Реферат: Лекции Математические методы исследования экономики
Лекия 1
Всегда и во всех сферах своей деятельности человек принимал
решения. Важная область принятия решений связана с производством.
Чем больше объем производства, тем труднее принять решение и,
следовательно, легче допусить ошибку. Возниает естественный
вопрос: нельзя ли во избежание таких ошибок использовать ЭВМ ?
Ответ на этот вопрос дает наука, называемая кибернетика.
Кибернетика (произошло от греческого "kybernetike" - искусство
управления) - наука об общих законах получения, хранения, передачи
и переработки информации.
Важнейшей отраслю кибернетики является экономическая кибернетика
- наука, занимающаяся приложениемидей и методов кибернетики к
экономическим системам.
Экономическая кибернетика использует совокупность методов
исследования процессов управления в экономике, включая экономико-
математические методы.
В настоящее время применение ЭВМ в управлении производством
достигло больших масштабов. Однако, в большинстве случаев с помощью
ЭВМ решают так называемые рутинные задачи, то есть задачи, связанные
с обработкой различных данных, которые до применения ЭВМ решались так
же, но вручную. Другой класс задач, которые могут быть решены с
помощью ЭВМ - это задачи принятия решений. Чтобы использовать ЭВМ для
принятия решений, необходимо составить математическую модель.
Так линеобходимо применение ЭВМ при принятии решений ?
Возможности человека достаточно разнообразны. Если их упорядочить,
то можно выделить два вида: физические и умственные.
Так уж устроен человек, что того, чем он обладает, ему мало. И
начинается бесконечный процесс увеличения его возможностей. Чтобы
больше поднять, появляется одно из первых изобретений - рычаг, чтобы
легче перемещать груз - колесо. В этих орудиях пока еще используется
только энергия самого человека. Со временем начинается применение
внешних источников энергии: пороха, пара, электричества, атомной
энергии. Невозможно оценить, насколько используемая энергия внешних
источников превышает сегодня физические возможности человека.
Что же касается умственных способностей человека, то, как говорится,
каждый недоволен своим состоянием, но доволен своим умом.
А можно ли сделать человека умнее, чем он есть ? Чтобы ответить на
этот вопрос, следует уточнить, что вся интеллектуальная деятельность
человека может быть подразделена на формализуемую и неформализуемую.
Формализуемой называют такую деятельность, которую выполняют по
определенным правилам. Например, выполнение расчетов, поиск в
справочниках, графическаие работы, несомненно могут быть поручены
ЭВМ. И как все, что может делать ЭВМ, она это делает лучше, то есть
быстрее и качественнее, чем человек.
Неформализуемой называют такую деятельность, которая происходит с
применением каких-либо неизвестныхы нам правил. Мышление,
соображение, интуиция, здравый смысл - мы пока еще не знаем, что это
такое, и естественно, все это нельзя поручить ЭВМ, хотя бы потому,
что мы просто не знаем, что поручать, какую задачу поставить перед
ЭВМ.
Разновидностью умственной деятельности является принятие решений.
Принято считать, что принятие решений относится к неформализуемой
деятельности. Однако это не всегда так. С одной стороны, мы не
знаем, как мы принимаем решение. И объяснеие одних слов с помощью
других типа "принимаем решение с помощью здравого смысла" ничего не
дает. С другой стороны, значительное число задач принятия решений
может быть формализовано. Одним из видов задач принятия решений,
которые могут быть формализованы, являются задачи принятия
оптимальных решений, или задачи оптимизации. Решение задачи
оптимизации производится с помощью математических моделей и
применения вычислительной техники.
Современные ЭВМ отвечают самым высоким требованиям. Они способны
выполнять миллионы операций в секунду, в их памяти могут быть все
необходимые сведения, комбинация дисплей-клавиатура обеспечивает
диалог человека и ЭВМ. Однако не следует смешивать успехи в создании
ЭВМ с достижениями в области их применения. По сути, все что может
ЭВМ - это по заданной человеком программе обеспечить преобразование
исходных данных в результат. Надо четко себе представлять, что ЭВМ
решения не принимает и принимать не может. Решение может принимать
только человек-руководитель, наделенный для этого определенными
правами. Но для грамотного руководителя ЭВМ является великолным
помощником, способным выработать и предложить набор самых различных
вариантов решений. А из этого набора человек выберет тот вариант
который с его точки зрения окажется более пригодным. Конечно, далеко
не все задачи принятия решений можно решить с помощью ЭВМ. Тем не
менее, даже если решение задачи на ЭВМ и не заканчивается полным
успехом, то все равно оказывается полезным, так как способствует
более глубокому пониманию этой задачи и более строгой ее постановке.
Чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо.
Подумал и решил. Человек, хорошо или плохо, решает все возникающие
перед ним задачи. Правда никаких гарантий правильности при этом нет.
ЭВМ же никаких решений не принимает, а только помогает найти
варианты решений. Данный процесс состоит из следующих этапов:
1) Выбор задачи.
Решение задачи, особенно достаточно сложной - достаточно трудное
дело, требующее много времени. И если задача выбрана неудачно, то
это может привести к потере времени и разочарованию в применении ЭВМ
для принятия решений. Каким же основным требованиям должна
удовлетворять задача ?
А. Должно существовать как минимум один вариант ее решения, ведь
если вариантов решения нет, значит выбирать не из чего.
Б. Надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть
наилучшим, ведь если мы не знаем чего хотим, ЭВМ помочь нам выбрать
наилучшее решение не сможет.
Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой.
Необходимо четко сформулировать задачу на обычном языке, выделить
цель исследования, указать ограничения , поставить основные вопросы
на которые мы хотим получить ответы в результате решения задачи.
Здесь следует выделить наиболее существенные черты экономического
объекта, важнейшие зависимости, которые мы хотим учесть при
построении модели. Формируются некоторые гипотезы развитиця объекта
исследования, изучаются выделеные зависимости и соотношения.
Когда выбирается задача и производится ее содержательная постановка,
приходится иметь дело со специалистами в предметной области
(инженерами, технологами, конструкторами и.т.д.). Эти специалисты,
как правило, прекрасно знают свой предмет, но не всегда имеют
представление о том, что требуется для решения задачи на ЭВМ.
Поэтому, содержательная постановка задачи зачастую оказывается
перенасыщенной сведениями, которые совершенно излишни для работы на
ЭВМ.
2) Составление модели
Под экономико-математической моделью понимается математическое
описание исследуемого экономического объекта или процесса, при
котором экономические закономерности выражены в абстрактном виде с
помощью математических соотношений.
Основные принципы составления модели сводятся к следующим
двум концепциям:
1. При формулировании задачи необходимо достаточно широко
охватить моделируемое явление. В противном случае модель не
даст глобального оптимума и не будет отражатьсуть дела.
Опасность состоит в том, что оптимизация одной частиможет
осуществляться за счет других и в ущерб общей организации.
2. Модель должна быть настолько проста, насколько это возможно.
Модель должна быть такова, чтобы ее можно было оценить, проверить
и понять, а результаты полученные из модели должны быть ясны как
ее создателю, так и лицу, принимающему решение.
