Шальнев Олег Васильевич.

1. 4

В работе рассматриваются закономерности изменения конфигурации меридиана мягких оболочек, деформированных внешней нагрузкой в пределах как области бесскладчатости, так и  в запредельных областях с помощью модельных поверхностей вращения овалов Кассини.

Мягкие силовые оболочки, способные оказывать сопротивление действию внешней сжимающей нагрузки и совершению работы по перемещению поверхности оболочки, деформированной внешней нагрузкой, относятся к мягким домкратам. Характерной особенностью их является трансформация начальной геометрической формы в процессе перемещения под нагрузкой в диапазоне от складчатого (запредельного) состояния к бесскладчатому.

Наряду с традиционным подходом к расчету мягких силовых оболочек известны модельные описания их формы специфичными кривыми (эластиками Эйлера), очерчивающими меридиан поверхности вращения наибольшего объема при его заданной длине / 5  /, а также с помощью дифференциальных уравнений, определяющих радиусы кривизны безызгибных оболочек вращения под действием равномерного давления / 13  /.

Однако, применение разомкнутых кривых Эйлера для моделирования замкнутых поверхностей вращения приводит к необходимости введения граничных условий, частных расчетных схем, а использование модели, основанной на дифференциальных уравнениях имеет ограничения только действием в области бесскладчатости. Поэтому первым условием создания математической модели является ее замкнутость и непрерывность кривизны. Другим условием создания модели является обобщенность начальной формы мягких оболочек.

При условии абсолютной эластичности материала наиболее рациональной формой является равнонапряженная сфера, или в общем случае овалоид (вытянутый или сплюснутый) равного давления, соотношение размеров которого соответствует условию бесскладчатости. Для запредельного состояния в качестве начальной может быть принята составная (эквипотенциальная) поверхность равного напряжения (пузырьковая модель), представляющая блок равнонапряженных, плотно упакованных упругих сфер / 17  /. Поэтому третьим условием создания модели является возможность приведения изменяемых геометрических форм мягких оболочек к общему уравнению.

Таким условиям моделирования соответствует семейство овалов Кассини. Особенностью этих плоских кривых является их геометрическая аналогия с эквипотенциальными линиями электромагнитного силового поля, образованного двумя точечными зарядами. То есть, кривые Кассини очерчивают меридиан поверхности равного напряжения потенциального поля сил давления сжатой среды, заключенной в деформированную мягкую оболочку.

Овалы Кассини /15/ при определенных значениях констант уравнения являются частным случаем спирических кривых Персея–алгебраических линий четвертого порядка, для которых оси координат служат осями симмерии.  

Линиями Кассини называются геометрические места точек (М), для которых произведение расстояний (F1M x F2M = d²), где (F1; F2) – фиксированные фокусы, (d) – постоянная. Уравнение, определяющее форму овала в декартовой системе координат , имеет вид (Рис. 25):

(x² + y²)²– 2f (x² – y²) = d4 – f4,                                           (34)

где   f = const – межфокусное расстояние;

0 < d < ¥ - характерная константа овалов Кассини.

В полярных координатах уравнение Кассини имеет вид:

r²= f² cos 2j ± SQR( f4 cos( 2j)² + (d4 – f4)) .                              (35)

В зависимости от соотношения параметров (f) и (d) следует рассматривать четыре основные формы овалов, используемых для моделирования геометрической формы мягких оболочек.

При (d > f) – кривые имеют формы замкнутых, симметричных относительно координатных осей линий овалов, стремящихся к окружности,  кривизна в точках (G)  и (E) положительная. При (d = f SQR( 2) – граничный овал с нулевой кривизной, в точках ( С1') и ( С2') разделяет семейство овалов положительной и отрицательной гаусовой кривизны. При (d = f) – граничный овал в точке (О) неразрывности кривизны формы кривой. При (d < f) овал состоит из двух замкнутых линий, точки (А) и (В) стремятся к точкам фокуса.

