Рефетека.ру / Педагогика

Реферат: Методика изучения функций в школьном курсе математики

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ


Методика изучения функций в школьном курсе математики

Реферат


Исполнитель:

Студентка группы М-33 Грабовец А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.


Гомель 2007

Содержание


Введение

1. Различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в средней школе

2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики

3. Методика формирования понятий общих свойств функций

4. Методическая схема изучения функций. Изучение функций в классе функций

Заключение

Литература


Введение


Функциональная линия школьного курса математики – одна из ведущих, определяющая стиль изучения тем в курсах алгебры и начала анализа. Её особенность состоит в представлении возможности установления разнообразных связей в обучении.

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;

установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала.


1. Различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в средней школе


Задача. При каких значениях параметра а уравнение Методика изучения функций в школьном курсе математики имеет ровно четыре корня?


Методика изучения функций в школьном курсе математики


Строим графики функций Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математикив одной системе координат, воспринимая равенство как равенство значений выбранных функций.


Методика изучения функций в школьном курсе математики


Построим график Методика изучения функций в школьном курсе математики четыре точки пересечения получаем для Методика изучения функций в школьном курсе математики. При Методика изучения функций в школьном курсе математики (координаты точки максимума (1,2)) получаем верхнее ограничение. Второй промежуток значений для Методика изучения функций в школьном курсе математики: от точки минимума функции, т.е. Методика изучения функций в школьном курсе математики. Основа решения – использование функциональных и графических представлений, а само решение – переход от исследования данного в уравнении к исследованию функции. При построении графика этой функции Методика изучения функций в школьном курсе математики с помощью элементарных преобразований графиков наиболее трудным является оценивание значения выражения Методика изучения функций в школьном курсе математики. В качестве подсказки можно воспользоваться неравенством:


Методика изучения функций в школьном курсе математики


Показанный метод называется функционально-графическим моделированием. Освоение его и с формальной, и с прикладной стороны в значительной мере подчинено изучение всей функциональной линии курсов алгебры и начала анализа.

Различают две основные математические трактовки понятия функции:

1) генетическую;

2) логическую.

Основные понятия, используемые при генетической трактовке: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости. Достоинство такого подхода состоит в том, подчеркивая динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Например, общая схема применения функции для описания результатов опыта имеет вид:

1)провести эксперимент;

2)составить по результатам эксперимента таблицу значений связанных друг с другом величин;

3)построить по табличным данным график;

4)подобрать эмпирическим путём формулу для данной функции;

5)дать развёрнутую характеристику свойств функции;

6)истолковать установленные свойства функции на языке эксперимента.

Однако ограничительная черта в этом подходе в том, что переменная всегда неявно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается с числовыми функциями числовог8о аргумента.

Логическая трактовка: обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала(теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия.


2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики


В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;

установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала.

Выделена система компонентов и установлена связь между ними. В систему входят такие компоненты: 1) представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и математике; 2) представление о функции как о соответствии;3) построение и использование графиков функций, использование графиков функций; 4) вычисление значений функций, определённых различными способами;

Введение понятия ведётся по трём основным направлениям: 1) упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат); 2) глубокое изучение отдельных функций и их классов; 3) расширения области приложения алгебры за счёт включения в нею идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент – усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой остальные способы задания – подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую – необходимый методический приём приведении понятия функции. Реализация – система заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Например, при отработке формы представления можно рассмотреть задачи:

изобразить график функции у=4х+1 на Методика изучения функций в школьном курсе математики ;

проверить, на сколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента проведя расчёт : х=1.35; 2.44; 9,4; 7; 6,25;

по заданным точкам построить график зависимости.

