Рефетека.ру / Математика

Статья: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений

Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.

В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.

Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта.

1.  Области,  функциональное пространство, полиномиальные последовательности

Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.1)

круговая луночка S конформно отображается в бесконечную полосуКубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке.

Обозначив обратное к (1.1) преобразование как  =(x,y),  =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно определяется заданием 1 и , т.е. S=S(1,). Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,)) обозначим как u(,).

В качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj()  u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d0. Совокупность всех таких элементов u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное произведение, положив:Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке. Здесь (x0,y0) - произвольная внутренняя точка из S.

Рассмотрим функцию комплексного переменного z = x+iy:   Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке.

Функции u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют следующий вид:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеКубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.2)

Используя формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.3)

Интегралы в (1.3), очевидно, сходятся при a(-,), b2.

Функции u0(,) и v0(,) удовлетворяют условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки  из интервала (0,2). Значит, для такого  и вещественного t, удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют место разложения:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.4)

Здесь и далее под k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,.... Коэффициенты uk(,), vk(,) этих разложений при k1 обладают рядом интересных свойств.

1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.5)

2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.6)

3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.7)

Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.

4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.

5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.

2.  Ортогонализация последовательности полиномов

Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(2.1)

g№0. Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеи Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке. Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают следующие формулы:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке,  Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

где  =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.

3.  Канонический базис

Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.

Вектор-столбец Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкебесконечной высоты с координатами:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке,     Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке,     Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, где        Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке,   Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(3.1)

для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].

Ортонормированному базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, столбцы которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке- это нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] известно, чтоКубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеразложима в произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично изометричен в l2, второй  - диагонален с положительной возрастающей последовательностью диагональных элементов {j}, а третий  - изометричен в l2, т.е.

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Учитывая параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеудобно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(3.2)

где Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке   Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(3.3)

Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.

4.  Приближенное интегрирование гармонических функций

В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов.

Теорема 4.1. Существует единственная последовательность Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкетакая, что для любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное произведение Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеконечно и при этом

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(4.1)

Последовательность Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкевычисляется по формулам:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(4.2)

где Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкебазис в W(S).

Это утверждение легко доказать, если разбить функцию u(x,y) на две части - четную и нечетную по y и разложить каждую в ряд по каноническому базису W(S). Далее, учитывая определение (3.1) координат вектор-столбца Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, производя необходимые преобразования с суммами и учитывая (3.2)-(3.3), получим формулы (4.1).

В формулировке теоремы 4.1 мы вывели представления для коэффициентов D1j и D2j, которые используют интегралы по луночке S. Численное вычисление множителя Al сводится к результатам следующего утверждения. Но сначала условимся об обозначениях.

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(4.2)

Теорема 4.2. Интеграл от полинома uk+1, взятый по луночке S = S(1,2-1), совпадает с приращением функции Qk() на отрезке [1,2], а от полинома vk+1, взятый по той же луночке, равен нулю.

Здесь отметим, что приведенное в §4 приложение системы полиномов является не единственным. Например, ее можно применять в задачах, использующих альтернирующий метод Шварца. Также с их помощью можно находить решения в составных областях на плоскости.

Список литературы

Axler S., Bourdon P., Ramey~W. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.

Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения.М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. 360 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1961. 523 с.

Васкевич В.Л. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонической функции // Теоретические и вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО РАН, том 24. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1994. С. 93-126.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/


Рефетека ру refoteka@gmail.com