Отсюда, при различных значениях геометрического параметра (d) можно получать различные по форме кривые, вращение которых вокруг осей симметрии  приведут к поверхностям вращения, традиционным для дифференциальной геометрии (сфере, овалоидам, цилиндру, конусу, тороидам). (См. рис.24).Все эти поверхности описываются преобразованным уравнением (34) кривых Кассини в пространстве:

(x² + y² = z²)² – 2f² (x² + y² – z²) – (d4 – f4) = 0.                  (36)

Следовательно, поверхности вращения плоских кривых Кассини могут представлять геометрическую модель мягких оболочек, а пространственное уравнение (36) является математической моделью мягких оболочек изменяемой формы. Причем, если уравнение (36) моделирует область бесскладчатых поверхностей, то уравнение (35) в полярных координатах – запредельную область деформирования мягких оболочек (Рис.26)

Состояние бесскладчатости напряженной оболочечной конструкции зависит от соотношения размеров ее осей. Рассмотрим их значение в зависимости от параметров (f) и (d).

При условии (d > f)  кривые имеют продольную ось (2 а), равную

a = SQR( (d ² + f ²) ,                                              (37)

а наибольший поперечный размер:

при (d > f SQR( 2)               b = SQR( (d²– f²)) ,                                              (38)

при (f £ d < f SQR( 2)           b = d² / 2 f.                                                      (39)

При (f £ d < f SQR( 2)) кривые имеют четыре точки перегиба ; при (d < f)  кривые распадаются на две отдельные замкнутые ветви с соотношением продольной внешней и внутренней осями соответственно :

a= SQR( (d²  + f²) ,                                                        (40)

aвн = SQR( (f² – d²).                                                       (41)

Так как кривые Кассини являются частным случаем спирических кривых, то есть характеризуемых наличием эксцентриситета радиусов кривизны, чистые овалы стремятся к окружности либо при возрастании (d стремится к ∞), либо при (f = 0).

Следует отметить, что одним из условий моделирования напряженных оболочечных конструкций является общность начальной модельной формы оболочки, предложенной авторами в виде равнонапряженной сферы, т. е. приведем овалы Кассини к предельному уравнению окружности .

При этом эксцентриситет кривизны меридиана изменяется в пределах (0 < f <= d) , то есть кривизна изменяется в соответствии с уравнением (32) от окружности до двух точек , лежащих на плоскости центрального сечения сферы , а межфокусное расстояние – от нуля до его диаметра .

Продольная ось деформированной сферы равна диаметру центрального сечения и является величиной постоянной. Значение размеров продольной и поперечной осей совпадают с установленными в уравнениях (36) и (40).

Классическим примером двух и трехосной конфигурации формы деформированной мягкой оболочки является наполнение ее воздухом при внешнем воздействии сжимающей нагрузки сыпучей средой или жидкостью.

На рис. 27 представлены формы кранцев, погруженных в воду, в процессе из заполнения водой в свободном плавании и опертых на жесткое основание. 

Таким образом, меридианы деформированной сферы по сути являются овалами, описываемыми уравнением (32) , а по содержанию – "мягкими" окружностями, отслеживающими поверхность равного напряжения потенциального поля давления, деформированными распределенной сжимающей нагрузкой и напряженные внутренним напором рабочей среды.

Рис. 25. Кривые Кассини в прямоугольных координатах.

Рис. 26. Кривые Кассини в полярных координатах.

Рис.27. Схема двух и трехосной конфигурации формы деформированных пневматических кранцев: наверху опертых на жесткое основание (двухстороннее сжатие) и внизу погруженных в воду (объемное сжатие)

2. Влияния геометрических параметров мягкой оболочки на конфигурацию силовых линий напряженности сжатой рабочей среды.

Отмечено, что напряженность деформированного силового поля сжатой рабочей среды (газа) равна векторной сумме напряженностей каждого из взаимодействующих точечных зарядов (частиц), что графически изображается силовыми линиями равного напряжения.

