Положительные и ограниченные полукольца

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для Положительные и ограниченные полукольца, лемма доказана.

Рассмотрим Положительные и ограниченные полукольца:

Положительные и ограниченные полукольца

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либоПоложительные и ограниченные полукольца (1 группа), либо Положительные и ограниченные полукольца (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член Положительные и ограниченные полукольца. Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии Положительные и ограниченные полукольца и лемме 1. из группы 1 останется только элемент Положительные и ограниченные полукольца

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент Положительные и ограниченные полукольца, который и останется. Получаем


Положительные и ограниченные полукольца

.Прежде всего проверим замкнутость операций Положительные и ограниченные полукольца и + на множестве I.

Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что Положительные и ограниченные полукольца - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент Положительные и ограниченные полукольца имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

С другой стороны Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольцаПоложительные и ограниченные полукольца

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана. Положительные и ограниченные полукольца

b). 1 – нейтральный элемент:

Положительные и ограниченные полукольца

с). Коммутативность:

Положительные и ограниченные полукольца, Положительные и ограниченные полукольца

1.Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

2.Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Из 1 и 2 следует Положительные и ограниченные полукольца, по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство Положительные и ограниченные полукольца. Коммутативность доказана. Положительные и ограниченные полукольца - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

(4) Положительные и ограниченные полукольца

Все аксиомы полукольца доказаны, а значит Положительные и ограниченные полукольца - коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.

IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца,

то S – аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Рассмотрим t>1

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Рассмотрим t=1, Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца Положительные и ограниченные полукольца

Положительные и ограниченные полукольца

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце S Положительные и ограниченные полукольца справедливо следующее тождество:


Положительные и ограниченные полукольца

Доказательство.

Положительные и ограниченные полукольца

Домножим на обратный к Положительные и ограниченные полукольца: Положительные и ограниченные полукольца

Получим:

Положительные и ограниченные полукольца

Что и требовалось доказать.


Библиографический список

Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.

Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.

Похожие работы:

  1. • Редуцированные полукольца
  2. • Кольца и полукольца частных
  3. • Расширение кольца с помощью полутела
  4. • Оформление патентных прав на объект хозяйственной ...
  5. • Ремонт двигателя. Стук двигателя. Стук глухого тона ...
  6. • Морфология мёдоносной пчелы
  7. • ОАО автобаза "Шахта Первомайская"
  8. • Технология продукции общественного питания
  9. • Проект термического отделения высокотемпературного ...
  10. • Архитектура Москвы 1920-х годов
  11. • Тепловоз ТЭП60
  12. • Гнездо и жизнь пчелиной семьи
  13. • Кривошипно-шатунный механизм двигателя Камаза 740-10
  14. • Технологический процесс сборки двигателя автомобиля ...
  15. • Спускаемая капсула космического аппарата
  16. • Проектирование силового трансформатора мощностью 630 ...
  17. • Назначение и характеристика кривошипно-шатунного ...
  18. • Воинская слава России
  19. • Проектирование технологических процессов ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com