Рефетека.ру / Математика

Статья: Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, ограниченной отрезками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками прямых Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками соответственно – и характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

уравнения (1).

Пусть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками;Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– интервал Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками прямой Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, выходящих из точки Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, с характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками соответственно;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (2)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (3)

– операторы дробного интегрирования порядка -Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, причем

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– единичный оператор, а Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Под регулярным в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками решением уравнения (1) будем понимать функцию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, удовлетворяющую уравнению (1) в Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, и такую, что Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками может обращаться в бесконечность порядка ниже Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками на концах А и В интервала I.

Задача ННелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. Найти регулярное в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками решение Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (4)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (5)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (5`)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. (6)

Пусть существует решение задачи Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, удовлетворяющее данным Коши Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, дается формулой [1]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, принесенное на Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамииз Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками [2]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (8)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (9)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Из постановки задачи ННелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками следует, что функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками непрерывна в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. Поэтому, переходя к пределу при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (10)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, окончательно получим функциональное соотношение между функциями Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, принесенное из области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками на Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (12)

Подставляя в (9) вместо функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками её выражение (12), получаем :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками 

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

В интегралах Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками сделаем подстановки

1) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками; 2) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками; 3) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками;

4) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками; 5) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

соответственно. В результате получим равенства:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Подставляя значения Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (16)

где обозначено Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (17)

2 Труды молодых ученых  № 3,  2007
Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (18)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (19)

Введем вспомогательную функцию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками по формуле :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (20)

Легко заметить, что функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (21)

Учитывая значение функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Обозначим

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. (22)

Тогда окончательно имеем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Аналогично находим, что

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

где обозначено Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (23)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками; (24)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. (25)

Используя известное тождество [3],

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками (26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, (27)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками причем ядро Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.

Следуя [2], обозначим через Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками – множество функций Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками [1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками задаётся формулой (12). Таким образом, в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками приходим к задаче [6]: найти регулярное в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками в замкнутой области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и удовлетворяющее граничным условиям (4) и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками.

Решение этой задачи задается формулой :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками – функция Грина этой задачи для уравнения

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками– функция Бесселя. Функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками. Основные свойства функций Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка  с кратными характеристиками, их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.

Похожие работы:

  1. • Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного ...
  2. • Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа ...
  3. • Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для ...
  4. • Задача на собственные значения для вырождающегося ...
  5. • Экзаменационные билеты по предмету: Уравнения математической ...
  6. • Дифференциальные уравнения гиперболического типа
  7. • определение внешних спецификаций уравнений
  8. • Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
  9. • Вариации при исчислении
  10. • Краевые задачи и разностные схемы
  11. • Разработка теории радиогеохимического эффекта
  12. • Решение параболических уравнений
  13. • Перенос ионов в трехслойных ионообменных ...
  14. • Решение смешанной задачи для уравнения
  15. • Вычисление собственных чисел и собственных функций ...
  16. • Смешанная задача для уравнения гиперболического типа
  17. • Моделирование процессов тепло- и массопереноса при ...
  18. • Роль теории дифференциальных уравнений в современной ...
  19. • Классификации гиперболических дифференциальных ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com