Эффект Казимира или проблема вакуума

E.Л. Румянцев

Вспоминается история человека, которому поручили продавать газированную воду на благотворительном базаре. Ему велели спрашивать: "С каким сиропом Вы желаете?" Когда покупатель пожелал воды без сиропа, то наш герой спросил: "Без какого сиропа? Без малинового или без вишневого?"

Когда фокусник достает из совершенно пустой шляпы сначала живого кролика, затем цветы, а под конец начинает вытягивать бесконечную блестящую ленту, умные дети, конечно, восторженно аплодируют, но знают, что все это - чистейшей воды обман. Они прекрасно понимают, что из ничего нельзя достать что-то. Все эти кролики, цветы и ленты уже были где-то заранее припрятаны, а все "чудо" - в ловких руках фокусника.

Ну, а теперь давайте посмотрим настоящее представление, которое дает подлинный маг и чародей - природа. Для начала подготовим сцену. Уберем все эти дома, леса и горы. Уберем Солнце, Землю и всякие там туманности. Затем займемся оставшимися молекулами, атомами и элементарными частицами. Заодно выкинем поля: электромагнитные, гравитационные, да и вообще все, какие нам попадутся. Вот теперь сцена подготовлена. То, что осталось - ну совершенно пустая шляпа - абсолютный физический вакуум. Теперь выход природы. В руках у нее две совершенно нейтральные плоские металлические пластинки, которые вдруг ни с того, ни с сего начинают притягиваться друг к другу. Учтите - это настоящий фокус! Мы ведь заранее уничтожили все поля, включая электромагнитные и гравитационные. Как же тогда эти пластинки ухитряются почувствовать друг друга на расстоянии? Конечно, притяжение между пластинками очень, очень слабенькое, но ведь есть же! Подчеркнем: это - не вымысел, это - экспериментально установленный факт. Данный эффект носит название эффекта Казимира. Для того чтобы разобраться, в чем соль этого фокуса, давайте заглянем за кулисы и попытаемся "разоблачить" природу. Для этого надо сделать всего несколько шагов.

Шаг первый. Вот простая задача: дан шарик массой m на невесомой пружине жесткостью k. Спрашивается, при каких значениях импульса шарика и его координаты энергия системы принимает наименьшее значение и чему это значение равно? С точки зрения классической ньютоновской механики ответ очевиден. Если V - скорость, а x - координата шарика, то полная механическая энергия системы имеет вид

E = mV2 2 + kx2 2 .

(1.1)

Задавая произвольные начальные значения для V и x, мы получаем движение с какой-то определенной энергией. Поскольку V и x можно выбирать независимо и как угодно, а выражение для энергии зависит от квадратов этих величин, наименьшее значение энергии равно нулю. Ясно, что при нулевом значении энергии скорость и координата как были равны нулю в начальный момент времени, так и останутся равными нулю во все последующие моменты времени согласно закону сохранения энергии. Итак, мы получили ответ: состояние классического осциллятора, соответствующее состоянию с минимально возможной энергией, - это состояние абсолютного покоя. Увы, покой нам только снится. У природы свой взгляд на решение этой школьной задачи. Она, природа, особенно если дело доходит до ее обожаемых электрончиков-позитрончиков, разных там атомов и молекул, объявила нам, что живут они не по ньютоновским законам, а по своим - квантовым. Квантовая механика утверждает, что никакая система принципиально не может находиться в состоянии абсолютного покоя, и этот вывод квантовой механики подтвержден экспериментально!

Наша простенькая задача неожиданно усложнилась. Теперь даже в основном состоянии - состоянии с минимальной энергией - система просто обязана находиться в непрерывном движении. Наш шарик на самом деле дрожит (или, как это говорят "по-ученому", - флуктуирует) около положения равновесия. Конечно, амплитуда этих колебаний очень и очень мала. Только природа может "увидеть" что-то такого маленького размера. Человеческий глаз явлений, происходящих в столь маленьком масштабе, не различает. Вот поэтому и живем мы спокойно и счастливо в правильном ньютоновском мире, и наш дом никаких "квантовых" флуктуаций не испытывает. Стоит себе, как вкопанный, и стоит.