Авторами установлена закономерность построения и конфигурации силовых линий электростатического силового поля, представляющих геометрическое место точек, для которых произведение удаления от этих точек до концов межфокусного расстояния равно квадрату данного отрезка, аналогичных семейству овалов Кассини (Рис.23,а) /  2 /.

Для плоских задач декартовой системы координат овалы Кассини представлены уравнением четвертого порядка с постоянной величиной межфокусного расстояния (f = const) и переменным соотношением размеров полуосей симметрии:

 (x2 + z2)² - 2f² (x² - z²) - (d4 - f4) = 0                                    (30)

где    d – расстояние от точки на овале до фокуса, см;

f – межфокусное расстояние, см.

При (0 ≤ d ≤ ∞) конфигурация овалов принимает форму от двух точек на концах межфокусного расстояния, до окружности. Преобразованное из плоского в пространственное уравнение (30) принимает вид:

 (x² + y² +z²)² - 2f² (x² +y² - z²) – (d4 – f4) = 0.                        (31)

Установлено, что уравнение (31) может быть преобразовано в так называемое уравнение деформированной сферы, если принять условие переменности межфокусного расстояния в зависимости от соотношения размеров овалов(0 = f £ 2a, 2a = const) (Рис.23,б). Это соответствует условию получения сжатого эллипсоида вращения, как поверхности, образованной равномерным сжатием сферы к ее экватору. Следует отметить, что в зависимости от соотношения констант уравнение (31) принимает вид одной из дифференцируемых поверхностей вращения второго и четвертого порядка (сферы, овалоида, цилиндра, конуса-капли, тороидов) (Рис. 24).

Так, например, одним из предельных состояний нагружения мягкой силовой оболочки (мягкого домкрата) является его начальное рабочее положение, когда работа давления практически полностью компенсируется работой воздействующей нагрузки, распределенной по площади центрального сечения (сферы). При этом собственный объем и высота перемещения груза близка к нулю и ими можно пренебречь; распределенная нагрузка от действия массы груза уравновешена давлением среды по плоскости контакта; боковая поверхность вырождается в линию окружности. То есть условием нагружения являются равенства: (f = R; d = 0; h = z = 0; x = y). После подстановки в уравнение (31) последнее принимает вид поверхности плоского круга:

x² + y² = R².                                                     

(32)

Другим предельным состоянием нагружения мягких домкратов является режим, при котором оболочка напряжена только избыточным давлением рабочего уровня без воздействия массы груза, при этом (f стремится к 0). Конечное уравнение при этом принимает вид канонического уравнения сферы:

(x² + y² + z²) = d² отсюда  x² + y² + z² = d² .                                    (33)

Таким образом, при определенных условиях нагружения можно получить любую из поверхностей вращения меридиана деформированной сферы и соответствующее им уравнение поверхностей.

В результате проведенных исследований сделаны следующие выводы: проектирование мягких оболочек  должно базироваться на четырех основных научных положениях, приведенных в настоящей работе; существует возможность моделирования механизма формообразования мягких оболочек, в том числе в условиях геометрической изменяемости. Установлено, что пузырьковая модель отражает геометрическую, а силовые линии напряженности (овалы Кассини) – физическую модель формообразования мягкой оболочки.

3. Построение меридиан деформированной сферы.

Для построения меридиан деформированной сферы воспользуемся известным графическим способом построения овалов Кассини ( Рис. 27 )

Задавая параметры (f ) и (d ) (см. таблицу)  находим положение фокусов, затем проводим из точки, лежащей на пересечении оси абсцисс с начальной окружностью, луч, который пересекает окружность, описанную из начала координат, с радиусом, равным (d ). Если теперь из фокусов описать окружность радиусами, равными отрезкам от точки пересечения оси абсцисс с начальной окружностью до конца радиуса (d), то точка их пересечения будет принадлежать меридиану деформированной сферы. Меняя направление луча, можно построить любое число точек.