На практике эти концепции часто вступают в конфликт, прежде всего
из-за того, что в сбор и ввод данных, проверку ошибок и
интерпретацию результатов включается человеческий элемент, что
ограничивает размеры модели, котораяможет быть проанализирована
удовлетворительно. Размеры модели используются как лимитирующий
фактор, и если мы хотим увеличить широту охвата, то приходится
уменьшать детализацию и наоборот.
Введем понятие иерархии моделей, гдте широта охвата
увеличивается, а детализация уменьшается по мере того, как мы
переходим на более высокие уровни иерархии. На более высоких
уровнях в свою очередь формируются ограничения и цели для более
низких уровней.
рис.Иерархия моделей корпорации
? увеличение ????????????????????????????Планирование
?широты?ОБЩАЯ МОДЕЛЬ КОРПОРАЦИИ ?корпорации в
?охвата????????????????????????????целом
? ???????????????????????????
???????????????????????????
М о?д е л и п?р е д п р и я?т и йСреднесрочное
???????????????????????? планирование
? ???????
?увеличение ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
?детализации???? ???? ???? ???? ??? ???? ????Краткосрочное
?Модели подразделений планирование
производства
Календарное
планирование
При построении модели необходимо учитывать также и временой аспект:
горизонт планирования в основном увеличивается с ростом иерархии.
Если модель долгосрочного планирования всей корпорации может
содержать моло каждодневных текущих деталей то модель планирования
производства отдельного подразделеия состоит в основном из таких
деталей.
При формулировании задачи необходимо учитывать следующие три
аспекта:
1) Исследуемые факторы: Цели исследования определены довольно
свободно и в большой степени зависят от того, что включено в
модель. В этом отношении Легче инженерам, так как исследуемые
факторы у них обычно стандартны, а целевая функция выражается в
терминах максимума дохода, минимума затрат или , возможно,
минимума потребления какого-нибудь ресурса. В то же врыемя
социологи, к примеру, обычно задаютсяцелью "общественной
полезности" или в этом роде и оказываются в сложном положении,
когда им приходится приписывать определенную "полезность"
различным действиям, выражая ее в математической форме.
2) Физические границы: Пространственные аспекты исследования
требуют детального рассмотрения. Если производство сосредоточено
более чем в одной точке, то необходимо учесть в модели
соответствующие распределительные процессы. Эти процессы могут
включать складирование, транспортировку, а также задачи
календарного планирования иещения оборудования.
3) Временные границы: Временные аспекты исследования приводят к
сдерьезной дилемме. Обычно горизонт планирования хорошо известен,
но надо сделать выбор: либо моделировать систему в динамике, с
тем, чтобы получить временные графики, либо моделировать
статическое функционирование в определенный момент времени.
вЕсли моделируется динамический (многоэтапный) процесс, то
размеры модели увеличиваются соответственно числу рассматриваемых
приодов времени (этапов). Такие модели обычно идейно просты, так
что основная трудность заключается скорее в возможности решить
задачу на ЭВМ за приемлемое время, чем в умении интерпретировать
большой объем выходных данных. с Зачастую бывает достаточно
построить модель системы в какой-то заданный момент времени,
например в фиксированный год, месяц, день, а затем повторять
расчеты через определенные промежутки времени. Вообще, наличие
ресурсов в динамической модели часто оценивается приближенно и
определяется факторами, выходящими за рамки модели. Поэтому
необходимо тщательно проанализировать, действительно ли необходимо
знать зависимость от времени изменения характеристик модели, или
тот же результат можно получить, повторяя статические расчеты для
ряда различных фиксированных моментов.
3) Составление алгоритма.
Алгоритм - это конечный набор правил, позволяющих чисто мехаически
решать любую конкретную задачу из некоторого класса одотипных
задач. При этом подразумевается:
а. - исходные данные могут изменяться в определеных пределах:
{массовость алгоритма}
б. - процесс применения правил к исходным данным (путь решения
задачи) определен однозначно: {детерминированность алгоритма}
в. - на каждом шаге процесса применения правил известно, что
считать результатом этого процесса:{результативность
алгоритма}
Если модель описывает зависимость между исходными данными и
искомыми величинами, то алгоритм представляет собой
последовательость действий, которые надо выполнить, чтобы
от исходных данных перейти к искомым величинам.
Удобной формой записи алгоритма является блок схема. Она не
только достаточно наглядно описывает алгоритм, но и является
основой для составления программы. Каждый класс математических
моделей имеет свой метод решения, который реализуется в алгоритме.
Поэтому очень важной является классификация задач по виду
математической модели. При таком подходе задачи, различные по
содержанию, можно решать с помощью одного и того же алгоритма.
Алгоритмы задач принятия решений, как правило, настолько сложны,
что без применения ЭВМ реализовать их практически невозможно.
4) Составление программы.
Алгоритм записывают с помощью обычных математических символов. Для
того, чтобы он мог быть прочитан ЭВМ необходимо составить
программу. Программа - это описание алгоритма решения задачи,
заданное на языке ЭВМ. Алгоритмы и программы объединяются понятием
"математическое обеспечение". В настоящее время затраты на
математическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости
ЭВМ, и постоянно происходит дальнейшее относительное удорожание
математического обеспечения. Уже сегодня предметом приобретения
является именно математическое обеспечение, а сама ЭВМ лишь тарой,
упаковкой для него.
Далеко не для каждой задачи необходимо составлять индивидуальную
программу. На сегодняшний день созданы мощные современные
программные средства - пакеты прикладных программ ( ППП ).
ППП - это объединение модели, алгоритма и программы.
Зачастую, к задаче можно подобрать готовый пакет, который
прекрасно работает, решает многие задач, среди которых можно
найти и наши. При таком подходе многие задачи будут решены
достаточно быстро, ведь не надо заниматься программированием.
Если нельзя использовать ППП для решения задачи без изменения
его или модели, то нужно либо модель подогнать под вход ППП,
либо доработать вход ППП, чтобы в него можно было ввести модель.
Такую процедуру называют адаптацией. Если подходящий ППП находится
в памяти ЭВМ, то работа пользователя заключается в том, чтобы
ввести необходимые искомые данные и получить требуемый результат.
5) Ввод исходных данных.
Прежде чем ввести исходные данные в ЭВМ, их, естественно,
необходимо собрать. Причем не все имеющиеся на производстве
исходные данные, как это часто пытаются делать, а лишь те, которые
входят в математическую модель. Следовательно, сбор исходных данных
не только целесообразно, но и необходимо производить лишь после
того, как будет известна математическая модель. Имея программу и
вводя в ЭВМ исходные данные, мы получим решение задачи.
6) Анализ полученного решения
К сожалению достаточно часто математическое моделирование
смешивают с одноразовым решением конкретной задачи с начальными,
зачастую недостоверными данными. Для успешного управления сложными
объектами необходимо постоянно перестраивать модель на ЭВМ,
корректируя исходные данные с учетом изменившейся обстановки.
Нецелесообразно тратить время и средства на составление
математической модели, чтобы по ней выполнить один единственный
расчет. Экономико-математическая модель является прекрасным
средством получения ответов на широкий круг росов, возникающих
при планировании, проектировании и в ходе производства. ЭММ может
стать надежным помощником при принятии каждодневных решений,
возникающих в ходе оперативного управления производством.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БЛОК-СХЕМ
-----------------------
Физическая природа моделируемой системы может быть представлена
с помощью блок-схемы. Простой пример - предыдущая блок-схема,
хотя она недостаточно подробна.
