Рефетека.ру / Математика

Статья: Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Соиск. Дзарахохов А.В.

Кафедра математики.

Горский государственный аграрный университет

Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.

Рассмотрим уравнение

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (1)

в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта соответственно и характеристиками

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.

Пусть Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта – параболическая, Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта - гиперболическая области Ω, Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта - интервал прямой y=0.

ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (2)

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (3)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта - непрерывные, а Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (4)

Решение задачи Коши Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (5)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (6)

В равенстве (6) сделаем замену

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

В результате получим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Заменяя в последнем равенстве x через Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, получаем:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (7)

Из равенства (7) находим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (8)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, получаем [2]:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (9)

Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (10)

Рассмотрим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Произведя замену переменных Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта в последнем равенстве, получим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. На основании равенства [3]

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

будем иметь

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (11)

Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта и Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (12)

При m = 0 оно принимает вид:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (13)

Устремляя Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта из Ω1, получаем функциональное соотношение между Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта и Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, привносимое на линию y = 0 в виде:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (14)

В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14) Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (15)

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (16)

Решение (15), (16) представим в виде:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (17)

где обозначено

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

После определения Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. Нетрудно убедиться, что решение Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (18)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта – функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта получаем интегральное уравнение

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (19)

с ядром

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

и правой частью Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (20)

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (21)

Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Пользуясь функцией Грина Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (22)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта и Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (23)

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта,

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта,

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта,

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

В силу свойства функции Грина Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта [4].

Пусть теперь m > 0. Исключая Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (24)

удовлетворяющее граничному условию

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (25)

в случае задачи 1 и нелокальному условию

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (26)

в случае задачи 2.

Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (27)

Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (28)

Учитывая равенство (28) в (27), получаем:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (29)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. (30)

Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта,

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Откуда заключаем, что Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта. Таким образом, относительно Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (31)

4 Труды молодых ученых  № 3,  2007
где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

Так как Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, (31)

где Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта,

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, если выполнены условия

Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта.

После определения функции Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и Локальная и нелокальная задачи  для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта, которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).

Список литературы

Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959.

Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.

Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1.

Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.

Похожие работы:

  1. • Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа ...
  2. • Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для ...
  3. • Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного ...
  4. • Термодинамико-топологический анализ
  5. • Адроны, очарованные мезоны и поиски кварк-глюонной плазмы
  6. • Ответы на вопросы по курсу "Системное программирование"
  7. • Теоретические основы реализации концепции ...
  8. • Энергия звезд
  9. • Компьютерное моделирование плохо структурируемых экосистем
  10. • Язык науки и язык природы
  11. • Естествознание и религия - конфликт или рождение новой ...
  12. • Динамическая локализация психических функций
  13. • Энергетический феномен вакуума
  14. • Сверхпроводники
  15. • Поляризация материи и пространства-времени
  16. • Наука и иррационализм или обобщённый принцип ...
  17. • Моделирование процессов тепло- и массопереноса при ...
  18. • Проблемы истины в эмпирическом и теоретическом познании
  19. • Эти совсем не элементарные частицы
Рефетека ру refoteka@gmail.com