Очевидно , поверхности вращения меридиан деформированной сферы по конфигурации подобны поверхностям вращения овалов Кассини . Однако введение определенности в соотношение размеров продольных и поперечных осей вращения позволяет рассматривать семейство этих кривых в качестве модели для определения закономерностей формоизменения расчетной сферы , например условия складкообразования линзообразных оболочек плоского раскроя и т. п.

Рассмотрим примеры определения уравнения деформированной сферы по заданным условиям нагружения :

1 . При начальном положении (первое предельное состояние) оболочка мягкого домкрата полностью деформирована распределенной внешней нагрузкой. Начальные условия должны удовлетворять параметрам сферической поверхности при (f = R); (d = 0); (h = z = 0); (x = y). Подставляя заданные условия в уравнение ( 34 ) последнее принимает вид плоского круга:

x² + y² = R1² .                                                                         (42)

2. При втором предельном состоянии ( оболочка мягкого домкрата напряжена рабочим давлением газа, нагрузка массы не действует) начальные условия соответствуют равенству (f = 0). При этом конечное уравнение принимает вид сферы:

 (x² + y² + z ²) – d4 = 0  →  x²+ y² + z² = d²                                (43)

3. При третьем предельном состоянии, при котором оболочка мягкого домкрата совершает работу по преодолению воздействия растягивающих усилий сжатой рабочей среды и нагрузки массы, дополнительно сжимающей среду; начальные условия соответствуют одному из промежуточных  условий (0 ≤ d ≤ R), что сохраняет порядок исходного уравнения, а форма оболочки принимает вид тора.

Табл. 6

Значения констант уравнения овалов Кассини при перемещении координат точек фокусов.

Уравнение Кассини: (x² + y² ) – 2f (x² – y² ) = d4 – f4

№№	d, см	f, см	h, см	h´ , см	r, см
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	0                          0 0.5f                  4,5 0,8f                  6,2 0,9f                  6,7 1,0f                  7,0 1,1f                  8,1 f √2                  8,2 f √3                  8,7 2f                     9,0 f√13,6              9,6 f√123               9,9 -                      10,0	10,0     8,9   7,8   7,4   7,0   6,7   5,8   5,0   4,5   2,6   0,9   0	0   2,3 5,0 6,0 7,0 9,8 11,6 - - - - -	-   - - - 0 9,7 11,6 14,2 15,6 18,5 19,7 20,0	10,0    7,8   4,7   3,3   0   -   -   -   -   -   -   -

Примечание: 1. Условие существования деформированных меридианов: (a = R = const, 0 ≤ f ≤ a ).

2. R = a = A1 A2 / 2 = √(f ²+ d² ) = 10 см.

3. h = 2b = K1 K2 = d ²/ f ².

4. h' = 2b' = C1 C2 = 2 √ (d² – f ²).

5. r = B1 B2 / 2 = √ (f ²– d ²).

Рис. 27. Схема построения меридиан деформированной сферы

Следует отметить, что построенные по уравнению деформированной сферы (36) меридианы хорошо вписываются в, так называемые, кривые изменения радиуса меридиана, деформированного без изгиба, полученные с помощью дифференциального уравнения, основанного на условиях безызгибности деформации /13/ :

(3 – R2 / R1) х (d R2 / d Θ) – (R2 d / d Θ) х  (R2 / R1) = 0,   (44)

где R1 и  R2                - соответственно меридиональный и окружной радиусы кривизны оболочки вращения;

Θ – угол приложения тангенциальных усилий.       

Кроме того, по данным работы /5/, меридианы оболочек, построенных с помощью эластик Эйлера, практически совпадают с аналогичными меридианами деформированной сферы. При этом одна из кривых Кассини (лемниската) также является циклоидой и имеет тот же порядок функциональной зависимости, что и эластики (Рис.28).

Таким образом, общие закономерности формоизменения  напряженных оболочечных конструкций под нагрузкой с изменением кривизны овалов Кассини позволяют использовать последние для моделирования процессов формоизменения оболочечных конструкций в процессе их деформирования под нагрузкой.