Выделим основные составляющие блок схемы:
1) Прямыми линиями представлены материальные потоки,
характеризующиеся определенными свойствами. Это не обязаельно
должны быть потоки какого-то физического вещества; таким же
образом могут быть представлены, например, потоки информации,
денег. Если два материальных потока характеризуются разными
свойствами и эти различия существенны для модели, то мы должны
изобразить их разными линиями.
2) Прямоугольниками представлены блки предприятия и
оборудование, или, в более общем случае, подсистемы, которые
имеют свое определенное назначение. Характеристики потоков
меняются, а блоки являются точками входа и выхода для множеств
линий, представляющих потоки.
3) Принято, что общее направление движения потоков происходит
слева направо. Таким образом, в блок-схеме, описывающей
производственный процесс, поступающее сырье изображено стрелками
входа в левой части блок-схемы, а конечные потоки - линиями,
заканчивающимися справа в столбцах, ыотвечающих конечным
продуктам. Такие столбцы особенно удобны, когда конечный продукт
получается соединением нескольких потоков, как мы это увидим в
нашем примере.
ОПИСАТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
------------------------
Эти ограничения описывают функционирование исследуемой системы.
Они представляют особую группу балансовых уравнений, связанных с
характеристиками отдельных блоков, такими как масса, энергия,
затраты.
Тот факт, что в модели ЛП балансовые уравнения должны быть
линейными, исключает возможность представления таких принципиально
нелинейных зависимостей, как сложные химические реакц ии. Однако те
изменения условий функционирования, которые допускают линейное
описание (хотя бы приближенно) могут быть учтены в модели.
Балансовые соотношения могут быть введены для какой-то законченной
части блок-схемы, например для отдельного блока; обычно они
выписываются для каждого технологичедского потока, который в
блок-схеме изображается линией. Количество вещества, полученного,
может быть, более чем из одного блока, входящего в поток, равно
количеству этого вещества, выходящего из потока (и поступающего
как сырье, возможно, более, чем в один блок).
В статических (одноэтапных) моделях такие соотношения можно
представить в виде: - вход + выход = 0
Динамический (многоэтапный) процесс описывается соотношениями:
- вход + выход + накопления = 0, где под накоплениями понимается
чистый прирост за рассматриваемый период.
Пусть K потоков входит в какой-то блок, и Xk, k=1...K, количество
сырья , передаваемого в блок каждым потоком.
Пусть также из каждой единицы k-го сырья в блоке производится
количество Aik какого-то i-го продукта. Тогда общее количество
произведенного продукта определится формулой: E Aik*Xk .
Предположим далее, что этот продукт сам поступает на вход
какого-то только одного блока в количестве равном Xi . Тогда
балансовое соотношение (строка i для потока этого продукта имеет
вид: - E Aik*Xk + 1.0Xj = 0(2.2)
Каждый поток состоит из продуктов, произведенных блоками, и сырья
и соединяет различные блоки. Тогда при составлении балансовых
соотношений потоков предполагается следующее:
1. Для каждого потока определяется балансовое уравнение, которому
соответствует строка i.
2. Каждому входу потока в какой-то блок ставится в соответствие
столбец с коэффициентом, равным +1.0. Каждому столбцу
соответствует переменная Xj, значение которой определяет объем
потока, входящего в блок. Поток может входить более чем в один
блок, тогда в уравнении 2.2. появится несколько членов +1.0Xj,
каждый из которых будет представлять объем потока на входе в
соответствующий блок.
3. Столбец (которому отвечает, например, переменная Xk),
соответствующий выходу потока продукта из блока, содержит
коэффициент, равный-Aik. Заметим, что в одном и том же
балансовом уравнении могут появиться дополнительные члены, если
одинаковые потоки (то есть потоки с одинаковыми характеристиками)
поступают из разных блоков или сырьевых источников.
В результате получаем балансовое уравнение виа:
- E Aik*Xk + 1.0Xj = 0 , в котором может быть несколько членов
вида +1.0Xj, если поток входит более чем в один блок.
Итак, строка балансового уравнения соответствует потоку, который
характеризуется набором определенных свойств и может иметь более,
чем по одной точке входа и выхода. Столбец, которому отвечает
переменная Xj, соответствует каждой новой точке входа потока в
блок.
Дальнейшее условие общего вида, касающееся всех типов
ограничений, состоит в том, что отрицательные коэффициенты
указывают на то , что продукт произведен системой, а
положительные - что он потреблен ею.
ОГРАНИЧЕНИЕ НА РЕСУРСЫ И КОНЕЧНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ
С этими ограничениями ситуация довольно ясная. В самом простом виде
ограничения на ресурсы - это ограничения сверху на переменные,
представляющие расход ресурсов, а ограничения на конечное
потребление продуктов - это ограничения снизу на переменные,
представляющие производство продукта. Ограничения на ресурсы имеют
следующий вид: Ai1X1 + ... + AijXj + ... + AinXn
где Aij - расход i-го ресурса на единицу Xj, j = 1 ... n, аBi -
общий объем имеющегося ресурса.
Если же ввести новую переменную, например Xn+1, представляющую
суммарный расход, ограничение примет вид:
Ai1X1 + ... + AijXj + ... + AinXn - Xn+1 = 0,
Xn+1
Определяя Aij как выход i-го продукта на единицу Xj, j = 1 ... n, и
поменяв знак неравенства на противоположный, мы получим аналогичные
соотношения для учета конечного потребления, где Bi будет
представлять общее потребление i-го продукта. Заметим, что
ограничение на мощность завода и оборудования можно учесть таким же
образом, как ограничение на ресурс. Зависимость затрат от объема
используемых ресурсов (или конечного потреблени можно также
отразить в модели.
УСЛОВИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ИЗВНЕ
Часть ограничений на систему можно рассматривать как внешние. Так
условия на качество продуктов устанавливаются законодательными
органами. Аналогично учет окружающей среды накладывает
ограничения на некоторые свойства продуктов (например на
количество серы в нефтетопливе) и на режим работы предприятия и
оборудования (например на качество сточной воды) что можно
выразить как дополнительные затраты.
Рассмотрим ситуацию, когда смешиваются несколько различных потоков,
чтобы образовать конечнылй продукт. Если какое-то свойство i-ой
компоненты смеси характеризуется коэффициентом Pi, а Pb определяет
нижнюю допустимую границу указанного свойства смеси, то ограничение
можно записать в виде:P1X1 + ... + PiXi => PbXb
где в левой части производится суммирование по всем смешиваемым
потокам, а Xb представляет общее количество произведенной смеси.
Ограничения на качество продуктов лучше всего задавать с помощью
таблиц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Целевая функция модели обычно состоит из следующих компонент:
1) Стоимость произведенного продукта.
2) Капиталовложения в здания и оборудование.
3) Стоимость ресурсов.
4) Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования.
1) Стоимость произведенного продукта.