Но вернемся к нашей задаче. Сделаем второй шаг. Правда, как нам его сделать, как нам надо поступить, чтобы найти минимальное значение энергии, действуя по правилам квантовой механики? Первое правило квантовой механики гласит: мы не имеем права выбирать значения импульса и координаты шарика как нам заблагорассудится. Предположим, мы откуда-то знаем, по какому закону двигается шарик в состоянии с минимальной энергией. (Такое состояние в квантовой механике называют основным состоянием.) Тогда мы можем вычислить средне-квадратичное отклонение от положения равновесия ср.зн. x2 и средне-квадратичное значение импульса ср.зн. p2. Черта означает, что мы усредняем эти величины по периоду колебаний. Согласно квантово-механическим представлениям эти величины связаны соотношением

(ср.зн. x2)1/2(ср.зн. p2)1/2  (h) 2 ,

(1.2)

где (h) - знаменитая постоянная Планка.

Запомните это соотношение! Оно играет основную роль в наблюдаемых хитросплетениях, подсовываемых нам природой вместо простых и однозначных классических построений. Неравенство (1.2 ) называется соотношением неопределенности.

Итак, правило номер два: чтобы вычислить энергию основного состояния, мы должны использовать соотношение неопределенности. Проделаем соответствующие вычисления. Поскольку мы исследуем малые колебания возле положения равновесия, положим ср.зн. x2x2, ср.зн. p2p2. Как это ни странно, но выражение для полной механической энергии природа решила оставить без изменения. Единственное условие состоит в том, что в этом выражении импульс и координата всегда должны быть связаны соотношением неопределенности. Если считать, что p2·x2(h)2/4, то полная энергия является функцией только одной переменной. Действительно, с учетом равенства (1.1 ) получаем

E = (h)2 8mx2 + kx2 2 .

(1.3)

Энергия основного состояния равна наименьшему значению функции E = E(x). Чтобы найти это значение, применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел. Имеем

(h)2 8mx2 + kx2 2  2    (h)2 8mx2 · kx2 2    1/2   = (h) 2    k m    1/2   ,

причем равенство достигается, когда

(h)2 8mx2 = kx2 2 ,

откуда

x2min = (h) 2(km)1/2 .

Таким образом, получаем

Emin = (h) 2 ,

где  = (k/m)1/2.

Конечно, точное решение задачи об энергии основного состояния осциллятора значительно сложнее и выходит за рамки школьной математики. Интересно другое: результат, полученный нами, совпадает с точным! Кстати, это не такой уж редкий случай в физике, когда простые оценки приводят к правильному ответу.

Несмотря на простоту данного результата и необычайную легкость, с которой мы его получили, по-хорошему его надо бы вставить в рамочку и повесить на стенку рядом с уравнением Эйнштейна E = mс2. Ведь он кардинально меняет наши представления о том, что это такое, когда ничего нет.

Кстати, а о чем это мы? Зачем мы вдруг начали решать задачу об осцилляторе, если в начале так долго и красиво говорили об абсолютном вакууме. Нет, не зря мы проводили эти вычисления. Вспоминайте: вакуум - это полное отсутствие чего-либо. Именно с таким расчетом мы готовили сцену для демонстрации эффекта Казимира. Мы тщательно убирали частицы и поля, т.е. уменьшали энергию Вселенной. Действительно, была частица, была Эйнштейновская энергия mc2, не стало частицы - полная энергия системы понизилась на эту величину. Было электромагнитное поле (т.е. существовала неразрывная парочка: электрическая E плюс магнитная B составляющие) - была энергия

0 E2 2 + B2 20 ,

( здесь 0 и 0 - электрическая и магнитная постоянные, E - напряженность электрического, а B - индукция магнитного полей). Не стало электромагнитного поля, значит, снова уменьшилась полная энергия нашей сцены - Вселенной. Приготовленная к выступлению наша площадка, вакуум, это, по сути и по определению, - состояние с минимально возможной энергией. В нашей осцилляторной задаче основное состояние и есть этот "осцилляторный" вакуум. Правда, странный получился у нас ответ. Хотели получить пустоту, отсутствие чего-либо, а получили какое-то неуничтожимое дрожание. Мотивируя тем, что она живет по своим квантовым законам и Ньютон ей не указ, природа припрятала в рукаве энергию (h)/2, а, следовательно, ее "осцилляторная" шляпа отнюдь не пуста. Что-то там все время колеблется, меняется, живет, хотя мы, зрители, этого не видим. Дело в том, что согласно тем же самым квантовомеханическим правилам игры мы можем "видеть", т.е. наблюдать только среднее значение любой величины. У обнаруженного нами дрожания или, как его по-другому называют, нулевого колебания, средние значения как импульса, так и координаты равны нулю. Шаг вправо, шаг влево, а в результате остался посередине. В общем, ничего не видно, а что-то там шевелится.

