Рефетека.ру / Математика

Реферат: Полное исследование функций и построение их графиков

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Полное исследование функций и построение их графиков.


1. Возрастание и убывание функции


Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1. Если функция Полное исследование функций и построение их графиков, дифференцируемая на интервале Полное исследование функций и построение их графиков, монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке Полное исследование функций и построение их графиков; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала Полное исследование функций и построение их графиков.

Доказательство. Пусть функция Полное исследование функций и построение их графиков монотонно возрастет на Полное исследование функций и построение их графиков, значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого Полное исследование функций и построение их графиков выполняется неравенство: Полное исследование функций и построение их графиков (рис. 1.1).

Полное исследование функций и построение их графиков

Рис. 1.1


Рассмотрим предел Полное исследование функций и построение их графиков. Если Полное исследование функций и построение их графиков, то Полное исследование функций и построение их графиков, если Полное исследование функций и построение их графиков, то Полное исследование функций и построение их графиков. В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть Полное исследование функций и построение их графиков, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Теорема 1.2. Если функция Полное исследование функций и построение их графиков непрерывна на отрезке Полное исследование функций и построение их графиков и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, Полное исследование функций и построение их графиков для любого Полное исследование функций и построение их графиков, то данная функция монотонно возрастает на Полное исследование функций и построение их графиков; если Полное исследование функций и построение их графиков для любого Полное исследование функций и построение их графиков, то данная функция монотонно убывает на Полное исследование функций и построение их графиков.

Доказательство. Возьмем Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков, причем Полное исследование функций и построение их графиков. По теореме Лагранжа (п. 14.2), Полное исследование функций и построение их графиков. Но Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков, значит, Полное исследование функций и построение их графиков, то есть Полное исследование функций и построение их графиков. Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.


2. Экстремумы функции


При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.

Определение 2.1. Точка Полное исследование функций и построение их графиков называется точкой максимума функции Полное исследование функций и построение их графиков, если для любого, сколь угодно малого Полное исследование функций и построение их графиков, Полное исследование функций и построение их графиков, а точка Полное исследование функций и построение их графиков называется точкой минимума, если Полное исследование функций и построение их графиков.

Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).


Полное исследование функций и построение их графиков

Рис. 2.1


Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая на интервале Полное исследование функций и построение их графиков функция имеет в точке Полное исследование функций и построение их графиков из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума Полное исследование функций и построение их графиков.

Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума Полное исследование функций и построение их графиков, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси Полное исследование функций и построение их графиков.

Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция Полное исследование функций и построение их графиков имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где Полное исследование функций и построение их графиков.

Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции Полное исследование функций и построение их графиков в точке Полное исследование функций и построение их графиков производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции Полное исследование функций и построение их графиков есть минимум в точке Полное исследование функций и построение их графиков, хотя производная в этой точке не существует.

Определение 2.2. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции.

Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.

Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция Полное исследование функций и построение их графиков непрерывна на интервале Полное исследование функций и построение их графиков, который содержит ее критическую точку Полное исследование функций и построение их графиков, и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки Полное исследование функций и построение их графиков. Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки Полное исследование функций и построение их графиков слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке Полное исследование функций и построение их графиков своего максимума и наоборот.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную Полное исследование функций и построение их графиков;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.


3. Интервалы выпуклости и вогнутости функции


Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.

Определение 3.1. Функция Полное исследование функций и построение их графиков называется выпуклой на промежутке Полное исследование функций и построение их графиков, если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.

Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Теорема 3.1. Если во всех точках интервала Полное исследование функций и построение их графиков вторая производная функции Полное исследование функций и построение их графиков непрерывна и отрицательна, то функция Полное исследование функций и построение их графиков выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута.

Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку Полное исследование функций и построение их графиков и проведем в этой точке касательную к графику функции Полное исследование функций и построение их графиков (рис. 3.1). Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке Полное исследование функций и построение их графиков лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений Полное исследование функций и построение их графиков ординаты кривой Полное исследование функций и построение их графиков меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке Полное исследование функций и построение их графиков.