Если система моделируется с точки зрения прибыли, то стоимость
продукта измеряется в деньгах. Если целью системы является
максимизация общественной полезности, то выход системы описывается в
терминах полезности, причем различия в определении этой полезности
могут привести к разным ответам. Так при планировании медицинского
обслуживания вряд ли окажется полезным для общества, если в качестве
цели выбирается максимальное число пациентов, обслуживаемых в
единицу времени.
В простейшем случае целевую функцию можно сформулировать так:
если мы обозначим через Xi количество продукта, а через Ci
стоимость единицы этого продукта, то мы получим член целевой
функции CiXi. Но целевая функция может быть описана и более сложным
образом.Например стоимость может зависеть от количества проданного
2) Капиталовложения в здания и оборудование.
Если рассматривается статическая модель на определенный момент
времени, то все затраты должны быть отнесены к какому-то периоду
времени, например рабочему дню (или году). Единовременные
капиталовложения выражаются через ежедневные (годовые) затраты.
Это осуществляется умножением капиталовложений на норму амортизации
(коэффициент восстановления капитала - CRF). Чтобы перейти от
годовых затрат к ежедневным, CRF обычно просто делят на 365 или если
заводд работает не целый год (например проводятся регулярные
плановые ремонтные работы) на число рабочих дней в году, чобы
получить затраты отнесеные к рабочему дню. Данные затраты чаще
запоминаются как константа и прибавляются к значению целевой
функции после получения решения.
3) Стоимость ресурсов.
Способ определения стоимости ресурсов совпадает с определением
стоимости произведенного продукта (п.1): если Xi -количество
используемого ресурса, а Ci - стоимость единицы этого ресурса, то мы
получим член целевой функции, равный - CiXi. Здесь мы снова можем
учесть в модели зависимость стоимости ресурса от его количества, как
например на графике:
Стоимость
?
С3??????????
С2? ??????
С1????? ??
? ? ??
????????????????????????????????????>Количество
X1X2 X3
4)Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования.
Эти затраты обычно являются функцией размеров зданий и оборудования,
поэтому их можно включить в амортизационные капитальные затраты.
Сюда необходимо включить также : трудовые затраты, затраты на
энергоресурсы для производственных нужд (пар, электричество, вода,
сжатый воздух и.т.д.), арендную плату за разработку недр, затраты на
катализаторы и другие технологические потребности.
ПРИМЕР
Мы хотим исследоватьразличные варианты расширения существующих
блоков и создания новых блоков для максимизации чистого дохода.
Нам необходимо:
1) Ввести в ЛП-матрицу ограничения на мощность для кажудого блока.
2) Максимизировать прибыль при фиксированных мощностях.
3 ) Рассчитать капитальные затраты при фиксированных мощностях от
дельно от модели ЛП а затем вычесть их из величины прибыли.
4) Произвести параметрическое изменение мощностей и повторить шаги,
начиная с шага 1.
Целевая функция будет выражаться в тыс.долл/рабочий день, так что
если Xi выражается в единицах MBSD, то стоимость Ci должна
выражаться в долл/баррель.
Мы будем максимизировать целевую функцию, поэтому коэффициенты,
отвечающие ценам будут положительными, а коэффициенты, отвечающие
затратам - отрицательными.
ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ БОЛЬШОГО РАЗМЕРА
Ограничения заачи представляют систему уравнений (неравенств),
каждому из которых ставится в соответствие строка матрицы
ограничений, в то же время в ЛП матрицу ограничений удобнее
представлять в виде впоследовательности столбцов. При этом удобнее
объединять в одну группу столбцы соответствующие одному блоку
предприятия с испоользованием табличной формы записи данных:
таблицы данных составляются для каждого блока предприятия и для
каждого набора специальных ограничений на продукт. Поскольку каждой
строке и каждому столбцу приписывается свое имя, всю матрицу
ограничений можно построить , составив список имен всех таблиц, затем
списки имен столбцов каждой таблицы, а затем перечислив все
ненулевые элементы каждого такого столбца.
Уравнения из нашего примера поясняют как составляются таблицы. С
помощью этих уравнений детально описаны сырьевые потоки, входящие в
блок газового насыщения, и потоки продуктов, выходящие из него.
Входам сырьевых потоков BOLNP и COLNP отвечают два столбца LNB и LNC
на это указывают коэффициенты +1.0 в соответствующих этим потокам
баласовых строках, отрицательные коэффициенты в балансовых строках
потока продкта представляют выход этого продукта на единицу сырья,
поступающего в блок. Можно составить таблицу, описывающую весь блок
газового насыщеия, добавив столбцы, которые представляют входы в
этот блоксырьевых потоков 90BBG, 9BBG, HYDBBG.
При составлении таблиц, описывающих блоки предприятия, мы будем
руководствоваться следующими правилами:
1) Определить столбец j для каждого сырьевого потока, входящего в
блок (тогда Xj - количество j-го сырья). Выполнить шаги 2 - 6 для
каждого такого столбца.
2) Записать коэффициент равный +1.0 в балансовую строку,
отвечающую входящему сырьевому потоку.
3) Для каждого продукта, произведенного в блоке из этого
сырьевого потока, записать коэффициент -Aij в соответствующую
балансовую строку потока продукта, где Aij - количество продукта i,
полученного из единицы сырья j.
4) Если для блока существует ограничение по мощности определяемое
количеством сырья, записать коэффициент +1.0 в строку ограничения по
мощности. Компонента вектора ограничений, соответствующая этой
строке, равна предельному значению суммарного сырьевого па.
5) В каждую строку, представляющую ограничение на ресурс,
записать коэффициент +Aij, гдеAij - потребление ресурса i на
единицу сырья j, (например потребности в энергоресурсах для нашей
задачи).
6) Каждой единице сырья j приписать коэффициент затрат Cj в
строке целевой функции.
Мы можем составить подобные таблицы и для конечных продуктов,
действительно, мы могли бы представить процесс производства или
смешивания конечного продукта в виде отдельного блока, в который
входит несколько сырьевых потоков, а выходит только один поток
(сам конечный продукт). Кроме балансовых соотношений здесь могут
появиться строки ограничений специального типа.
При составлении таблиц, описывающих смешивание потоков для
получения конечного продукта правила будут следующие:
1) Определить столбец j для каждого сырьевого потока,
поступающего в смеситель (Xj - количество j-го сырья).
Выполнить шаги 2 - 6 для каждого такого столбца.
2) Записать коэффициент равный +1.0 в балансовую строку,
отвечающую входящему сырьевому потоку.
3) Записать соответствующий коэффициент -1.0 в балансовую строку
для конечного продукта (например EVOLPROD).
4) Для каждого ограничения снизу на какое-то свойство смеси
записать коэффициент -Pi в строку, соответствующую этому
ограничению.
5) В строку, соответствующую ограничению сверху на какое-то
свойство смеси записать коэффициент +Pi.
6) Выполнив шаги 2 - 5 для всех сырьевых потоков j, определить
столбец для конечного продукта (смеси), (например B, тогда Xb -
количество конечного продукта). В этот столбец записать следующие
коэффициенты:
а) в балансовую строку (EVOLPROD) этого конечного продукта записать
+1.0,
б) в строку, отвечающую ограничению снизу на какое-то свойство
конечного продукта, записать коэффициент равный +Pb,
в) в строку, отвечающую ограничению сверху на какое-то свойство
конечного продукта, записать коэффициент -Pb,
г) если есть ограничения на потребление конечного продукта, записать
+1.0 в соответствующую строку, отвечающую этому ограничению (либо
учесть его просто как ограничение на переменную Xb),
д) ввести в строку целевой функции коэффициент стоимости конечного
продукта Cb.