Раз природа один раз оступилась и сжульничала, верить ей не приходится. Вот разрешили мы ей поиграть с электромагнитным полем, а потом попробовали отнять у нее эту игрушку, т.е. захотели получить состояние с минимальной энергией. Ну, наверняка она и здесь что-то припрятала! Вопрос только в том, сколько? Оказывается, ответ содержится в уже решенной нами задаче о шарике на пружинке.

Мы знаем из школы, что если система совершает гармонические колебания, то энергия ее имеет как раз тот вид, который мы выписали выше для энергии шарика. Надо только помнить, что "координата" теперь - это переменная, описывающая отклонение от положения равновесия. Например, для математического маятника вместо x надо поставить в наше выражение угол отклонения от вертикали , а вместо скорости - /t. Для колебательного контура вместо x надо подставить заряд Q, а вместо скорости - ток j. Разумеется, в зависимости от ситуации изменится и смысл постоянных k, m.

В случае с электромагнитным полем можно рассуждать и по-другому: аналогом энергии шарика является энергия электромагнитной волны

0 E2 2 + B2 20 .

В задаче о шарике, если импульс больше, то координата меньше, так и колеблются со сдвигом. То же самое происходит в электромагнитной волне: больше магнитная составляющая - меньше электрическая, так и перетекают друг в друга. Это очень похоже на шарик на пружинке, и можно было бы сразу вместо x и p писать E и B. Частота  таких колебаний связана с длиной электромагнитной волны  хорошо известным соотношением

 = 2c  .

Таких элементарных осцилляторов у природы видимо-невидимо, поскольку длины волн, разрешенных к существованию, ничем не ограничены. Они могут быть и километровыми (радиоволны), а могут быть и намного длиннее. Есть в наборе и совсем короткие, порядка межузельного расстояния в кристаллической решетке (рентгеновские лучи), а есть и намного, намного короче. От каждой электромагнитной волны, т.е. от каждого осциллятора со своей частотой колебаний , природа, как мы уже убедились, припрятала энергию (h)/2. При этом накопила она немало. Суммарная энергия, оставшаяся после "зачистки", когда наблюдаемых и осязаемых полей вроде бы не стало, выражается суммой

E0 =  (h)()/2,

причем суммирование нужно выполнить по всем длинам волн. Можно убедиться, что эта сумма равна бесконечности!

Вот это энергетический запас так запас! Что по сравнению с этим какая-то там мелочь, равная энергии, запасенной в нефти в Каспийском море или Арабских Эмиратах. Да и ядерной и термоядерной энергии с этим запасом не тягаться. Бесконечность - она и есть бесконечность. Если вы думаете, что это все, то глубоко заблуждаетесь. С квантовой точки зрения любая частица одновременно является волной. Раз так, то с каждой частицей связано свое поле, свои колебания, и от каждого можно еще припрятать энергию, равную (h)/2. Это уже не шляпа получается, а какой-то гигантский котел, в котором кипят, дрожат, возникают и снова исчезают все до единой элементарные частицы (даже те, про которые мы еще ничего не знаем), а мы тут с вами одни фотоны обсуждали. В принципе, эти частицы можно даже вытащить из этого котла на свет божий и сделать "реальными", т.е. наблюдаемыми.

Нарушить их вакуумное небытие можно, используя прогрессивный метод Балды по обучению чертей в озере уму-разуму. Надо просто хорошенько треснуть по этой шляпе (по-научному это звучит - сообщить системе достаточное количество энергии) и посыпятся частицы, как из рога изобилия. Для объяснения эффекта Казимира нам надо сделать последний, очень маленький, шажок. Надо только вспомнить, что такое резонатор. В общем, то самое устройство, которое откликается не на все волны, а только на те, у которых длина волны подходящего, нужного размера. Внеся в вакуум металлические пластинки, природа создала резонатор. Теперь вакуум взбаламутился (опять эффект Балды!). Очень неуютно почувствовали себя те нулевые колебания электромагнитных волн, у которых в промежуток между пластинами не укладывается целое число полуволн. Причина в том, что, как вы знаете из школьного курса физики, электромагнитное поле в металл не проникает. Следовательно, волны, у которых узел не попадает на пластинку, оттуда изгоняются. Теперь энергия вакуума изменилась. Суммируются только те половинки, у которых  = a/n, где n - произвольное целое число, a - расстояние между пластинами.

