Петровых Н.П., Горбанева Л.В. (кафедра общей физики ХГПУ)

Одним из сложных и недостаточно разработанных вопросов методики физики является методика решения задач на относительность движения. Анализ  специальной литературы и имеющийся практический опыт  убеждают в том, что учащиеся школы и студенты не умеют решать задачи на относительность движения. В методических пособиях предлагается преимущественно логические приемы решения, иллюстрируемые иногда рисунками.

Мы предлагаем способ решения задач на относительность движения, который позволяет конкретизировать представления учащихся и студентов о законе сложения скоростей и перемещений, о понятии неподвижной системы отсчета (НСО) и подвижной системы отсчета (ПСО). Учит определять скорости, перемещения тел относительно различных систем отсчета (СО) и другие величины,  убеждает в относительности скорости и перемещения тел.

Сущность предлагаемого способа решения задач сводится к следующему алгоритму:

Анализ условия задачи, выделение движущихся тел. Краткая запись условия задачи. Определение неподвижной и подвижной системы отсчета (НСО и ПСО), движущегося тела.

Записать закон сложения скоростей или перемещений в векторной форме.

Изобразить графически параметры заданных движений, при этом выбрать начальный момент времени и совместить начало НСО и ПСО.

Отобразить на графике, который строится под первоначальным, изменение величин,  описанных в задаче  со временем.

Сравнение закона сложения скоростей (перемещений) и графика.

Записать закон сложения скоростей (перемещений) в проекциях на оси координат, объединив их в систему (или найти геометрическую сумму путем сложения векторов).

Решить полученную систему уравнений. Подставить в решение общего вида значения величин и произвести вычисления.

На примерах решения типовых задач на относительность движения покажем применение данного способа решения.

Задача № 1.

Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого 80 км/ч, а второго 60 км/ч. Какова скорость второго поезда относительно первого ?

1. Первый и второй поезда движутся относительно Земли с некоторыми скоростями. Скорость первого поезда V, скорость второго V2 (жирным шрифтом обозначены векторные величины).

Дано:                              Решение:

V = 80 км/ч      За НСО примем Землю, за ПСО – первый поезд.

V2 = 60 км/ч      Скорость ПСО относительно НСО – V.

V1 - ?                  Движущимся телом является второй поезд.

                     Скорость движущегося тела относительно НСО – V2.

                     Неизвестная скорость второго поезда относительно первого (ПСО) – V1.

2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда  относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО.

3. Систему координат XY свяжем с Землей (НСО).

 Систему координат X¢ Y¢  параллельную XY свяжем с первым поездом (ПСО)

 В начальный момент времени (t = 0) совместим НСО и ПСО.         

             4. Через t = 1 час положение ПСО (первого поезда) изменится на расстояние, равное 80 км, а второго поезда, относительно НСО окажется на расстоянии 60 км.

 

            5. Соотнесем график и формулу закона сложения скоростей V2 = V + V1. Убеждаемся в том, что обе формы отражения закона совпадают.

            6. Для вычисления скорости второго поезда относительно первого найдем проекции и запишем:    

                                                       V2x = Vx + V1x

                                                                                 V2y = Vy + V1y 

                                                     V2 = V - V1

                                                    -V1 = V2 – V

                                                      V1 = V – V2

                                                      V1 = 80 км/ч -  60 км/ч = 20 км/ч

                          Ответ: скорость второго относительно первого поезда равна 20 км/ч.

Задача №2

Скорость течения реки V= 1,5 м/с. Каков модуль скорости V1 катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью V2 = 2 м/с относительно него.

  1.    Дано:

 V= 1,5 м/с           За НСО примем берег реки,

V2  = 2 м/с             за ПСО – реку (скорость течения реки V),

V - ?                      движущееся тело – катер.

                  2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость катера относительно НСО (берега реки) равна геометрической сумме скорости катера относительно ПСО (течения реки) и скорости течения реки.

                   3. Свяжем НСО с системой координат  XY, а  ПСО с системой координат X`Y`. Ось OX направим вдоль берега, а ось OY поперек реки (O`X` и O`Y` соответственно).

                    4.

                     5. Сравним закон сложения скоростей и графика. Для простоты решения найдем геометрическую сумму векторов скорости.

                     6. Так как полученный треугольник прямоугольный, то

Ответ: модуль скорости катера относительно реки  2,5 м/с.

Задача № 3

Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда ?

1.    Дано: 

V1 =72 км/ч =20 м/с            Так как движение поездов можно считать равномерным,       

V2  = 54 км/ч = 15 м/с          то длину второго поезда можно найти по формуле

l - ?                                        l = V21× t, где V21 – скорость второго поезда относительно                                          первого поезда.    Значит,  для  определения  l  необходимо  найти  V21.

             Примем за НСО Землю, а за ПСО – первый поезд,  движущееся тело – второй поезд.  V2  скорость второго поезда относительно НСО. Скорость ПСО - V1.    

           2. Закон сложения скоростей V2 = V2 1 + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда относительно ПСО (первого поезда) и скорости ПСО (первого поезда).

           3.      4.

 

          5. На графике V2  и  V2 1  направлены в одну сторону, а V1 в противоположную,

               тогда                      -V2 = V1 - V21

         6  V2 1 = V1 + V2

l = (V1 + V2)× t

l = (20 м/с + 15 м/с)× 14 с = 490 м.

Ответ: длина второго поезда 490 м.

Задача  № 4

Катер, двигаясь против течения реки, проплывает около стоящего на якоре буя и встречает там плот. Через 12 минут после встречи катер повернул обратно и догнал плот на расстоянии 800м ниже буя. Найти скорость течения реки.

