Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) 

X1=0,n11n12n13…n1k…       m1Î{0,1,…,9}{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k…       m2Î{0,1,…,9}{9,n22}

………………………       ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk…       mkÎ{0,1,…,9}{9,nkk}

a=0,m1m2…mk… Þ a¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R - несчётное множество.

Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+

Док-во:

  

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

 множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных  одмножеств явл. Само счётным Þ Q - сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

 бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

$n0=n0(e)ÎN: n>n0 Þ |xn-a|<e        a=limxn , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn ,  b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3  и  |xn-b|<e/3

e=a-b=(a-xn)-(b-xn)

e=|(a-xn)-(b-xn)|£ |(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn=a, при n®¥  -  конечный предел

Док-ть:$M>0:|xn|<M "n

Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0

Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1

Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1  "n>n0(1)

P=max{|a1|,|a2|,…,|ano|}

M=max{P,|a|+1}Þ|xn|<M "n

3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

 её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с  неравенствами:

Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

                               $limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n  xn<yn

Док-во: e=y-x>0

$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|

$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|

n0=max{n|,n||}, n>n0

x-e/3<xn<x+e/3 î

y-e/3<yn<y+e/3 ì Þ xn<x+e/3<y-e/3<yn Þ "n>n0 xn<yn  Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

 эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

 сохраняет знак своего предела)

x=limxn, x¹0

1) x>0 Предположим x>0  x/2>0Þx>x/2

limxn>x/2, при n®¥ Из Т.1. следует, что $n0:"n>n0 xn>x/2>0

Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и $limyn=y, при n®¥

Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þ xn>yn для почти всех n

Противоречие.

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn "n, тогда

1) Сущ. limzn, при n®¥

2) limzn=a, при n®¥

Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n|

               $n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n||

n0=max{n|,n||}

n>n0 Þ a-e£xn£zn£yn£a+e Þ a-e£zn£a+e Þ $limzn=a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû {xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|<e

defû {xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

Док-во: $M>0:|yn|£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n0=n0(e/M):n>n0 Þ |xn|<e/M Þ

Þ n>n0 |xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=e Þ {xnyn}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {xnyn}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.

Док-во: "e $n|=n|(e/2):n>n| |xn|<e/2

                     $n||=n||(e/2):n>n|| |yn|<e/2

n0=max{n|,n||}

n>n0 Þ |xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

 нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

      для f(x) на [a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

      всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

       одной и той же функции отличаются

       на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F1(x)- F2(x)

F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

       и той же функции называется её

       неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

 

Замена переменных в неопределённом интеграле

        или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция     x=

        x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b)

1)

½x=x(t)

2)  Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ $обратная t=t(x)

½t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=a+bx2  y¢=2bx  xy¢=2bx2=2(y-a)

U=1/yn  dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx  V=x

In=x/yn+2nIn-2naIn+1

1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In), n¹0, a¹0

2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn), n¹1/2, a¹0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

      – алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :