Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005

Содержание

Введение 3

§1. Допустимые кольца и решетки 6

§2. Допустимые полутела 10

§3. О единственности расширения 12

Заключение 14

Библиографический список 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура бS; +, Ч, 0с, что бS; +, 0с - коммутативный моноид с нулем 0, бS, с - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру бS; +, с, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Ю a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c Ю b=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]r - изоморфно единичному ядру - и S/r@T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bОR(S) Ю a, bОR(S)).

Пусть S/R(S) – фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t Ы s+a=t+b для некоторых a, bОR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aОS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abОR(S) влечет aОR(S) или bОR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/r, где r - конгруэнция на S, такая, что arb означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция r, что [0]ρ@K, [1]r@L и S/r@T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§1.Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r, для которой [0]r@R, [1]r@P, F/r@D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что "pОP,"rОR,pЧrОR,p+rОP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию r на S.

Предложение. В UR справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть , тогда , ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

существует допустимая тройка бR, U, Lс, где L – любая дистрибутивная решетка с 1№0;

существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;

R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

1Ю2. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию r. Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1]rИ[0]r в S.

2Ю1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iОI,rОRИ(l,p),lОL/I,pОP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]r@R, [1]r@P, F/r@L2. Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первых координат, то [0]g@R, [1]g@P, S/g@L2, что завершает доказательство.

Лемма. Пусть в кольце R "r $rў "tОR,(r+rўr+rў)t=0Щ,(r+rrў+rў)t=0, тогда "r $rІ ,r+rІr+rІ=0Щr+rІr+rІ=0.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим rІ=-r-rўr. Имеем

r+rІr+rІ = r+(- r - rўr)r - r - rўr = (r+rўr+rў)(-r)=0

r+rrІ+rІ = r+r (- r - rўr) - r - rўr = (r+rrў+rў)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r°s = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)Ю3). P содержит Q+, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rЫr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q+ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T= Q++R является подполутелом в U, поскольку

q1+r1+q2+r2 = (q1+q2)+(r1+r2);

(q1+r1)(q2+r2) = (q1q2+q1r2+r1q2+r1r2) = q1q2+(q1r2+r1q2+r1r2);

t=q+rЮ1=qt -1+rt -1Юt -1=q -1- q -1r t -1О Q+ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rОR найдётся, 1+rў,rўОR что (1+r)(1+rў) = (1+rў)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rrў+rў = 1+r+rўr+rў = 1. Умножая последнее равенство на любое tОR, имеем (r+rўr+rў)t=0Щ(r+rrў+rў)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)Ю2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q+ґR с операциями

(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)Ч(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S@(Q+И{0})ґR с теми же операциями совпадает с (Q+ґR)({0}ґR) = (Q+ґR)R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом e.

Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p1e + p2e2 + … + pn-1en-1, piОQ, n - наименьшая нулевая степень e, T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-1,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qОQ+,qi,piОQ или

(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-2,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qОQ+,qi,piОQ

c операциями

(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)Ч(q2,r2) =  (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R@m(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "aОm(0), a+x+ax = 0Ыx = (-a)/(1+a)Оm(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q1e + q2e2 + … + qn-1el,p1e + p2e2 + … + pn-1em)qОQ+,qi,piО

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что PR.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mОR, "rОR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {eОR,1+e=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3. Множество Q+Ч(R/I) является полутелом с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)Ч(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть бR, U, Dс - допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q++R есть подполутело U, изоморфное ((R/I)ґQ+), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End RR, образ которого содержит Q+. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)ґQ+).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qОQ+,rОR. Два элемента q+r1 и q+r2 равны тогда и только тогда, когда 1+r1-r2=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r1+r=1+r1. Поэтому все элементы вида q+r+e, 1+e=1"e сливаются в классы qЧ(R/I), где I - множество всех e.

Отображение ju: R®uR, uОU ввиду дистрибутивности и ассоциативности в UR является R – модульным эндоморфизмом. Пусть ju+jv:R®(u+v)R и juЧjv:R®uvR, тогда отображение a: U ®End RR, сопоставляющее каждому элементу uОU эндоморфизм ju - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q1+r1, q2+r2, считая без ограничения общности, q1=q2+q3 (q3 может равняться нулю), "r, (q1+r1)r=(q2+r2)rЫ(q3+r1-r2)r=0Юq3=0,r1=r2. Элементы q1+r1 и q2+r2 одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a - мономорфизм и Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)ґQ+).

Замечание. Система (Q+Ч(R/I))И({0}ЧR) с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)Ч(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности UR для данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть tОR не лежит в AnnR, но tЧrОAnnR"rОR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-1,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qОQ+,qi,piОQ из примера 1).

Определим новые операции на UИR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rОR и uОU сложение зададим законом uЕr=u+r+rЧt. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u1Еu2)Еr=u1Е(u2Еr)Ыu1+u2+r+rt= u1+u2+r+rt

(uЕr1)Еr2=uЕ(r1Еr2)Ыu+r1+r1t+r2+r2t=u+r1+r2+(r1+r2)t.

2. Дистрибутивность:

u1(rЕu2)=u1rЕu1u2Ыu1(r+u2+rt)=u1u2+u1r+u1rt

r1(uЕr2)=r1uЕr1r2Ыr1u+r1r2+r1r2t=r1u+r1r2.

Таким образом, UИR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:u®u"uОU:

r®(1+t)-1r"rОR. Причём ft :r®(1+t)-1r"rОR – автоморфизм R.

Доказательство. Имеем ft – автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

"r1,r2, ft(r1+r2)=(1+t)-1(r1+r2)= (1+t)-1r1+(1+t)-1r2=ft(r1)+ ft(r2)

"r1,r2,(1+t)-1(r1∙r2)=(1+t)-1(1+t)-1(r1∙r2),

поскольку (1+t)r1r2=r1r2. Поэтому в виду коммутативности полукольца ft(r1∙r2)= ft(r1)ft (r2).

Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

"uОU, rОR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)-1r f(u)Еf(r)

"uОU, rОR f(ur)=(1+t)-1ur=u(1+t)-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0-1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.

Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.

Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S. 93-98.

Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.

Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972. – 200 с.

15