Модифицированное уравнение (36) не зависит от формы деформированной оболочки и выражается соотношением размеров осей симметрии. Следовательно, для расчета предельных состояний оболочек различных форм достаточно, подставляя значения констант, определять геометрические и физические параметры. Установленные физические и геометрические аналогии позволяют использовать их при проектировании оболочечных конструкций для определения напряженности состояния, мест концентрации напряжений, требующих усиления разгружающими элементами, предполагаемых мест разрушения под нагрузкой, а также областей складкообразования.

Эволюция развития формоизменения оболочки под нагрузкой поля напряжения сил давления рабочей среды позволяет вскрыть механизм разрушения оболочек, а также определить запасы прочности и предельные состояния нагруженных оболочечных конструкций.

Рис. 28 Графики деформированных меридиан (пунктирная линия) и дифференциальных кривых, построенных с помощью эластик Эйлера.

4. Зависимость натяжения мягкой оболочки от соотношения геометрических размеров.

Рассмотрим зависимость натяжения замыкающей оболочки от уровня напряжения рабочей среды (третье положение).

Например, наложение конфигураций линий уровня пары взаимодействующих частиц (точечных зарядов) представляет суммарную линию, имеющую форму сплюснутого или вытянутого овала с соотношением размеров полуосей симметрии соответственно больше или меньше единицы. Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии.

Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.

Определим силу, с которой притягиваются прикоснувшиеся два мыльных пузыря:

F = - DUn / m = 4 p R m T @ 2x2T.                                           (17)

Установлено, что сила притяжения прикоснувшихся пузырей пропорциональна их радиусу и первоначальному межцентровому расстоянию (2R), то есть площади пятна контакта (x2), где (x2 @2R m). Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей показано на рис.20 /19/.   Следует отметить, что при слиянии пузырей образуется мембрана, а слившиеся пузыри теряют сферическую форму и замыкающая оболочка приобретает форму вытянутого овалоида (рис.20,б). Такую форму принимает также цилиндрическая оболочка с соотношением размеров длины к диаметру (1< a/b < SQR(2)).

В соответствии с принятым ранее условием любая полость замкнутой оболочки может быть представлена пузырьковой моделью, то есть блоком соприкасающихся упругих сфер, диаметр которых равен высоте (диаметру) замыкающей оболочки. Для этого впишем пару взаимодействующих упругих сфер в мягкую оболочку с заданным соотношением размеров, затем станем надувать их избыточным давлением газа. Повышение давления в сферах приведет к увеличению межцентрового расстояния, уменьшению диаметра и площади мембраны, перераспределению натяжений пропорционально радиусам кривизны. При увеличении соотношения размеров замыкающей оболочки в пределах (SQR(2) < a/b < 2) произойдет взаимное отталкивание упругих сфер, пропорциональное площади мембраны и уровню давления в них. При этом кривизна замыкающей оболочки между вписанными сферами обратится в нулевую, а в торцах станет равной радиусу вписанных сфер.

Кольцевые и окружные (меридиональные) натяжения будут иметь различную природу: кольцевые образуются при взаимодействии оболочки с упругой сферой (со сжатой средой), а окружные – за счет распора двух вписанных упругих сфер. Следовательно, окружные усилия не зависят от количества вписанных сфер.

Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии.    Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.

Рис. 20. Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей.

(а – сфера, б – цилиндр, в,г – сплюснутый овалоид, д – тор, е – схема складкообразования с помощью уравнения гипоциклоиды)

Условием разрыва среды (полного отрыва сфер) является следующее соотношение размеров  длины к диаметру (a/b = 2), что совпадает с условием складкообразования / 3 / и одноосности нагружения мягкой оболочки. Следует отметить, что мягкие оболочки с соотношением размеров (a/b ≤ 2) относятся к бесскладчатым оболочкам. Если соотношение размеров находится за пределами условия бесскладчатости, то их геометрическая форма –складчатая, что затрудняет их расчет из-за отсутствия определенной начальной формы. Так, напряженное состояние сжатого овалоида (тороида) с соотношением размеров за пределами условия бесскладчатости требует приведения к простым формам и может быть определено с помощью пузырьковой модели.

