Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Выполнил

студент 5 курса

математического факультета

Чупраков Дмитрий Вячеславович

_____________________/подпись/


Научный руководитель:

д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

_____________________/подпись/


Рецензент:

к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных


_____________________/подпись/


Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

(подпись) “__” _________


Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина

(подпись) “__” _________


Киров

2005

Содержание

Содержание

Введение

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

1.2. Простое расширение Q+(a)

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

2.4. Примеры

Литература


Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

Теорема 2.2.1. Любое расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, является полем С.

Теорема 2.3.1. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, такой что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа задается следующим образом:

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, Ч> называется полуполем, если

<Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;

<Р, Ч> – группа с 1;

Дистрибутивность

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа


Не сложно показать, что Q+ является полуполем.

Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q+(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sОS, что s+s№s. Откуда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Рассмотрим суммы единиц. Через Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа обозначим сумму k единиц (при kОN). Так как любое полутело является антикольцом, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mОN. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, получим

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа для любого tОN.

По свойству Архимеда, найдется такое tОN, что tl>n. При k=tl имеем Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и n<k. Тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Откуда 1=1+1 (Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа). Получили противоречие.

Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.


Теорема 1.2.2. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа- простое расширение полуполя Q+.

Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а О Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Очевидно Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Так как P – полуполе, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Таким образом, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Так как P – минимальное полуполе, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа–простое расширение полуполя Q+.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа- простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Покажем, что любое равенство Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа получается из Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Заметим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, так как а – корень Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, а Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – минимальный многочлен для a. Представим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа составлен из положительных одночленов многочлена h, а Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа   составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Приведем подобные члены в паре Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, и найдем такой Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

не имеют подобных членов.

Получаем

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа не имеют подобных членов и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа не имеют подобных членов, то

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа или

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.


Найдем значения этих многочленов в точке а.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Итак,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа тогда и только тогда, когда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Будем говорить, что Q+(a) порождается минимальным соотношением Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.


Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа простое расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, a – алгебраический элемент над Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Доказательство.

(1)®(2): Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - простое расширение поля Q элементом a. То Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Однако, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Таким образом, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

(2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа не будет обратим. Рассмотрим

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

(3)®(4): Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.

(4)®(5): Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, покажем, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Так как h(a)=0, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Покажем, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Если b0≠0, то

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Если h0=0, то

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Так как a≠0, то

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Итак, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

(5)®(1): Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, покажем, что Q+(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) – полуполе. Рассмотрим bОQ+(a), тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. b + ( b)=0. То есть, Q+(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.


Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a – алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

Q+(a) –полуполе;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа;

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1)   (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит Q+(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

("hОQ+[a], h≠0) h(a)≠0.

То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Тогда (xi+yi)=0.

Так как xiОQ+ и yiОQ+, то xi=yi=0. А значит, x=y=0.

Теорема доказана.

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1. Любое расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, является полем С.

Доказательство. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и при a > 0. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.

Очевидно, существует натуральное n, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где c < 0, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Значит,Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По теореме 2.1.1, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. Очевидно, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа является полем С.

Аналогично рассматривается случай Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа


2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.

Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию

f№0, f(ai)=0.

Так как все степени aiОQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.

То есть,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.

Получили, что Q+(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле. ■

Как следствие получаем более ценные утверждения.

Следствие 1. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Q+(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – полуполе.

Следствие 2. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Q+(-b2) – полуполе, aОQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.


Теорема 2.3.2. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.

Доказательство. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где D – дискриминант минимального соотношения.

Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Если многочлен не имеет действительных корней, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числато

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (*)

То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Рассмотрим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

При Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа получаем многочлен из Q+[x]. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Введем обозначения:

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числаПолуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Тогда многочлен примет вид Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Умножим его на Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, получим многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то это искомый многочлен иначе умножим его на Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q+. Докажем, что найдется такие k, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. При этом Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Для начала найдем дискриминант уравнения Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.

Рассмотрим неравенство Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, подставим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Получим

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

То есть,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Зная, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа заметим

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.


Итак, для доказательства нам достаточно установить, что

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

То есть,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Используя оценкуПолуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и деля на положительный элемент Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, получаем

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Обозначим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим отображение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, заданное по правилу Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. При Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Откуда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Заметим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Последовательность Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числастремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, а это следует из (*). Итак, мы доказали, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, мы нашли такой многочлен, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Итак, мы доказали, что если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. ■

Следствие 1. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – мнимый корень квадратного трехчлена, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа   поле.

Следствие 2. Любое простое расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа является полем Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, порожденным минимальным соотношением 2 степени.

Доказательство.

Заметим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Покажем, что для любого aОQ найдется такой квадратный многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - его корень многочлена. Для этого достаточно представить Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Возьмем такой Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Очевидно, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Таким образом, нам удалось найти многочлен из Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - поле. ■


Рассмотрим последовательность действительных чисел Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа:

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (**)

Будем говорить, что последовательность Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа задается числами p и q.

Лемма 2.3.3. Существует n, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Доказательство. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Покажем, что последовательность Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа убывающая.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

то есть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то есть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - убывающая.

Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Но тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа,

что невозможно для Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. ■

Лемма 2.3.4. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то существует Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то существует k, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим число Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. ■


Теорема 2.3.5. Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Доказательство. По лемме 2.3.3, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Если n=1, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

То есть,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По лемме 2.3.4 Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Тогда

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Рассмотрим n > 1.

Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Покажем, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

То есть,

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Заметим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Для существования Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Обозначим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Для существования Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа достаточно доказать существование Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Обозначим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По лемме 2.3.4, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа существует, если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Эти условия следуют из того, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Таким образом, доказано существование Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, такой что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, где Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа существует многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа и Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Кроме того Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, а остальные множители многочлена Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа имеют вид Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа или Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Таким образом Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По теореме 2.1.1, минимальный многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числапорождает поле. ■

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа расширение Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе. ■

2.4. Примеры

Рассмотрим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Оно удовлетворяет минимальному соотношению Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По теореме 2.3.7, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - полуполе. Аналогично доказывается, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.

Покажем, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе. Во-первых, заметим, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По теореме 2.3.7, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа   полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – полуполе.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, минимальное соотношение которого имеет вид Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, есть полуполе. Действительно, многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа имеет положительный корень, а значит Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа - полуполе.


Теперь приведем примеры полей.

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа удовлетворяет минимальному соотношению Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Его минимальный многочлен Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа делит Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. То есть, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. Несложно видеть, что Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Итак, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа.

Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа удовлетворяет минимальному соотношению Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Тогда Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле.

Пусть Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа , если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле. Так как Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа Если Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа, то Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа. По теореме 2.3.7, Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа – поле.

Литература

Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000

Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.

Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.

Рефетека ру refoteka@gmail.com