Исследование точности численного интегрирования Research of Accuracy of Numerical Integration

Задание исследования

Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С.

Подробное описание задачи и способы ее решения

Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования [a,b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой).

Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа n. Отношения абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности интеграла.

Построить зависимости количеств итераций от различных величин критерия точности.

Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.

Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.

Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных условиях)

Метод трапеций

, где

Метод Симпсона

, где

Результаты исследований

Таблица и график зависимости количества итераций от различных значений критерия точности

Для

Критерий точности	Количество итераций
-0,1676631	14
-0,1518916	16
-0,0046931	12
-0,0026531	11
-0,0002639	10
-0,0001709	2
-0,0001297	9
-0,0000557	3
-0,000025	8
-0,0000198	4
-0,0000096	5
-0,0000038	6
0	15
0,0000052	7
0,071089	13

Критерий точности	Количество итераций
-0,1127271	16
-0,0750288	15
-0,0540677	14
-0,0021415	12
-0,0005711	11
-0,0000458	9
-0,0000381	2
-0,0000191	3
-0,000008	4
-0,000004	5
-0,0000019	7
-0,0000002	6
0,000005	8
0,0002983	10
0,0164377	13

Критерий точности	Количество итераций
-0,0066709	13
-0,0042367	14
-0,0003561	10
-0,0000016	5
-0,000001	4
0,0000005	3
0,0000006	6
0,0000009	2
0,0000009	7
0,0000223	8
0,000056	9
0,0002782	11
0,0003474	12
0,005293	16
0,0053267	15

Критерий точности	Критерий точности
-61,4469795	12
-5,714047	3
-1,0215755	13
-0,7241433	2
-0,5121117	4
-0,3222643	11
-0,2163614	7
-0,1536629	9
-0,0930261	14
0,0353183	16
0,057059	15
0,1697371	5
0,2025534	10
0,2504728	6
0,6202592	8

Критерий точности	Количество итераций
-0,0119308	16
-0,0007834	13
-0,0000079	3
-0,0000041	4
-0,0000037	7
-0,0000027	5
-0,0000027	6
-0,000002	8
-0,0000016	2
0,0000003	10
0,0000062	9
0,0000385	11
0,0000802	12
0,0005452	15
0,0016689	14

Критерий точности	Количество итераций
-0,0026286	16
-0,0012416	14
-0,0000118	3
-0,0000107	4
-0,0000046	5
-0,0000046	9
-0,0000028	6
-0,0000021	7
-0,0000005	2
0,0000011	10
0,0000018	8
0,0000023	11
0,000058	12
0,0001049	13
0,0027928	15

Таблица и график зависимости значений критерия точности от количества итераций

Для функции

По отношению к предыдущему значению		По отношению к аналитическому значению
Критерий точности	Количество итераций	Критерий точности	Количество итераций
-0,0001709	2	-0,0001932	2
-0,0000557	3	-0,0000629	3
-0,0000198	4	-0,0000224	4
-0,0000096	5	-0,0000108	5
-0,0000038	6	-0,0000043	6
0,0000052	7	0,0000058	7
-0,000025	8	-0,0000283	8
-0,0001297	9	-0,0001466	9
-0,0002639	10	-0,0002983	10
-0,0026531	11	-0,002998	11
-0,0046931	12	-0,0052891	12
0,071089	13	0,0797403	13
-0,1676631	14	-0,2014365	14
0	15	0	15
-0,1518916	16	-0,1518916	16

Для функции

По отношению к предыдущему значению			По отношению к аналитическому значению
Критерий точности	Количество итераций		Критерий точности		Количество итераций
-0,0000381		2		-0,0000666		2
-0,0000191		3		-0,0000335		3
-0,000008		4		-0,0000141		4
-0,000004		5		-0,0000069		5
-0,0000002		6		-0,0000004		6
-0,0000019		7		-0,0000033		7
0,000005		8		0,0000088		8
-0,0000458		9		-0,0000802		9
0,0002983		10		0,000522		10
-0,0005711		11		-0,0009997		11
-0,0021415		12		-0,0037465		12
0,0164377		13		0,0286955		13
-0,0540677		14		-0,0959378		14
-0,0750288		15		-0,1259331		15
-0,1127271		16		-0,1750124		16

