Широкое распространение радиоэлектронных устройств с применением цифровой обработки сигналов обуславливает повышенный интерес к вопросам диагностирования их технического состояния.
Одной из разновидностей диагностирования цифровых узлов и блоков является тестовое диагностирование, применение которого на этапе проектирования и изготовления цифровых узлов позволяет определить правильность их функционирования и осуществить процедуру поиска неисправностей. При разработке тестовой диагностики возникает сложность в определении эталонных реакций при тестировании существующих схем, в определении оптимального числа контрольных точек для снятия выходной реакции диагностируемой цифровой схемы. Это можно сделать либо создавая прототип разрабатываемого цифрового устройства и проводя его диагностику аппаратурными методами, либо осуществляя моделирование на ЭВМ как цифрового устройства, так и процесса диагностики. Наиболее рациональным является второй подход, который предполагает создание автоматизированных систем диагностики [1], позволяющих производить диагностику цифровых схем на стадии проектирования и способных решать следующие задачи:
1. Производить логическое моделирование цифровых схем с помощью ЭВМ. Цель логического моделирования состоит в том, чтобы выполнить функцию проектируемой схемы без её физической реализации. Проверка на правильность моделирования может быть различной в зависимости от уровня представления цифровой схемы в ЭВМ. Если, например, осуществляется проверка только значений логической функции на выходе схемы, то достаточно представить схему на уровне логических элементов. Для того чтобы проверить состояния сигналов в схеме, необходимо точно описать задержки срабатывания всех элементов в условиях синхронизации.
2. Моделирование неисправностей. Задача обнаружения неисправностей в цифровых схемах состоит в том, чтобы определить, обладает ли цифровая схема требуемым поведением. Для решения этой задачи необходимо, прежде всего, установить модель цифровой схемы как объекта контроля, затем метод обнаружения неисправностей и, наконец, модель неисправностей. С точки зрения особенностей поведения цифровых схем их можно разделить на комбинационные и последовательностные. В отношении обнаружения неисправностей комбинационные схемы являются сравнительно простой моделью. Последовательностные схемы в отношении поведения характеризуются наличием внутренних контуров обратной связи, поэтому обнаружение неисправностей в них в общем случае чрезвычайно затруднено.
3. Моделирование процесса тестовой диагностики.
Классическая стратегия тестирования цифровых схем основана на формировании тестовых последовательностей, позволяющих обнаруживать заданные множества их неисправностей. Для реализации генератора тестовой последовательности желательно использовать простейшие методы, позволяющие избежать сложной процедуры их синтеза. К ним относятся следующие алгоритмы:
1) формирование всевозможных входных тестовых наборов, т.е. полного перебора двоичных комбинаций. В результате применения подобного алгоритма генерируются счётчиковые последовательности;
2) формирование случайных тестовых наборов с требуемыми вероятностями единичного и нулевого символов по каждому входу цифровой схемы;
3) формирование псевдослучайных тестовых последовательностей.
Основным свойством распространённых алгоритмов формирования тестовых последовательностей является то, что в результате их применения воспроизводятся последовательности очень большой длины. Поэтому на выходах проверяемой цифровой схемы формируются её реакции, имеющие ту же длину. Естественно возникают проблемы их запоминания и хранения. Простейшим решением, позволяющим значительно сократить объём хранимой информации об эталонных выходных реакциях, является получение интегральных оценок, имеющих меньшую размерность. Для этого используются алгоритмы сжатия информации.
Для того чтобы применять метод компактного сжатия тестирования, необходимо рационально выбирать алгоритм формирования тестовых последовательностей и метод сжатия информации.[2]
Для диагностики любой комбинационной схемы особый интерес представляет сигнатурный анализатор, в частности многоканальный сигнатурный анализатор, в основе построения которого лежит алгоритм сжатия информации - сигнатурный анализ.
4. Анализ методов оценки эффективности компактного тестирования.
Построение сложных цифровых устройств требует повышенного внимания к компактным методам тестирования для каждого конкретного применения. Поэтому возникает необходимость в оценке эффективности того или иного метода компактного тестирования. В настоящее время в литературе рассматриваются способы сравнения методов компактного тестирования.
Было предложено разработать моделирующий алгоритм, позволяющий строить многоканальные сигнатурные анализаторы.
Для этого необходимо было решить следующие задачи:
1) Логическое моделирование цифровых схем.
2) Разработка моделирующего алгоритма построения ГПСЧ.
3) Разработка моделирующего алгоритма построения многоканального сигнатурного анализатора.
4) Оценка эффективности работы многоканального сигнатурного анализатора.
5) Разработка алгоритма поиска неисправностей
ГЛАВА 1. Существующие методы логического моделирования и диагностики с использованием компактных оценок.
1.1. Моделирование логических схем на ЭВМ.
Моделирование сложных логических схем на большом числе входных наборов эффективно можно осуществлять только при помощи ЭВМ. Для того чтобы смоделировать работу устройства на ЭВМ, необходимо описать математическую модель этого устройства в памяти ЭВМ [3].
Логическая схема N считается структурно описанной, если указаны следующие её характеристики: внешние входы схемы - множество X = {x}; внешние выходы схемы - множество Z = {z}; элементы схемы - множество D = {d}; внутренние связи между элементами в виде матрицы связей C = {ci,j}, где ci,j{0,1}; ci,j=1 - если выход элемента di связан со входом элемента dj, для всех элементов d D.