Лекция
Классификация экономико-математических моделей
Важным этапом изучения явлений предметов процессов является их
классификация, выступающая как система соподчиненных классов объектов,
используемая как средство для установления связей между этими классами
объектов. Основой классификации являются существенные признаки
объектов. Поскольку признаков может быть очень много то и выполненные
классификации могут значительно отличаться друг от друга.
Любая классификация должна преследовать достижение поставленных целей.
выбор цели классификации определяет набор тех признаков, по которым
будут классифицироваться объекты, подлежащие систематизации. Цель
нашей классификации - показать, что задачи оптимизации, совершенно
различные по своему содержанию, можно решить на ЭВМ с помощью
нескольких типов существующего программного обеспечения.
Классификацию задач оптимизации, возникающих на производстве,
выполним по следующим признакам:
1. Область применения
2. Содержание задачи
3. Класс математической модели
--------------------------------------------------------------------------
1. Обеспечение производства включает в себя :
1.1 Организацию и управление
1.2 Проектирование изделий
1.3 Разработку технологических процессов
Во всех этих элементах производства возникают задачи оптимизации.
Так весьма широкий круг самых различных работ можно рассматривать как
превращение ресурсов в результат. В связи с этим основные задачи,
возникающие при управлении, могут быть отнесены к классу задач
распределения ресурсов.
Объект проектированияв общем случае характеризуется своим
устройством и действием. Устройство определяется структурой и
параметрами. Действие характеризуется процессом функционирования.
При решении этих трех вопросов возникают задачи:
1.2.а Оптимизация параметров объекта проектирования.
1.2.б Оптимизация структуры объекта проектирования.
1.2.в Оптимизация функционирования
Технологический процесс определяется последовательностью работ,
которые обеспечивают превращение сырья в готовую продукцию. Такую
последовательность работ называют маршрутом. Каждая операция, входящая
в маршрут характеризуется режимами обработки. Очевидно что задачи,
требующие оптимального решения возникают как при выборе маршрута так и
при определении параметров операций.
1.3.а Оптимизация маршрута изготовления изделия
1.3.б Оптимизация параметров технологических процессов.
Важным признаком классификации является класс математической модели.
Проведем классификацию по элментам математической модели:
1 Исходным данным
2 Искомым переменным
3 Зависимостям, описывающим ограничения и целевую функцию
1.1 Исходные данные, которые заданы определенными величинами называют
детерминированными
1.2 Исходные данные, которые зависят от случайных факторов, например
от своевременности поставки ресурсов, исправности оборудования и.т.д.
называют случайными величинами.
2.1 Переменные могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывными
называют такие величины, которые в заданном интервале могут принимать
любые значения.Так масса добываемого угля или объем выпуска ткани
представляют собой непрерывные величины.
2.2 Дискретными называют таки е величины, которые могут принимать
только целые значения. Так например нельзя выпустить 0.7 тепловоза или
сдать строительный объект из 1.45 здания.
31 Зависимости межу переменными как в целевой функции так и в
ограничениях могут быть линейными и нелинейными.
Линей ными называют такие зависимости, в которые переменные входят в
первой степени и нет их произведения.
3.2 Если переменые входят не в первой степени или есть произведение
переменных, то зависимости являются нелинейными.
-------------------------------------------------------------------
Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам
задач оптимизации. Различные классы задач требуют разных методов
решения а сле довательно и различных программных средств.
Наиболее распространенными задачами оптимизации возникающими в
экономике являются задачи линейного программирования. Такая их
распространенность объясняется следующим:
1) С их помощью решают задачи распределения ресурсов, к которым
сводится очень большое числосамых различных задач
2) Разработаны надежные методы их решения, которые реализованы в
поставляемом программном обеспечении
3) Ряд более сложных задач сводится к задачам линейного
программирования
Математическое моделирование в управлении и планировании
Один из мощных инструментов которым располагают люди, ответственные
за управление сложными системами - моделирование. Модель является
представлением реального объекта, системы или понятия в некоторой
форме, отличной от формы их фактического реального существования.
Обычно модель служит средством, помогающим в объяснении, понимании или
совершенствованиисистемы. Модель какого-либо объекта может быть или
точной копией этого объекта, выполненной в другом масштабе или из
другого материала, или отображать некоторые характерные свойства
объекта в абстрактной форме, в частности в виде математических
выражений.Анализ математическихмоделей дает в руки менеджеров и
других руководителей эффективный инструмент, который может
использоваться для предсказания поведения систем и сравнения
получаемых результатов. Моделирование позволяет логическим путем
прогнозировать последстия альтернативных действий и достаточно
уверенно показывает какому из них следует отдать предпочтение.
Пр именение моделей дает менеджерам метод, повышающий эффективность
их суждений и интуиции.Для достижения цели практически всегда
существует несколько вариантов из которых нужно выбрать оптимальный.
Для определения лучшего варианта пользуются критерием эффективности
или целевой функцией.
РУКОВОДСТВО ПРЕДПРИЯТИЕМ
Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы,
оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое
предприятие такими ресурсами располагает, но общие запасы ресурсов
ограничены. Поэтому возникает важная задача: выбор оптимального
варианта, обеспечивающего достижение целис минимальными затратами
ресурсов. Таким образом эффективное руководство производством
подразумевает такую организацию процесса, при которой не только
достигается цель, но и получается экстремальное (MIN,MAX) значение
некоторого критерия эффективности:
К = F(X1,X2,...,Xn) => MIN(MAX)
Функция К является математическим выражением результата действия,
направленного на достижение поставленной цели, и поэтому ее называют
целевой функцией.
Функционирование сложной производственной системы всегда
определяется большим числом параметров. Для получения оптимального
решения часть этих параметров нужно обратить в максимум, а другие в
минимум. Возникает вопрос: существует ли вообще такое решение, которое
наилучшим образом удовлетворяет всем требованиям сразу ? Можно
уверенно ответить - нет. На практике решение, при котором какой-либо
показатель имеет максимум, как правило, не обращает другие показатели
ни в максимум ни в минимум.
Поэтому выражения типа: производить продукцию наивысшего качества с
наименьшими затратами - это просто торжественная фраза по сути
неверная.
Правильно было бы сказать: получить продукцию наивысшего качества при
той же стоимости, или снизить затраты на производство продукции не
снижая ее качества, хотя такие выражения звучат менее красиво, но зато
они четко определяют цели.
Выбор цели и формулирование критерия ее достижения, то есть целевой
функции, представляют собой труднейшую проблему измерения и сравнения
мноазнородных переменных, некоторые из которых в принципе
несоизмеримы друг с другом: например безопасность и стоимость, или
качество и простота.