Итак, полная энергия вакуума c пластинами теперь равна

E1 = 1 2   n = 1  (h) c 2n a .

Увы, эта сумма тоже равна бесконечности. Мы хотели бы найти приращение знергии

E = E1E0.

Разумеется, с обыденной точки зрения вычитать из бесконечности бесконечность - совершенно абсурдная задача. Однако в чем физики поднаторели, так это в умении производить арифметические операции с бесконечностями. Для физика-теоретика, даже начинающего, вычесть из бесконечности бесконечность и при этом получить конечное число (причем наблюдаемое, экспериментально проверяемое) - раз плюнуть. Ответ в нашей задаче имеет вид

E(a) =  (h) c 24a .

Метод получения этого результата, хотя и похож на фокус, удивительно прост. Для того чтобы придать смысл формальному манипулированию с бесконечностями, надо сделать сначала суммы конечными. Предположим, что очень коротких волн не бывает, т.е. в сумме по  мы ограничимся только  > 0. Соответственно в сумме по n придется ограничиться n < a/0. Теперь подсчитаем разность. Она станет функцией обрезки 0. Если брать все меньшие и меньшие значения 0 и построить график этой функции, то окажется, что она стремится к конечному пределу при 0 0. Такая процедура, носящая название перенормировки или регуляризации, и приводит к упомянутому выше результату.

Полученный результат - это результат "одномерной" электродинамики. Наши волны могли распространяться только в одном направлении - перпендикулярно пластинкам. На самом деле, хотя пластинки и плоские, задача трехмерная. Электромагнитные волны (даже в виде нулевых колебаний) могут распространяться в трех направлениях. Сути дела это не меняет, нужна только небольшая модификация наших расчетов.

Окончательный ответ для трехмерной задачи выглядит так:

E(a) =  2(h) c 720a3 S,

где S - площадь пластинки.

Что же теперь делать с этим выражением? Ну, во-первых, очевидно, что при сближении пластинок (уменьшении a), E уменьшается (знак минус!). Следовательно, чем ближе пластинки, тем энергетически выгоднее. Вспоминайте девятый класс: потенциальная энергия U камня в поле силы тяжести на высоте x равна mgx. Опустите камень и его энергия уменьшится. Но вы-то знаете, что Земля камень притягивает! Следовательно, уменьшение потенциальной энергии при сближении тел свидетельствует об их взаимном притяжении. А как эту силу извлечь из энергии? Да очень просто. Для нашей "каменной" задачи составим разность

U = U(x+x)U(x) = mgx.

Сила mg как раз и равна U/x. В общем случае энергия в зависимости от расстояния может меняться по закону, гораздо более сложному, чем линейный. Тогда сила находится при помощи производной:

Fx =  d U d x .

Знак минус появился из-за того, что сила - векторная величина, а по данному правилу мы находим проекцию силы на ось абсцисс. В "каменной" задаче у нас по этой формуле получилось бы mg, т.е. как и надо - сила направлена вниз, к Земле.

Используя эту процедуру, легко найти силу, с которой притягиваются пластинки:

F =  d (E(a)) d a =  2(h) cS 240a4 .

Такое притяжение, действительно, было обнаружено экспериментально. Вот уж кто умеет ставить фокусы, так это экспериментаторы! Они ухитрились очистить свою сцену от всех взаимодействий и почувствовать эффекты, связанные с абсолютным вакуумом, что само по себе представляется чудом. Для S = 1 см2, a = 0,5 мкм сила притяжения составила 2·106 H, что неплохо согласуется с приведенной теоретической формулой.

Обратите внимание: в выражение для силы вообще не входит константа электромагнитного взаимодействия (отсутствует e - заряд электрона), и это несмотря на то, что мы говорили о металле и о взаимодействующем с ним электромагнитном поле. Именно этот факт позволяет взглянуть на эффект Казимира как на эффект поляризации вакуума за счет граничных условий (пластинки). Тут существует полная аналогия с поляризацией диэлектрика во внешнем электрическом поле. Можно даже описать это явление, введя диэлектрическую проницаемость вакуума . Не путайте только ее с 0, которую вставляют во все электрические законы в системе СИ, и которая возникла только из-за нашей путаницы в определении единицы заряда. Наша вакуумная  - настоящая физическая характеристика, описывающая отклик вакуума на внешние воздействия.