В первом задании построение идёт по точкам, так как первоначально учащиеся не знают вида графика линейной функции. Способ построения графика функции по точкам иллюстрирует задание три, второе задание иллюстрирует связь функциональных представлений с числовой системой. Второй тип заданий – оптимизация представления функции без изменения средств представлений. Типичные задания: упростить формулу, задающую функцию. Цель таких задания – показать, что одна и та же функция может определяться различными формулами. Связь функциональной линии с числовой системой при введении понятия функции осуществляется при вычислении её значения по формуле или словесному описанию. Учащиеся должны понимать, что если о некоторой функции известно, что она определена на множестве Методика изучения функций в школьном курсе математики, то это значит, что для каждого Методика изучения функций в школьном курсе математики можно найти соответствующее значение Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Например: Функция задана формулой :Методика изучения функций в школьном курсе математики. Найти её значение при Методика изучения функций в школьном курсе математики. Наряду с раскрытием определения понятия уточнения общих функциональных представлений введение понятия функции требует рассмотрения нескольких конкретных примеров функций.


3. Методика формирования понятий общих свойств функций


В школьной математике функции образуют классы, обладающие общностью аналитического способа задания, сходными особенностями графиков, областей применения. В курсе алгебры происходит вживление основных понятий функциональной линии. Каждая функция представлена в виде объекта, и её освоение происходит в сопоставлении черт, специфических для неё. Переходя к изучению класса функций (например, линейных) необходимо исследовать данную функцию, как член класса и изучить свойства всего класса на примере типичной функции.

Связи внутри функциональной линии при изучении функций:

1). Индивидуально-заданная функция

Общее понятие функции Методика изучения функций в школьном курсе математики данная функция Методика изучения функций в школьном курсе математики характерные приёмы изучения и исследования данной функции

2). Функция, входящая в класс

Общее понятии функции Методика изучения функций в школьном курсе математики данная функция Методика изучения функций в школьном курсе математики общие свойства класса функций Методика изучения функций в школьном курсе математикихарактерные приёмы изучения и исследования функций данного класса Методика изучения функций в школьном курсе математикиведущие примеры функций данного класса.

Методика изучения общих функциональных понятий.

Понятие функции вводится в 7 классе, многие общие функциональные понятия вводятся в теме "Числовые функции" в 4 классе. Только понятие периодичности вводится в 10 классе и в 11 – понятие функции, обратной данной.

Методическая схема введения понятия функции:

Понятие функции вводится конкретно-индуктивным способом;

На основании конкретной формулы устанавливаются характеристические свойства общего понятия функции: области определения, значения, зависимость: каждому Методика изучения функций в школьном курсе математики - единственное значение Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Формулируются определения функции, сообщается учителем область определения и область значения.

Проиллюстрировать сказанное рисунком.

Привести контр пример понятия функции: Методика изучения функций в школьном курсе математики; область определения Методика изучения функций в школьном курсе математики; область значений Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Рассмотреть упражнения.

Закрепить формулировку понятия функции.

По этой же схеме можно изучать и остальные общие функциональные свойства: чётность, монотонность, периодичность и т.д.


4 Методическая схема изучения функций. Изучение функций в классе функций


Методические схема изучения функции.

Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.

На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).

Составить таблицу значений функции и построить "по точкам" её график.

Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику)

Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

Особенность схемы-исследования функции имеет наглядно-геометрический подход, аналитическое исследование имеет ограниченный характер. Схема применима в изучении линейной, квадратичной, степенной и других функций, с которыми учащиеся знакомятся в курсе алгебры.

Изучение функций в классе функций. Класс линейных функций.

Типичный для математики класс функций – линейные. Первоначальное представление связывается с равномерным прямолинейным движением или с построением графика некоторой линейной функции. Рассматривая второй источник можно убедиться в том, что график отдельно взятой линейной функции не может привести к формулированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Первый способ: использование загущения точек на графике. а) нанесение нескольких точек; б) наблюдение – все построенные точки расположены на одной прямой; в) проверка – берём произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значения функции; г) наносим точку на координатную плоскость – она принадлежит построенной прямой. Такой приём приведёт к пониманию того, что график любой линейной функции – прямая (выделение одного из свойств линейной функции), на его проведение потребует очень много времени и общие свойства формулируется на изолированных примерах.

Второй способ: по двум точкам. Этот способ предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций, выявление новых свойств не происходит.

При обучении происходит последовательная схема этих способов.