   Дано:

t = 12 мин = 720с           НСО свяжем с буем, ПСО – плот (движущийся со скоростью

  S = 800 м                         течения реки  V0), движущееся тело – катер.

V0 - ?                                Скорость катера относительно НСО – V, 

                                         а относительно ПСО – V1.

 Закон сложения скоростей для катера, движущегося по течению и против течения реки, в геометрической форме совпадает: V =  V0  +  V1. Скорость катера относительно НСО равна геометрической сумме скорости ПСО (течения реки) и скорости катера относительно ПСО.

 Найдем скорость катера, двигающегося против течения реки

V =  V0  +  V1

- V  = V0  - V1

V =  V1  - V0

Аналогично найдем скорость катера, двигающегося по течению реки

V =  V0  +  V1

V =  V0  +  V1

         Запишем уравнения движения плота и катера:

                          Sпл. = V0 × t

  

                  Sк= S1 - S2 , где S1 – расстояние, пройденное катером по течению,

                                              S2 – расстояние, пройденное катером против течения.

                       Sпл. = V0×t

                                 

                     Sк = -( V1  - V0 ) × t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

Расстояние, пройденное катером от буя до того места, где катер догнал плот,  равно расстоянию пройденному плотом,  то есть  Sпл  = Sк, то

                       V0 × t  =  -( V1  - V0 ) × t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

                       V0 × t = -- V1× t1 + V0 × t1 + V0 × t + V1 × t – V0  × t1  -  V1× t1

                       V1× t = 2 V1× t1    

                       t = 2 t1

                               

Ответ: скорость течения реки  0,55 м/с.

Задача  №  5

Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины ? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли ?

Дано:

l = 2 км.                     Примем за НСО  землю,

           V1 = 40км/ч                 за ПСО – колонну, движущееся тело – мотоциклиста.

          V2  = 60 км/ч                Время, за которое мотоциклист догонит головную

t` - ? Sм.з. - ?               машину , где V2 1 – скорость  мотоциклиста

относительно ПСО (колонны)..

           2. Закон сложения скоростей для данной задачи запишем в                                                 виде:  V2 = V1 + V2 1. Скорость мотоциклиста относительно НСО равна геометрической сумме скорости колонны и скорости мотоциклиста относительно колонны.

3. Отразим на рисунке – чертеже процесс, описанный в условии задачи.

 Обозначим колонну прямоугольником, и совместим её конец (начало ПСО) с началом НСО в начальный момент времени  (t = 0). 

Укажем скорости V1 и V2 (рис. а).

4. Отразим геометрически закон сложения скоростей, выяснив, что произойдет через 1 час.

5. Сравним чертеж и формулу закона. Убедимся, что V2 = V1 + V2 1 соответствует геометрическому чертежу (рис. б).

6. Найдем проекции скоростей и вычислим время t` .

V2 = V1 + V2 1

V2 1 = V2 - V 1

Определить путь можно алгебраически по известной формуле ( S.=V× t) и проиллюстрировать чертежом (рис. в, г ) при t = t1=0,1 ч.

По закону сложения перемещений Sм.з = Sк.з. + Sм.к

где Sм.з – перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно Земли

Sм.к. -  перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно колонны,

Sк.з. – перемещение колонны за 0,1 часа относительно Земли.

Произведя вычисления  Sм.з = 6 км.

Ответ: через 0,1 часа мотоциклист достигнет головной машины колонны, при этом пройдет путь 6 км.

Задача № 6 

Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору ?

Дано:

        tэ.з. = 1 мин. =60 с.         Примем за НСО – Землю, за ПСО – эскалатор,

        tч.э. = 3 мин. = 180 с       движущееся тело – человек.

        tч.з. – ?                             tэ.з. – время движения эскалатора относительно НСО,

                                           tч.э. – время движения пассажира относительно ПСО,

                                              tч.з. – время движения пассажира относительно НСО.

2. Запишем закон сложения скоростей  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э..  Скорость человека относительно НСО (идущего вверх по движущемуся эскалатору) равна геометрической сумме скорости эскалатора относительно НСО и скорости человека относительно ПСО ( неподвижному эскалатору).

3.

4.                   

 5.  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.        

                 Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.

  - скорость движения человека относительно эскалатора,     - скорость движения эскалатора относительно Земли,  - скорость движения человека относительно Земли. Подставив в полученную формулу,  получим:

                                  

Так как путь, пройденный человеком один и тот же, то

,      ,    

        Ответ: пассажир идущий вверх по движущемуся эскалатору поднимется за 45 с.

Примерные вопросы к учащимся (студентам) по анализу и решению задач на относительность можно сформулировать следующим образом.

Движение каких тел рассматривается в задаче ?

Что известно о движущихся телах ?

С какими телами можно связать подвижную и неподвижную системы отсчета ?

Какой момент времени можно принять за начальный ?

Как на чертеже отразить начальные условия состояния тел ?

Как записать закон сложения скоростей (или перемещений) для данной задачи ?

В какой точке чертежа (графика) будет находится начало отсчета подвижной системы относительно неподвижной через единицу времени (если речь идет о скоростях движения) ?

Как это отразить на чертеже ?

В какой точке чертежа будет находится движущееся тело относительно НСО и ПСО ?

Как геометрически отразить процесс перемещения тел за единицу времени?

Сравните геометрический чертеж с законом сложения скоростей ? Сделайте вывод.

Найдите проекции скоростей, проведите вычисления искомой величины.

При необходимости можно напомнить основные формулы перемещения и координатный метод решения задач.

Данная статья является исходным моментом для разработки методики решения задач на относительность движения. Дальнейшее её развитие возможно на пути рассмотрения движения тел относительно разных систем отсчета.

Материал статьи может быть использован студентами физмат факультетов и учителями физики базовой школы.