Но именно такие социальные, этические и психологические понятия часто
выступают как факторы мотивации при определении цели и критерия
оптимальности. В реальных задачах управления производством нужно
учитывать то, что некоторые критерии имеют большую важность чем
другие. Такие критерии можно ранжировать, то есть устанавливать их
относительную значимость и приоритет. В подобных условиях оптимальным
приходится считать такое решение, при котором критерии имеющие
наибольший приоритет получают максимальныезначения. Предельным
случаем такого подхода является принцип выделения главного критерия.
При этом один какой-то критерий принимается в качестве основного,
например прочность стали, калорийность продукта и.т.д. По этому
критерию производится оптимизация, к остальным предъявляется только
одно условие, чтобы они были не меньше каких-то заданных значений.
Между ранжированными параметрами нельзя проводить обычные
арифметические операции, возможно лишь установление их иерархии
ценностей и шкалы приоритетов, что является существенным отличием от
моделирования в естественных науках.
При проектировании сложных техических систем, при управлении крупным
производством или руководстве военными действиями, то есть в ситуациях
где необ ходимо принимать ответственые решения, большое значеие имеет
практический опыт, дающий возможность выделить наиболее существеные
факторы, охватить ситуацию в целом и выбрать оптимальный путь для
достижения поставленой цели. Опыт помогае также найти аналогичные
случаи в прошлом и по возможности избежать ошибочных действий.
Под опытом подразумевается е только собственная практика лица,
принимающего решение но и чужой опыт, который описан в книгах, обобщен
в инструкциях, рекомендациях и других руководящих материалах.
Естествено, когда решение уже апробировано, то есть известно какое
именно решение наилучшим образом удовлетворяет поставленным целям -
проблемы оптимального управления не существует. Однако на самом деле
практически никогда не бывает совершенно одинаковых ситуаций, поэтому
принимать решения и осуществлять управление всегда приходится в
условиях неполной информации. В таких случаях недостающую информацию
пытаются получить используя догадки, предположения, результаты научных
исследований и особенно изучение на моделях. Научно обоснованная
теория управления во многом представляет собой набор методов
пополнения недостающей информации о том как поведет себя объект
управления при выбраном воздействии.
Стремление получить как можно больше информации об управляемых
объектах и процессах включая и особености их будущего поведения может
быть удовлетворено путем исследования интересуюих нас свойств на
моделях.Модель дает способ представления реального объекта, который
позволяет легко и с малыми затратами ресурсов исследовать некоторые
его свойства. Только модель позволяет исследовать не все свойства
сразу, а лишь те из них, которые наиболее существенны при данном
рассмотрении. Поэтому модели поволяют сформировать упрощенное
представление о системе и получить нужные результаты проще и быстрее
чем при изучении самой системы. Модель производственной системы в
первую очередь создается в сознании работника осуществляющего
управление. На этой модели он мысленно пытается представить все
особенности самой системы и детали ее поведения, предвидеть все
трудности и предусмотреть все критические ситуации, которые могут
возникуть в различных режимах эксплуатации. Он делает логические
заключения, выполняет чертежи планы и расчеты.
Сложность современных технических систем и производственных
процессов приводит к тому, что для их изучения приходится использовать
различные виды моделей.
Простейшими являются масштабные модели в которых соблюдается
геометрическое подобие оригинала и модели, но натурные зачения всех
размеров умножаются на постоянную величину - масштаб моделирования.
Большие объекты представляются в уменьшеном виде, а малые в
увеличенном.
В аналоговых моделях исследуемые процессы изучаются не
непосредственно а по аналогичным явлениям, то есть по процессам
имеющим иную физическую природу, но которые описываются такими же
математическими соотношениями. Для такого моделирования используются
аналогии между механическими, тепловыми, гидравлическими,
электрическими и другими явлениями. Например колебания груза на
пружине аналогичны колебаниям тока в электрическом контуре, также
движение маятника аналогично колебаниям напряжения на выходе
генератора переменного тока.
Самым общим методом научных исследований является использование
математического моделирования. Математической моделью описывает
формальную зависимость между значениями параметров на входе
моделируемого объекта или процесса и выходными параметрами. При
математическом моделировании абстрагируются от конкретной физической
природы объекта и происходящих в нем процессов и рассматривают только
преобразоваие входных величин в выходные.Анализировать математические
модели проще и быстрее, чем экспериметально определять поведение
реального объекта в различных режимах работы. Кроме того анализ
математической модели позволяет выделить наиболее существенные
свойства данной системы, на которые надо обратить особое внимание при
принятии решения. Дополнительное преимущество состоит в том, что при
математическом моделировании не представляет труда испытать
исследуемую систему в идеальных условиях или наоборот в экстремальных
режимах, которые для реальных объектов или процессов требуют больших
затрат или связаны с риском.
В зависимости от вида системы и конкретных целей, которые ставятся
при анализе, возможны различные методы описания систем, то есть
существует несколько различных подходов к матемтическому
моделированию и системному анализу. В основе каждого подхода лежат те
или иные представления, какой-то набор основных идей и теоретических
предпосылок или как принято говорить определенная концепция.
1) Одна из возможных целей математического моделирования связана с
желанием разобраться в свойствах систем вообще. В этом случае
требуется иметь такую модель, которая охватывала бы как можно более
широкий класс объектов и процессов.
2) Другая задача состоит в тщательном, количественном изучении
систем определенного класса. При этом необходимо дать подробное
математическое описание объектов интересующего класса и столь же
подробное математическое описание происходящих в них процессов.
3) Наконец третий подход с которым часто приходится сталкиваться
связан со стремлением использовать для анализа какие-то конкретные
виды математических моделей.
Само принятие решения выходит за рамки математического моделирования
и относится к компетенции ответственного лица которому предоставлено
право окончательноговыбора. При этом выборе он может учитывать наряду
с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд
соображений, которые этим расчетом не были учтены.
В зависимости от того, какой информацией обладают руководитель и его
сотрудники, подготавливающие решения, меняются и условия принятия
решений и математические методы, применяемые для выработки
рекомендаций.
Если известны все действующие в системе факторы, то есть отстствуют
случайные воздействия, то это будет принятие решений в условиях
определенности.
Когда решение может привести не к определенному исходу, а к одному
из множества возможных с разными вероятностями их осуществления, то
принимающий решение рискует получить не т результат, на который он
рассчитывает. Поскольку исход каждой конкретной реализации случаен и
потому зараее точно не предсказуем, метод называют приятием решений в
условиях риска.
Если же исход операции зависит не только от стратегии избраной
руководителем, но и от ряда факторов, не известных в момент принятия
решения, например, действий кокурентов, такая задача называется
принятием решений в условиях неопределенности.
Операцией называется комплекс мероприятий объединенных общим
замыслом и направленых на достижение поставленной цели. Операция
является управляемым мероприятием.
В общем случае цель операции выражается в стремлении к достижению
экстремального значения критерия эффективности. При наличии
еопределенности это уже не строго математическая задача, которая дает
однозначное решение. Теперь она должна формулироваться следующим
образом:
При заданных ограничениях B1...Вn найти такие элементы управления
X1...Xm которые с учетом случайных воздействий Q1...Qr по возможности
обеспечивают максимальное значение критерия эффективности К max(min).
Теперь нет уверенности в том, что можно будет получить решение, а если
оно будет получено то нет гарантии в том, что оно будет правильным.