Представим поверхность сплюснутого овалоида в виде замыкающей, в которую вписаны упругие сферы (см. рис. 20,в). По аналогии  со сдвоенными пузырями устойчивое формобразование «строенных» пузырей возможно при соотношении размеров высоты и диаметра, равном (a/b ≤ SQR(2)). При этом условием разрыва среды, очевидно, будет соотношение  размеров (a/b = 3). Установлено /15/, что это условие является уравнением гипоциклоиды и может быть использовано для определения модели составных форм, а также условия складкообразования. При этом параметры (Rн) и (rн) являются радиусами направляющего и производящего кругов соответственно (Рис. 21).

Количество складок в зависимости от соотношения размеров деформированной мягкой оболочки определяется уравнением гипоциклоиды:

a = b Rн / rн = m b.                                                (18)

На рис. (17,б – д) показаны схемы формообразования мягких оболочек составных форм с помощью модельных пузырей, сопряженных по принципу плотной упаковки.

Так как в соответствии с законом аддитивности /18/ объем тела равен сумме объемов его структурных элементов, то любой объем мягкой оболочки можно представить в виде суммы объемов составляющих упругих сфер пузырьковой модели. Составные оболочки по количеству сопряженных пузырьковых элементов можно разделить на сдвоенные, состоящие из трех, четырех, а также множества (блока) пузырей, взаимодействующих по плоскости (мембране) или в точке. Плоскости, ограниченные замкнутой кривой, плотно и во все стороны могут быть заполнены лишь теми правильными многоугольниками, у которых углы кратны, а сумма углов в точках стыка равна 360°, то есть шести-, треугольниками и квадратом.

Таким образом, объем замыкающего мягкой оболочкой всего многообразия форм, в том числе и деформированных, можно моделировать с помощью пузырьковой модели, которая является геометрической моделью мягких оболочек.

5. Приведение различных форм мягких оболочек к пузырьковой модели.

Установлена аналогия напряжения и формообразования силовых мягких оболочек под действием избыточного давления, как следствие наложения сферически симметричных полей центральных сил давления, образующих пространственную поверхность равного потенциала (равного давления), моделирующую геометрическую форму мягкой оболочки.

Предлагается приведение оболочек различных форм , в том числе составных, к пузырьковой модели, которая представляется в виде упругих шаров, плотно заполняющих внутреннюю полость, причем погонное натяжение поверхности такого шара обратно пропорционально квадрату его радиуса, как тензора напряжения /20/. Это позволит установить связь между геометрическими и физическими параметрами нагружения, упростить расчет, разработать основные принципы конструирования и технологического проектирования пневматических конструкций.

В качестве исходной модели авторами найдена равнонапряженная замкнутая бесскладчатая поверхность непрерывной кривизны – сфероид вращения.

В общем случае это безызгибный овалоид, то есть энергетически равновесная оболочка вращения, деформированная внешними сжимающими усилиями в пределах условия бесскладчатости.

У деформированной оболочки вращения отсутствует определенная геометрическая форма, а значит присутствуют геометрические параметры для расчета поверхности и объема.

Согласно описанию пузырьковой модели, деформированная за пределы этого условия складчатая мягкая оболочка представляет собой поверхность распора плотно упакованных упругих сфер, заключенных между плоскостями опоры и контакта с грузом, диаметр которых равен высоте оболочки. Следовательно, ее боковая поверхность представляет собой полуцилиндрическую поверхность распора, радиус кривизны которой равен половине высоты оболочки, а площадь контакта – суммарной площади граней (центральных сечений) плотно упакованных призм.

