ВВЕДЕНИЕ

Современная физика рассматривает два типа придельных процессов : Гаусовские и не-Гауссовские. Соответственно, мы делим исследуемые проблемы на две ветви. Первый класс включает слабо флуктуирующие процессы. Во втором случае рассматриваются сильно флуктуирующие. Такой подход чрезвычайно полезный и обеспечивает большие возможности для точных решений. Это позволяет получать оптимальные математические модели и решать проблемы количественных исследований, как для слабо флуктуирующих монофазных так и для сильно флуктуирующих многофазных систем. Этого достаточно для физического процесса и математической модели, которая может быть получена на его основании.
Последние годы засвидетельствовали достаточно высокую активность в исследовании сильно флуктуирующих не-Гаусовских процессов, как в теоретическом так и в практическом аспектах. Основная особенность подобных реальных объектов - масштабная инвариантность в все уменьшающихся доменах. Поэтому, первая надежда -что масштабная инвариантность или самоподобность могли бы открыть новые направления, в конечном счете ведущие к более глубокому проникновению в свойства изучаемых событий. Имеются два пути изучения сильно флуктуирующих динамических систем. Первый включает анализ поведения решения для набора дифференциально-разностных уравнений. Второй подход состоит в том, чтобы изучить экспериментальное или теоретическое поведение сильно флуктуирующих динамических переменных (или, возможно, некоторая функция ряда динамических переменных) все время уменьшающихся элементов фазового пространства. В этой работе используется второй путь.

Теория факториальных моментов

Пусть у нас имеется N событий в которых исследуемая величина (?) сильно флуктуирует (Рис.1). Этот процесс может быть описан путем деления соответствующего интервала ? на M (для определенности) интервалов величиной
?=?/M (1)

Пусть p1...pM вероятность нахождения частицы в соответствующем интервале. Флуктуация ? описывается вероятностным распределением:

P (p1... PM) dp1... dpM (2)

Распределение (2) - сложное многомерное распределение, которое трудно изучать непосредственно. Эта проблема может быть решена путем изучения нормированных моментов этого распределения, определенных как:

Где последняя часть уравнения - нормирующий член.
Распределение P (p1... PM) в (2) - теоретическое. Оно не может быть получено из непосредственных измерений. На эксперименте мы имеем дело с распределением величин n1... nM

(4)
Где Q(n1... nM) измеряемое распределение и П статистический шум (определяемый с помощью распределения Пуассона) который ”размазывает” P (p1...pM) (теоретическое распределение), особенно для малого числа измерений.

“Динамическая” - в противоположность “статистической” - интерпретация флуктуации получила свое применение в методе факториальных моментов, в котором нормированные факториальные моменты теоретического распределения приравниваются к величинам нормированных факториавльных моментов экспериментального распределения.Этот метод предложили A. Bialas и R. Peschansky.



Где

(6)

В формуле (6) факториальный момент, показатель q показывает свойства корреляции порядка q для данного распределения.
На эксперименте распределение изучается для последовательности доменов фазового пространства ? путем последовательного деления первоначального интервала ? на М равных частей.
?=?/M
Для достижения статистической точности факториальных моментов Fq’ые индивидуальных ячеек определенные в формуле (6), усреднены по событиям и по М. ячейкам (“ вертикальный анализ ”). Вертикально (по событиям) усредненные моменты могут быть определены как двойное среднее число:
(7)
Где nm (m=1,...,M)- множественность того,бина и
средняя множественность в бине m.
В этой работе мы использовали модифицированный метод вертикального усреднения в котором моменты усреднены по начальным точкам расположения начальной области ?.
(8)
где Nstep число малых ( step/?

Таким образом факториальные моменты выявляют динамические флуктуации и устраняют, или уменьшают насколько это возможно, статистические флуктуации- шум- возникающие из-за ограниченности числа частиц nm в попадающих в исследуемую ячейку m.

Можно показать, что для все время уменьшающихся доменов фазового пространства ? вплоть до разрешающей способности, зависимость среднего факториального момента от размеров бинов фазового пространства подчиняется степенному закону:
(9)

для фрактального распределения флуктуаций с перемежающейся вероятностью. Положительная константа ?(q) называется показатель интермиттенси. Она характеризует силу эффекта.
Наоборот если рассматриваемое распределение гладкое(плотность вероятности конечная, на пример гаусоподобное распределение)

(10)