Сравнение результатов

Таблица сравнительных результатов

Метод трапеции n=1000000	Метод Симпсона n =1000000	Аналитический результат	Функция	Пределы
4,5051475	4,5240183	4,49980967	f(x)=1/x	0,1…..9
1,7491462	1,7500761	1,791756469	f(x)=1/x*x	0,3…..5
1,9991885	1,9999505	2	f(x)=sin(x)	0…….π
-0,0000512	0,000003	0	f(x)=sin(2*x)	0…….π
0,2857157	0,2856935	0,285714285	f(x)=sin(7*x)	0…....π
0,2222053	0,2222133	0,222222222	f(x)=sin(9*x)	0…....π

Таблица влияния увеличения верхнего предела на точность интегрирования

Аналитическое значение	Практическое значение	Верхний предел	Погрешность
4,49980967	4,5217996	9	-0,02198993
4,605170186	4,624969	10	-0,019798814
4,787491743	4,8039412	12	-0,016449457
4,941642423	4,9557843	14	-0,014141877
5,075173815	5,0875444	16	-0,012370585
5,192956851	5,2039275	18	-0,010970649
5,298317367	5,3082042	20	-0,009886833

Следовательно, увеличение верхнего предела приводит к увеличению точности интегрирования

Текст программы

/* Курсовая работа по информатике

"Исследование точности численного интегрирования"

"Research of Accuracy of Numerical Integration"

Преподаватель:

Студенты: Степанов А.Г.

Черепанов К.А.

Группа: Р-207

*/

# include <stdio.h>

# include <io.h>

# include <stdlib.h>

# include <iostream.h>

# include <string.h>

# include <math.h>

int main ()

{

FILE *fp; /*указатель на поток*/

int n,i,t,j,N;

float a,b,h,Sum[100],x,y,coa;

printf("Research of Accuracy of Numerical Integrationn");

/*Ввод точности вычисления*/

printf("Enter accuracy of calculation n= ");

scanf("%d",&n);

/*Ввод начала интегрирования*/

printf("Enter beginnings of integration= ");

scanf("%f",&a);

/*Ввод предела интегрирования*/

printf("Enter limit of integration= ");

scanf("%f",&b);

 

/*Открытие файла-источника*/

while((fp=fopen("data3.xls","w"))==NULL)

{

puts("Error!!! Can't open file nInput name of filen");

}

/*Ввод количества итераций*/

printf("Enter number of Itteration N= ");

scanf("%d",&N);

/*Вычисление шага интегрирования*/

h=(a+b)/n;

printf("Step=%.3fn",h);

/*******Вычисление интеграла методом трапеций*******/

for(j=1;j<=N;j++)

{

h=(a+b)/(int(pow(2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for(i=0;i<=(int(pow(2,j-1))*n);i++)

{

x=a+i*h;

if(i==0)

t=1;

else

t=2;

y=t*(h/2)*(sin(2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}

if (j>1)

{

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf("Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn",coa,j);

fprintf(fp,"%.7ft",coa);

fprintf(fp,"%dtn",j);

}

}

printf("The sum by a method of trapezes=%.7fn",Sum[1]);

fprintf(fp,"The sum by a method of trapezes=%.7fn",Sum[1]);

/*******Вычисление интеграла методом Симпсона*******/

for(j=1;j<=N;j++)

{

h=(a+b)/(int(pow(2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for(i=0;i<=(int(pow(2,j-1))*n);i++)

{

x=a+i*h;

if(i==0||i==n)

t=1;

else

{

if(i%2==0)

t=2;

else

t=4;

}

y=t*(h/3)*(sin(2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}

if (j>1)

{

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf("Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn",coa,j);

fprintf(fp,"%.7ft",coa);

fprintf(fp,"%dtn",j);

}

}

printf("The sum by a Simpson's method= %.7fn",Sum[1]);

fprintf(fp,"The sum by a Simpson's method=%.7fn",Sum[1]);

scanf("%d",&b);

}