Известно, что плоскость, ограниченная замкнутой кривой, равномерно и плотно во все стороны может быть заполнена лишь тремя правильными многоугольниками: шестиугольником, треугольником (как составляющим правильного шестиугольника) и квадратом /20/. У этих многоугольников углы кратны, а сумма углов в стыковочных точках равна 360°. Другие правильные геометрические фигуры, в том числе окружность, при упаковке оставляют зазоры. В табл. 7 даны результаты сравнительного расчета параметров плоских геометрических фигур компактной (плотной) упаковки, приведенных к радиусу окружности, вписанной в полость деформированной мягкой оболочки.

Рис.21. Закономерность формообразования складок деформированных мягких оболочек и кривых гипоциклоид

Табл. 7

Элементы геометрических фигур равной высоты, используемые для плотной упаковки полости деформированной мягкой оболочки (приведенные к радиусу сферы)

Параметры	Сфера	Призма трех-гранная	Призма шести-гранная	Куб
Соотношение сторон	R	a = 3,46 R	c = 1,15 R	b = 2,0 R
Высота	2,0 R	0,57 a	1,73 c	b
Периметр сечения	6,28 R	10,4 R	6,9 R	8,0 R
Площадь сече-ния (централь-ного)	3,14 R2	5,15 R2	3,46 R2	4,0 R2
Поверхность	12,57 R2	20,6 R2	18,8 R2	16,0 R2
Объем	4,18 R3	17,85 R3	6,88 R3	8,0 R3
Площадь сече-ния, приведен-ная к сечению сферы	1,0	1,64	1,1	1,28

Из таблицы видно, что из рассмотренных многогранников пространственное плотное заполнение без просветов наиболее предпочтительно у кубов. Следовательно, исходя из формы реальных мягких оболочек, целесообразно выбирать ту или иную конфигурацию плотной упаковки, которая является подобной форме центрального сечения деформированной оболочки.

Например, для оболочек прямоугольных в плане наиболее плотной является упаковка из вписанных кубов. А у оболочек близких к круглым в плане – из шестигранных призм (сотовая упаковка).

Объемы полостей реальных пневмоконструкций могут быть представлены плотно упакованными упругими сферами. Их моделями являются прямоугольные призмы, длина ребра которых равна высоте деформированной оболочки. Параметры модели плотной упаковки могут быть использованы не только для расчета рабочих характеристик, но и для определения прочностных свойств оболочки под нагрузкой.

Кроме расчета натяжения материала с помощью пузырьковой модели можно определять зоны перенапряжений, зависящие от величины избыточного давления. Эти зоны являются и потенциальными местами разрушения, поэтому должны быть усилены конструктивными способами.

Таким образом, приведение деформированной оболочки к пузырьковой модели, позволяет представить составную форму оболочки в виде ряда равнонапряженных сферических структур, геометрические параметры которых могут быть использованы для расчета работ давления и натяжения при определении силовых параметров пневмоконструкции и номинальной прочности конструкционного материала.

Список литературы

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - М.:Наука, 1980, 976с.

Гегузин Я. Е.  Пузыри. Библиотечка «Квант».- М.: Наука, 1985, - Вып. 46. 176с.

Горелик Б. М., Шальнев О. В. Основы проектирования эластомерных домкратов. Тематический обзор. ЦНИИТЭНефтехим., М., 1994, 117с.

Гуревич В. И. Калинин В. С. Формы оболочек вращения, деформирующихся без изгиба при равномерном давлении. Доклады АН СССР, 1981, 256, №5, с. 1085-1088.

Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции.-Л.: Судостроение.1978.-268с.

Татевский В. М. Теория физико-механических свойств молекул и веществ. – М. : Изд. МГУ, 1987, 239с.

Шальнев О. В., Горелик Б. М. Проектирование напорных мягких оболочечных конструкций с использованием физических и геометрических аналогий. Производство и использование эластомеров.- М.: ЦНИИТЭНефтехим,1994, - №6, с. 15-22.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: Наука, 1981, 104с.