Именно поэтому в формулировке задачи приходится делать оговорку "по
возможности". Таким образом при решении проблем возникющих в реальной
жизни математическая теория и научно обоснованные методы не дают
точного решения. Причина этого в том, что когда нет точных данных, то
есть нет полной информации остается лишь предполагать и строить
догадки но нельзя считать что все предсказания сбудутся. И все таки
решение, принято е хотя и в условиях неопределенности но на основании
математических расчетов будет лучше чем взятое наугад. Задача состоит
в том, чтобы это решение в возможно большей степени содержало черты
разумности, именно в этом смысле следует понимать определение " по
возможности оптимальное". Сложность математического моделирования в
условиях неопределенности зависит от того какова природа неизвестных
факторов. По этому признаку задачи делятся на два класса.
1) Стохастические задачи, когда неизвестные факторы представляют
собой случайные величины, для которых известны законы распределения
вероятностей и другие статистические харакеристики.
2) Неопределенные задачи, когда неизвестные факторы не могут быть
описаны статистическими методами.
Вот пример стохастической задачи:
Мы решили организовать кафе. Какое количество посетителей придет в
него за день нам неизвестно. Также неизвесно сколько времени будет
продолжаться обслуживание каждого посетителя. Однако характеристики
этих случайных величин могут быть получены статистическим путем.
Показатель эффективности, зависящий от случайных величин также будет
случайной величиной.
В данном случае мы в качестве показателя эффективности берем не саму
случайную величину, а ее среднее значение и выбираем такое решение при
котором это среднее значение обращается в максимум или минимум.
Лекция
Двойственные оценки -
экономическая интерпретация и свойства
Рассмотрим экономический смысл двойственных оценок (оценок
оптимального плана) на примере экономико-математической
задачи наилучшего использования ресурсов (в частности фонда
времени работы производственного оборудования), формулируемой
с разными критериями оптимальности:
1.Максимум прибыли.
2.Минимум себестоимости.
3.Максимум выпуска продукции в заданном ассортиментном
соотношении.
Рассмотрим последовательно формулировку прямых и двойственных
задачи проанализируем экономические свойства двойственных оценок
в каждом случае.
$ 1 Оценки ресурсов - экономическая интерпретация
Каноническая форма дает возможность экономической интерпретации
значений двойственных переменных. В точке оптимума двойственные
переменные(у) определяются как относительные оценки
дополнительных переменных прямой задачи линейного
программирования.
а) Предположим что дополнительная переменная Хij отвечающая i-му
ограничению является небазисной в точке оптимума а само
ограничение имеет вид:
E Aij*Xj + Xs = Bi
Так какXs вне базиса равна нулю исходное ограничение
E Aij*Xj
оптимума, т.е. E Aij*Xj = Bi
Теперь по определению относительная оценка этой небазисной
переменной - это величина на которую может возрасти целевая функция
при увеличении этой переменной на единицу. Так как решение
оптимально то относительная оценка положительна (неотрицательна) и
поэтому целевая функция должна уменьшаться если дополнительная
переменная возрастает и возрастать если дополнительная переменная
уменьшаетсяПусть например i-я компонента вектора ограничений
увеличилась на единицу, так что ограничение примет вид
E Aij*Xj = Bi + 1
или после перестановки _
E Aij*Xj +(-1) = Bi
то есть дополнительная переменная Xs должна принять значение равное
-1 чтобы i-ое ограничение оставалось равенством а относительная
оценка даст соответствующее приращение целевой функции.
Таким образом относительная оценка i-ой дополнительной переменной
дает величину прироста целевой функции на единицу увеличения
элемента Bi вектора ограничений. Так как элемент Bi обычно
представляет собой объем i-го ресурса то относительная оценка
равная Yi называется оценкой ресурса (оценкой единицы i-го ресурса)
ибо она представляет относительную ценность единицы дополнительного
ресурса. Эти относительые оценки являются маргинальными оценками в
том смысле что они действительны лишь при таком диапазоне изменения
ресурсов Bi когда текущий базис остается оптимальным.
в) Если дополнительная переменная является базисной в точке оптимума
то ее относительная оценка по определению равна нулю. Это также
имеет смысл так как если ресурс использован не полностью
E Aij*Xj< Biто цена которую мы должны были бы заплатить за>
дополнительную единицу этого ресурса равна нулю. Это приводит к
условию дополняющей нежесткости:
В оптимальном решении_ _
илиE Aij*Xj = BiилиYi = 0 (либо и то и другое)
илиE Aij*Yi = CjилиXj = 0 (либо и то и другое)
Заметим что переменные Y недопустимы на протяжении всех итераций
симплекс-метода до тех пор пока не будет достигнуто оптимальное
решение.
МиАРГИНАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Оценки ресурсов связаны скорее с ограничениями а не с переменными.
Однако они часто используются для вычисления оценочных или
стоимостных показателей, связанных с переменными прямой задачи.
Рассмотрим пример. Пусть в задаче связанной с суточной переработкой
нефти некоторая переменная Xj соответствует объему неочищенной нефт и
закупаемой по цене 12.65 долл/баррель (Сj = -12.65)
Существует ограничение сверху на объем закупаемой по этой цене
неочищенной нефти равный 50 тыс.баррель/день.
Это можно записать уравнением: Xj + Xs = 50
Где Xs - это дополнительная переменная. Пусть она имеет
относительную оценку равную 1.04 долл/баррель в оптимальном решении
- что это означает ? Оценка ресурса неочищенной неочищенной нефти
равна 1.04 долл/баррель, но это вовсе не означает, что мы должны
были заплатить только 1.04 долл за каждый дополнительный баррель
неочищенной нефти. Это означает что мы должны быть готовы заплатить
еще по 1.04 долл/баррель за возможность покупать дополнительный
объем этой нефти при условии, что последующие закупки будут
осуществляться по цене 12.65 долл/баррель: то есть целевая функция
будет увеличиваться на 1.04 долл за каждый дополнительный баррель,
который мы сможем купить по цене Сj уже учтенной в целевой функции.
Это означает, что м должны быть готовы к повышению цены до 12.65 +
1.04 = 13.69 долл/баррель за дополнительную поставку неочищенной
нефти.
Заметим, что 13.69 долл/баррель - это равновесная цена при которой
мы будем увеличивать нашу целевую функцию Р, если будем покупать по
более дешевой цене чем эта:
будем уменьшать Р если будем покупать за большую цену:
сохраним Р неизменной если будем покупать точно за 13.69
долл/баррель.
Если мы определим что МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = РАВНОВЕСНАЯ ЦЕНА -
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЦЕНА, то в нашем примере МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = 13.69
- 12.65 = 1.04 долл/баррель.
Маргинальная оценка переменной Xj - мэто чистый доход, который может
быть получен за каждую единицу Xj закупленную сверх существующего
лимита и равна оценке ресурса, то есть двойственной переменной того
условия задачи которое ограничивает количество имеющегося ресурса
Маргинальная оценка остается постоянной только внутри некоторой
окрестности существующего оптимума, соответствующей пределам, внутри
которых текущий базис остается оптимальным как при увеличении так и
при уменьшении объема ресурсов (объема закупок).