Для изучения класса линейных функций в совокупности его общих свойств перед учащимися ставится познавательная задача исследовать класс функций Методика изучения функций в школьном курсе математики в зависимости от параметров, здесь лучше всего рассмотреть несколько функций с различными параметрами,

Например: Постройте графики функций Методика изучения функций в школьном курсе математикиу=0.5х; у=0.5х+ 0.5; у=1.5х; у=1.5х+0.5.

Дальше необходимо их сравнить, обращая внимание на особенности, связанные с числовыми значением коэффициентов.

Например, изучая геометрический смысл коэффициентов при переменной, отличаем одинаковость углов наклонов к осиМетодика изучения функций в школьном курсе математики, чем меньше этот коэффициент, тем меньший угол наклона образует прямая с осью. После этого формулируется вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента и вводится понятие "угловой коэффициент". Закрепляющие упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у=3х+2; у=3\4х+2. Построить на этом чертеже графики функций у=3х-1; у=3\4х -1; объяснить построение.

Класс квадратичных функций.

Изучение класса квадратичных функций основано на преобразовании к виду : a(x-b)Методика изучения функций в школьном курсе математики+с, использовании геометрических для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения – графика функции Методика изучения функций в школьном курсе математики. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратичными уравнениями и неравенствами.

Первая функция этого класса –- Методика изучения функций в школьном курсе математики. Эта функция не монотонна на области определения. Если учащимся предложить найти область значения функции на Методика изучения функций в школьном курсе математики, то в большинстве случаев они записывают Методика изучения функций в школьном курсе математики. Устранение ошибки – построение графика.

Характер изменения значений функции неравномерный, что можно показать при построении графиков: а) в крупном масштабе на Методика изучения функций в школьном курсе математики; б) в мелком масштабе на Методика изучения функций в школьном курсе математики. Важно отметить свойство параболы – симметричность относительно оси ординат. Применение функции Методика изучения функций в школьном курсе математики - введение иррационального числа – графическое решение уравнения Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Класс квадратичных функций начинается с изучения функции Методика изучения функций в школьном курсе математики и выяснения смысла коэффициента а (геометрического). Затем вводятся функции вида Методика изучения функций в школьном курсе математикии выясняется смысл второго коэффициента (например, как перенос по оси у ).

Например: задан график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики. Построить на этом чертеже график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Достаточно сравнить значения этих функций при одних и тех же значениях аргумента. В дальнейшем это свойство можно обобщить: чтобы построить график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики по известному графику функции Методика изучения функций в школьном курсе математики, можно произвести параллельный перенос второго графика на Методика изучения функций в школьном курсе математики единиц вдоль оси ординат. Итак, первый коэффициент при Методика изучения функций в школьном курсе математики влияет на направление ветвей, свободный член – означает параллельный перенос, выяснение значения коэффициента при х затруднено, поэтому используют обходной маневр: и рассматривают : Методика изучения функций в школьном курсе математики.

При изучении функций можно использовать системы заданий, имеющих цель – дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого числа без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом.

Пример. На рисунке изображены графики функций Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математики. Как относительно них пройдёт график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики?

Это задание не предполагает точного построения искомого графика: достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.

Пример. На рисунке изображён график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики -2Методика изучения функций в школьном курсе математики. Пользуясь этим чертежом изобразить от руки график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции Методика изучения функций в школьном курсе математики при Методика изучения функций в школьном курсе математики и отметить эти точки графика. Каким преобразованием можно перенести график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики в график функции Методика изучения функций в школьном курсе математики? Цель задания – согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и форму.

Пример: В таблице приведены значения величин, равномерно меняющейся со временем. Однако за счёт неизбежных погрешностей в измерениях нет возможности строго выдерживать заданный режим, заметны небольшие отклонения от равномерности. Указать закон изменения скорости в заданном промежутке и отклонение от него, имеющееся в таблице.


t, мин 2 3 4 5 6

Методика изучения функций в школьном курсе математики,км/ч

20 30,1 39,8 50 60,1

Цель – пропедевтика систематической работы над приближёнными вычислениями, формирование полноценных представлений о приложениях математики.