Полное исследование функций и построение их графиков

Рис. 3.1


Для определенности обозначим уравнение кривой: Полное исследование функций и построение их графиков, а уравнение касательной к ней в точке Полное исследование функций и построение их графиков: Полное исследование функций и построение их графиков или Полное исследование функций и построение их графиков. Составим разность Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков:


Полное исследование функций и построение их графиков.


Применим к разности Полное исследование функций и построение их графиков теорему о среднем Лагранжа (п. 14.2):


Полное исследование функций и построение их графиков,


где Полное исследование функций и построение их графиков.

Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:

Полное исследование функций и построение их графиков,


где Полное исследование функций и построение их графиков. В нашем случае, как видно из рисунка, Полное исследование функций и построение их графиков, тогда Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков. Кроме того, по условию теоремы, Полное исследование функций и построение их графиков. Перемножая эти три множителя, получим, что Полное исследование функций и построение их графиков, что и требовалось доказать.

Определение 3.2. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба.

Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.

Теорема 3.2. Если в точке Полное исследование функций и построение их графиков вторая производная функции Полное исследование функций и построение их графиков равна нулю или не существует, а при переходе через точку Полное исследование функций и построение их графиков знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба.

Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки Полное исследование функций и построение их графиков по разные стороны от точки Полное исследование функций и построение их графиков различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка Полное исследование функций и построение их графиков является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.


4. Асимптоты функции


В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.

Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.

Определение. Асимптотой графика функции Полное исследование функций и построение их графиков называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

К вертикальным асимптотам относятся прямые линии Полное исследование функций и построение их графиков, которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: Полное исследование функций и построение их графиков. Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой Полное исследование функций и построение их графиков стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. С таким поведением функций мы сталкивались в п. 11.1, когда речь шла о разрывах второго рода. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например, Полное исследование функций и построение их графиков в точке Полное исследование функций и построение их графиков. Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.

Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть Полное исследование функций и построение их графиков. Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков.

Итак, пусть кривая Полное исследование функций и построение их графиков имеет наклонную асимптоту, то есть при Полное исследование функций и построение их графиков точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой Полное исследование функций и построение их графиков (рис. 4.1). Пусть Полное исследование функций и построение их графиков – точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра Полное исследование функций и построение их графиков. Согласно определению, Полное исследование функций и построение их графиков. Но Полное исследование функций и построение их графиков вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти Полное исследование функций и построение их графиков.

Из треугольника Полное исследование функций и построение их графиков следует, что Полное исследование функций и построение их графиков, так как Полное исследование функций и построение их графиков. Значит, Полное исследование функций и построение их графиков. Итак, Полное исследование функций и построение их графиков.

Но выше было сказано, что Полное исследование функций и построение их графиков, откуда следует, что Полное исследование функций и построение их графиков. Вынесем Полное исследование функций и построение их графиков в данном выражении за скобки: Полное исследование функций и построение их графиков. Так как по условию Полное исследование функций и построение их графиков, то Полное исследование функций и построение их графиков. Здесь Полное исследование функций и построение их графиков, следовательно, Полное исследование функций и построение их графиков, откуда получаем:

Полное исследование функций и построение их графиков.

Полное исследование функций и построение их графиков

Рис. 4.1


Зная Полное исследование функций и построение их графиков, рассмотрим снова предел: Полное исследование функций и построение их графиков. Он выполняется лишь при условии, что


Полное исследование функций и построение их графиков.

Таким образом, найдены Полное исследование функций и построение их графиков и Полное исследование функций и построение их графиков, а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если Полное исследование функций и построение их графиков, то получаем частный случай горизонтальной асимптоты Полное исследование функций и построение их графиков. При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении Полное исследование функций и построение их графиков или Полное исследование функций и построение их графиков) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.

Аналогично проводится исследование и при Полное исследование функций и построение их графиков.


5. Общая схема исследования функций


На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:

1) находят область определения функции;

2) определяют точки разрывов функции и их характер;

3) находят корни функции;

4) определяют четность или нечетность функции;

5) проверяют функцию на периодичность;

6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;

7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8) находят асимптоты функции;

9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.


Литература


Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.

Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.

Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.

Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., др, Розановой С.А., Кузнецова Т.А. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2009. – 168c.

Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2007. – 200c.

Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Сталкер, 1997. – 560 с.

Рефетека ру refoteka@gmail.com