Относительную оценку которая отвечает небазисной переменной равной
своей нижней границе часто рассматривают как чистый эффект этой
переменной. Если принимают решение (неоптимальное) увеличить
небазисную переменную равную своей нижней границе то эта
относительная оценка показывает уменьшение Р на единицу увеличения
переменной (до некоторых пределов). Здесь относительные оценки
указывают на эффект (убытки), обусловленный отклонением от
оптимального решения.
Так как компоненты вектора Aj (где j - номер небазисной переменной)
показывают величину изменения значений текущих базисных переменных
то их часто называют (маргинальными) нормами замещения,так что Aij
-это норма замещения способа производства i на способ
производства j.
ДИАПАЗОНЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Часто говорят, что постоптимальный анализ - наиболее важная часть
линейного программирования и нетрудно понять почему делается такой
вывод. Большая часть параметров задачи ЛП точно не известна и на
практике обычно берутся приближенные значения, которым должны быть
равны эти параметры. Таким образом нас интересуют такие диапазоны
изменения этих параметров, в которых оптимальное решение остается
оптимальным в том смысле, что не меняется базис.
Исследуем три класса параметров:
коэффициенты целевой функции Cj
компоненты вектора ограничений Bi
коэффициенты матрицы Aij
Изменения коэффициентов целевой функции
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
а) Небазисная переменая
-----------------------
Изменение коэффициента целевой функции небазисной переменной влияет
на относительную оценку только этой переменной. Пусть коэффициент
целевой функции изменится на величинуqтогда
__
Cj = Cj + qотсюда Dj = Dj - q
Например пусть матрицей А задан производственный процесс и пусть
переменная Xjпредставляет количество некоторого производимого
продукта, который может быть продан по цене Cj = 20 долл/ед
В оптимальном решении эта переменная небазисная (=0) и ее
относительная оценка = 1.40 долл/едТаким образом если цен
возрастет до 21.40 долл/ед продукта то относительная оценка станет
= 0 и дальнейшее увеличение цены приведет к отрицательной
относительной оценке. Это означает что текущее решение перестает
быть оптимальным. В таком случае выгодно производить продукт
представленный переменной XjСледовательно 21.40 долл/ед продукта
это равновесная цена для Xj , при любой более низкой цене
оптимальное решение будет состоять в том чтобы совсем не производить
этот продукт ( Xj остается небазисным) а при более высокой цене
выгодно ввести Xjв базис. Для небазисной переменной диапазон
устойчивости в котором Cj может меняться так чтобы текущее решение
оставалось оптимальным задается выражением _
_Cj + q, где -оо < q
и где Dj - относительная оценка переменной Xj отвечающая
оптимальному решению. Заметим что при любом отрицательном q
относительная оценка этой переменной останется положительной.
Многие ППП ЛП дают информацию и о диапазоне изменения переменной Xj
(от нулевого до некоторого предельного_значения) при котором не
происходит смены базиса.Если q = Dj то относительная оценка = 0
что означает что Xj можно увеличивать не меняя значения целевой
функции. Предельное значение до которого можно увеличивать Xj
определяется формулой MIN (B/Aj)i
Например предположим что в оптимальном решении вектор базисных
переменных, -1 -1
текущий вектор ограничений B=B * b и вектор Aj=B *aj заданы в виде:
X53.20.6
Xb = X1 B = 1.5Aj = 0.3
X65.6 -1.2
Тогда получаем MIN (Bi/Aij) = 1.5/0.3 = 5.0
Таким образом мы можем сделать вывод о том что при цене в 21.40
долл/ед продукта или более становится выгодным производить продукт
Xj то есть продукт которому отвечает переменная Xj ; на каждую
единицу произведенного продукта Xj переменные X5 X1 X6 уменьшаются
соответственно на 0.60.3-1.2 единиц. Если мы произведем 5.0 ед
продукта Xj то переменная X1 обратится в нуль и дальнейшее
увеличение Xj потребует смены базиса. Заметим, что мы получили всю
информацию не решая задачу заново, для продолжения анализа нам
потребуется лишь выполнить операцию исключения соответствующую
изменению базиса.
б) Базисная переменная
-------------------
Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной влияет на
относительные оценки небазисных переменныхРассмотрим увеличение
коэффициента целевой функции i-ой баисной переменной. В этом случае
вектор коэффициентов целевой функции изменится следующим образом
_
Cb = Cb + q*Ei,где Ei - вектор специального вида i-ая компонента
которого = 1 а остальные нулю. Например
0
E3 = 0
1
0
Относительная оценка j-ой небазисной переменной станет теперь
равной_
Dj = Dj + q*Aij
Для того чтобы решение оставалось оптимальным должно выполняться
условие _
Dj => 0 то есть Dj^ + q*Aij => 0, где Dj^ - относительная
оценка соответствующая текущему оптимальному решению.
Для базисной переменной диапазон устойчивости в котором может
изменяться Ci оставляя оптимальным текущее решение адается
выражением Ci + q, где
MAX {Dj^/-Aij} 0 i/Aij
Если отсутствуют коэффициенты Aij < 0то q < +oo>
и аналогично если нет Aij > 0 то q > -oo
Например пусть оптимальное решение задано следующим образом:
МаксимизироватьР= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X5
Если коэффициент целевой функции переменной X2 станет равным С2 + q
то относительные оценки небазисных переменных изменятся следующим
образом:
D4 = 3.5 + q*(-0.5)
D3 = 0.1 + q*(-1.0)
D5 = 0.25 + q*(+1.0)
Заметим что величины Aij имеют знаки противоположные тем, что
приведены выше.
Диапазон значений для q вычисляется в соответствии с формулой:
(0.25/-1.0)
Для ограничений типа => q меняет знак, так как вместо неравенства
E AijXj => Bi мы можем рассматривать
-E AijXj
Поэтому в уравнении 1.1) вместо +(Xs-q) мы должны писать -(Xs+q).
Снова рассмотрим пример:
МаксимизироватьР= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X
При условияхX1 = 3.2 -1.0X4 -0.5X3 -0.60X5
X2 = 1.5 +0.5X4 +1.0X3 -1.00X5
X6 = 5.6 -2.0X4 -0.5X3 -1.00X5
Пусть X4 - дополнительная переменная некоторого ограничения i
(типа
X1 = 3.2 - 1.0*(-q)
X2 = 1.5 + 0.5*(-q)
X6 = 5.6 - 2.0*(-q)
3.21.0
то естьB = 1.5As = -0.5
5.62.0
Тогда,
X1 => 0 при 3.2 - 1.0*(-q) => 0, то есть q => 3.2/-1.0,
X2 => 0 при 1.5 + 0.5*(-q) => 0, то еасть q
X6 => 0 при 5.6 - 2.0*(-q) => 0, то есть q => 5.6/-2.0
Значит q может меняться в диапазоне:
MAX {3.2/-1.0; 5.6/-2.0} MAX
-----------------------------------------------------------------
Оценки ресурсов
---------------
Оценка ограничения на мощность основного процесса переработки
равна 0.44 долл/т (относительная оценка, соответствующая переменной
X12 равна 0.44). Эта оценка справедлива в диапазоне изменения
мощности основного процесса определяемом выражением 100 + q,
где MAX { 3/-0.15; 70/-1; 32/-0.85 }