Изучение функции в классе элементарных функций.

Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций:

арифметические;

операции композиции и обращения функций.

Введение арифметических операций над числовыми функциями неявно. По существу происходит перенос действий из одной области в другую неосознанно. Решение заданий на сравнение значения Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математики или аналогичных значений для других одноименных функциональных и числовых операций позволит осознать действие операций.

Пример:

Даны многочлены Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математики.Вычислить сумму этих многочленов при x=0,5

Рациональное выражение Методика изучения функций в школьном курсе математики можно представить в виде


Методика изучения функций в школьном курсе математики.


Пользуясь таким представлением, найти разность функций


Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математики


в точках Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Вычислить значение функции Методика изучения функций в школьном курсе математикипри Методика изучения функций в школьном курсе математики, пользуясь таблицами Брадиса (или компьютером).

Наводящий вопрос : каким из двух способов вычисления значений данного выражения проще провести выкладки?

Целесообразно при изучении графиков функций рассмотреть графическую иллюстрацию функций вида


Методика изучения функций в школьном курсе математики, Методика изучения функций в школьном курсе математики,

Методика изучения функций в школьном курсе математикииспользуя построения по точкам и учитывая простейшие особенности тех функций, которые составляют формулу данной функции.

Изучение операций второй группы вводятся посредством явного определения. Каждая из этих операций используется в изучении теоретического материала: композиция функций – сложная функция.

Понятие обратной функции, можно отнести к числу важнейших общих понятий в составе функциональной линии. При изучении выясняется зависимость её монотонности от монотонности её исходной функции.

Понятие непрерывности используется при построении графиков и способствует формированию понятия. Понятие непрерывности используется при изучении квадратного корня, при определении показательной функции, при рассмотрении графического метода решение уравнений и неравенств.

При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию, и схема изучения функции выглядит следующим образом:

Рассмотреть подводящую задачу;

Сформулировать определение функции;

Провести аналитическое исследование свойств функции;

Построить (на основе данных аналитического исследования) график функции; в целях более точного его построения составить таблицу " характерных" значений функции и построить соответствующие графики;

Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

Замечание: Знакомя учащихся со свойствами функции, следует помнить, что не все из них являются достаточно наглядными, поэтому не всегда график функции может подсказать их ученику. Например, посмотрите на рисунок


Методика изучения функций в школьном курсе математики


Графики каких функций здесь изображены?

Графики: Методика изучения функций в школьном курсе математики и Методика изучения функций в школьном курсе математики сумма функций Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Наиболее характерные случаи срабатывания "наглядности графиков":


корни уравнения Методика изучения функций в школьном курсе математики

решение Методика изучения функций в школьном курсе математики

Методика изучения функций в школьном курсе математики–график Методика изучения функций в школьном курсе математики выше Методика изучения функций в школьном курсе математики


возрастающая функция;

чётность функции;

графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой Методика изучения функций в школьном курсе математики;


Методика изучения функций в школьном курсе математики


Заключение


Обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала (теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия


Литература


1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.

Похожие работы:

  1. • Изучение функций в курсе математики VII-VIII классов
  2. • Комплекс упражнений, направленных на формирование ...
  3. • Тождественные преобразования показательных и логарифмических ...
  4. •  ... показательной функции в курсе математики средней ...
  5. • Изучение тригонометрического материала в школьном курсе ...
  6. • Формирование понятия функции в курсе математики ...
  7. • Методика изучения кристаллогидратов в школьном курсе химии
  8. • Методика изучения многогранников в школьном ...
  9. • Физические модели при изучении интеграла в курсе ...
  10. •  ... Тригонометрические функции" в курсе алгебры и ...
  11. • Методика обучения решению сюжетных задач в курсе ...
  12. • Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном ...
  13. • Методика изучения неравенств
  14. •  ... на элективном курсе по математике в старших классах ...
  15. • Разработка программы факультативного курса по теории ...
  16. • Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы
  17. • Теория и методика обучения математике
  18. • Профессиональная подготовка учителя математики: стандарты ...
  19. • Математика и физика в средней школе
Рефетека ру refoteka@gmail.com