Практические прикладные программы

Физика элементарных частиц дает хорошую возможность подтвердить на эксперименте метод факториальных моментов. Было установлено, что имеется две разновидности PT - распределений в нуклон-ядерных и ядерно-ядерных взаимодействиях в TeV области энергии. Изучаемое поведение показателя интермитенси в дополнение к предыдущим результатам по PT распределениям дает нам сильное указание на существование второго класса взаимодействий с большим PT для всех вторичных частиц в событиях.
. Анализ измеренных величин поперечных импульсов каждого ? - кванта во взаимодействиях с ? E > 10 TeV показывает что 7 из них совершенно отличаются от остальных. Поперечные импульсы большинства ? - квантов в этих 7 взаимодействиях были в несколько раз выше чем обычный средний поперечный импульс вторичных ? - квантов, т.е., ~ 0.2 GeV/c.
Интегральное распределение поперечных импульсов всех вторичных ? - квантов дано на рис.2. Как видно из рисунка это распределение ясно состоит из двух экспонент:

N?( >PT? ) = A1 exp( PT?/P01 ) + A2 exp( PT? /P02 ) (4)

Для первой ветви ( обычные взаимодействия ) P01 > ~ 0.2 GeV/c. ; для второй ветви, напротив, P02 > 0,8 ГэВ/c. В этих 7 “особых” взаимодействиях большинство надпороговых ? - квантов имеют поперечный импульс PT? ? 0.5 GeV/c. Поэтому, “особые” взаимодействия отличаются от обычных не тем, что имеют один или два ? - кванта с очень большими PT? (что, в принципе также может вести к большим ), но имеют подавляющее большинство ? - квантов со сравнительно большими значениями PT.
Рис.2 также показывает, что отличие в характеристиках между этими двумя ветвями так велико, что его невозможно объяснить ошибками в оценке энергии E? или потерей подпороговых ? квантов, или статистическими флуктуациями.


Результаты

Поперечные импульсы для обоих взаимодействий (с большим и малым PT) были рассчитаны методом факториальных моментов. Из-за удобства и подобных свойств между поперечным импульсом и псевдоскоростью в вычислениях,была использована псевдоскорость вместо поперечного импульса. (Первоначальная область была 4.0 и M=40.) В этой работе были применены компьютерные вычисления. Результаты этого представлены в Таблице 1 и в Рисунке 3. Факториальные моменты вычислены для порядка q = от 2 до 8. Результаты этой работы представлены в таблице 1 и рисунке 3.Были вычислены факториальные моменты порядка q от 2 до 8.Из рис.3 и таблицы 1 можно видеть, что для событий с малыми PT, ln Fq растет с ростом -ln ?? для всех порядков.Для событий с большими PT не наблюдается сильная ?? зависимость в высоких порядках для них наклон гораздо меньше. Все ?q значительно больше для групп событий с малыми PT. Сравнение данных о наклонах ?q для двух видов взаимодействий представлены на рис.3. Для событий с малыми PT данные согласуются с перемежающимся поведением т.е. со степенным законом (9).

Taбл. 1. Наклоны ?q отфитированные в интервале 0.1 ? ln ?? ? 1.0
для событий с большим и малым PT
?4.0

============================================
события с малыми PT события с большими PT
_________________________________________________________
q ?q ?q
============================================

2 0.100 ? 0.004 0.068 ? 0.005
3 0.260 ? 0.014 0.095 ? 0.010
4 0.310 ? 0.027 0.094 ? 0.016
5 0.51 ? 0.05 0.08 ? 0.02
6 0.66 ? 0.06 0.10 ? 0.03
7 0.77 ? 0.09 0.11 ? 0.04
8 1.29 ? 0.11 0.13 ? 0.06


Заключение

Факториальные моменты выявляют динамическую флуктуацию и подавляют статистический шум. Они позволяют нам обнаруживать динамику процесса из экспериментальных измерений. С помощью этого метода мы можем исследовать корреляции высоких порядков (до 8 порядка в настоящей работе). На основе этого подхода мы можем говорить, что имеется сильное указание относительно существования второго класса взаимодействий с большим PT вторичных частиц. В этой проблеме корреляции высоких порядков очень важны.
В адрон-адронных столкновениях в настоящее время при коллайдерных энергиях большой вклад в поведение скейлинга обеспечивают Бозе-Эйнштейновские корреляции, но не от обычного статистического источника.
Имеется ясное указание на PT зависимость процессов интермиттенси. Данные анализа для всех частиц и для частиц с PT больше или меньше чем 0.3/0.15 ГэВ/c в тех же самых событиях обнаружили сильную чувствительность к поперечному импульсу. Результаты показывают, что наклоны ?q увеличиваются от 2 до 4 раз, когда ограничиваются анализом треков с PT < 0.15 ГэВ/c. Подобный, но меньший эффект наблюдается, если обрезание PT сдвинуть до 0.30 ГэВ/c.>
Наши результаты для событий с малыми PT соответствуют степенному закону (9). Напротив, для событий с большим PT, выражение (10) выглядит как очень многообещающий кандидат поведения показателей интермиттенси.