Вот теперь мы подошли к концу. Как и следовало ожидать, природа тот же фокусник-обманщик. Мы лишний раз убедились в правоте житейской мудрости, что если ничего нет, так уж ничего и нет. Наша задача, однако, заключалась не в том, чтобы поймать природу за руку, а в том, чтобы разобраться, как все это устроено. Как и всегда, при изучении природных явлений возникает вопрос: а нельзя ли из этого знания извлечь пользу? Нельзя ли это как-то использовать? Ведь энергия, где бы она не была запасена, - энергия и просто обязана совершать работу. Если мы научились извлекать энергию, запасенную не только в нефти, но и в атомном ядре, то почему бы не попробовать черпать ее из бездонных вакуумных колодцев. Действительно, такие эксперименты проводятся. Вы, конечно, понимаете, что речь в данном случае идет не о создании практических устройств типа печки или реактора, а об исследовании принципиальной возможности использования этой энергии.

Вместо заключения

Глубоко заблуждается тот, кто полагает, что свойства вакуума исчерпываются эффектами, подобными описанному. Бесконечный и вездесущий вакуум вмешивается постоянно в явления как в микромире, так и в дела Вселенной. В микромире наблюдаемые частицы просто вынуждены жить в этом кипящем котле нулевых колебаний. Мы уже обсуждали тот факт, что в принципе в этом вакуумном небытии можно отыскать все элементарные частицы и при этом в неограниченном количестве. Если у данной частицы есть античастица (у электрона - это позитрон), то их вакуумная жизнь протекает совместно. Нулевые колебания для них заключаются в том, что пара частица-античастица возникает, а затем частица с античастицей взаимоуничтожаются - аннигилируют. Так и получается, что вроде они есть, а вроде их и нет. Частицы, пребывающие в таком состоянии, называются виртуальными.

Теперь представьте: летит себе наша наблюдаемая реальная частица (пусть это будет электрон), а рядышком - бульк-бульк - виртуальные пары то возникнут, то схлопнутся. Часто случается, что природа путает виртуальные частицы с реальными - ведь частицы все тождественны и один электрон от другого не отличишь. Итак, возникла поблизости от вашего электрона виртуальная парочка, да только античастица спутала своего виртуального партнера и проаннигилировала с реальной частицей. Сами понимаете, что виртуальному электрону ничего другого не остается, как взять на себя роль реальной частицы. В результате на наших глазах творится что-то невообразимое: была реальная частица в одном месте и вдруг оказалась в другом. Прямо телепортация какая-то. Такое "дрожание" орбиты электрона в атоме было теоретически предсказано и экспериментально проверено (лэмбовский сдвиг). Да что это мы о разной атомной мелочи говорим, когда бесконечная энергия, запасенная в вакууме, позволяет ему конкурировать с космологическими числами. Вполне вероятно, и такие гипотезы высказывались, что именно вакуум определил и определяет эволюцию Вселенной. Только использование вакуума с его необычными свойствами способно, видимо, обуздать черные дыры и не дать им сжаться до нефизической математической точки. Так что у вакуума дел предостаточно и, следовательно, (цитируя Я.Б.Зельдовича) можно утверждать, что "для теоретиков, занимающихся астрономическими проблемами, нет угрозы безработицы".

Биографическая справка:

Казимир Хендрик - нидерландский физик, член Нидерландской Академии Наук (1964), президент АН (1973).

Работал у Бора в Копенгагене и в Цюрихе у Паули. Работы в области квантовой механики, ядерной физики, физики низких температур, сверхпроводимости, термодинамики, магнетизма, прикладной математики.

В 1934 году совместно с К.Гортером разработал феноменологическую теорию сверхпроводимости (модель Казимира-Гортера). В 1936 году построил квантовую теорию взаимодействия ядра с электрическими и магнитными полями в атомах и молекулах. В 1942 году развил подробную теорию магнитных октупольных взаимодействий. Совместно с Дю Пре ввел в 1938 году понятие спиновой температуры, выделив спиновые степени свободы в отдельную термодинамическую подсистему.

Список литературы

1. В.В.Мостепаненко, Н.Н.Трунов. Эффект Казимира и его приложения. Москва, Энергоиздат, 1990.

2. Я.Б.Зельдович. Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии. УФН, 1981, т. 133, вып.3, с.479-503.

3. С.Хокинг. От большого взрыва до черных дыр: краткая история времени. М., Мир, 1990.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://virlib.eunnet.net/