Другим способом описания схемы является описание схемы в виде списков: списка входов схемы - описание множества X, списка выходов - описание множества Z и списка логических элементов и связей между ними - описание множества D и матрицы C. Списки, описывающие схему, могут быть прямыми и обратными.
Прямой схемный список - это описание схемы по входам элементов. Для каждого элемента схемы указывается его порядковый номер на схеме, тип и номера элементов, выходы которых являются входами для данного элемента.
Обратный схемный список - это описание схемы по выходам элементов. Для каждого элемента указывается его номер на схеме, тип и номер элементов, со входами которых соединён выход данного элемента.
Прямой и обратный схемный списки представляют собой компактное описание матрицы связей между элементами C = {ci,j}, причём для задания матрицы достаточно одного из них. Прямой схемный список может быть построен на основе обратного списка, и наоборот.
В большинстве случаев для моделирования достаточно иметь прямой схемный список. Обратный схемный список используется для выделения направления распространения сигналов в схеме при моделировании сложного цифрового устройства с большим числом элементов. В этом случае, если, например, изменится какая-то подсхема из общей схемы устройства, то моделированию подвергаются только те подсхемы, которые связаны с данной. При этом значительно сокращается объём моделируемой схемы и объём выводимой для анализа информации, так как моделирование проводится направленно, т.е. по пути распространения сигналов в схеме. Если какой-либо элемент схемы изменяет своё значение на текущем шаге моделирования, то все подсхемы, связанные с выходом этого элемента, моделируются.
Прямой схемный список удобно использовать при диагностике схемы и локализации неисправностей в ней, так как он позволяет выделить все возможные пути распространения ошибочной информации (определить по номеру элемента, на выходе которого обнаружена ошибка, элементы, которые могут быть источниками этой ошибки).
В данной работе был использован прямой схемный список.
1.2. Методы анализа.
Методы анализа схем можно разделить на прямые и косвенные. Прямые методы анализа опираются на различные алгебраические или иные формы, отражающие в том или ином виде структуру схемы. Они позволяют непосредственно синтезировать входные последовательности, необходимые для получения заданной реакции схемы. Например, синтезировать входные наборы, обеспечивающие появление на выходе схемы нулевого сигнала.
К косвенным методам анализа относятся различные виды моделирования, позволяющие воспроизводить поведение схемы или отдельных её элементов при подаче на схему набора входных воздействий, например, оценить правильность работы спроектированной схемы. Моделируя работу схемы, содержащей неисправный элемент, на наборах, составляющих контролирующий тест, можно оценить полноту этого теста.
Отметим преимущества и недостатки этих методов. Для прямых методов требуются построения алгебро-структурных описаний схем на основе схемных списков; как правило, эти методы ориентированы на определённый класс схем, например синхронные и асинхронные. Для косвенных методов не требуется построения иных описаний схем, кроме схемного списка, кроме того, они не зависят от класса анализируемых схем. Однако для косвенных методов, по сравнению с прямыми, может потребоваться значительно больше времени для определения нужного входного воздействия. Косвенные методы анализа носят универсальный характер и применяются в том случае, когда прямые методы не разработаны или слишком сложны для какого-либо класса схем. Прямые и косвенные методы анализа дополняют друг друга. Если, например, тест для схемы был составлен “вручную” с использованием прямых методов, то моделирование может быть применено для анализа теста на полноту.
В данной работе предлагается косвенный метод анализа.
1.3. Описание тестовой диагностики.
Проблема тестового диагностирования цифровых схем возникает на различных этапах их производства и эксплуатации и включает взаимосвязанные задачи. Первая из них заключается в определении, в каком состоянии находится исследуемая схема.[3] Основным состоянием цифровых схем является исправное - это такое техническое состояние схемы, при котором она удовлетворяет всем требованиям, установленным технической документацией. В противном случае схема находится в одном из неисправных состояний.
Если установлено, что цифровая схема неисправна, то решается вторая задача: осуществляется поиск неисправности схемы, цель которого - определение места и вида неисправности.
Из множества различных видов неисправностей выделяется класс логических неисправностей, которые изменяют логические функции элементов цифровой схемы. Для их описания в большинстве случаев используются следующие математические модели.
1. Константные неисправности: константный нуль и константная единица, что означает наличие постоянного уровня логического нуля или логической единицы на входах и выходе неисправного логического элемента.
2. Неисправности типа “короткое замыкание” (мостиковые неисправности) появляются при коротком замыкании входов и выходов логических элементов и подразделяются на два вида: неисправности, вызванные коротким замыканием входов логического элемента, и неисправности типа обратной связи.
3. Инверсные неисправности описывают физические дефекты цифровых схем, приводящие к появлению фиктивного инвертора по входу или выходу логического элемента, входящего в данную схему.
4. Неисправности типа “перепутывание” заключаются в перепутывании связей цифровой схемы и вызываются ошибками, возникающими при проектировании и производстве цифровых схем, которые изменяют функции, выполняемые схемой.
Классическая стратегия тестирования цифровых схем основана на формировании тестовых последовательностей, позволяющих обнаруживать заданные множества их неисправностей. При этом, для проведения процедуры тестирования, хранятся как сами тестовые последовательности, так и эталонные выходные реакции схем на их воздействие. В процессе тестирования при соответствии полученных реакций схемы эталонным она считается исправной, в противном случае схема содержит неисправность и находится в неисправном состоянии.
Логическая взаимосвязь функциональных блоков построена следующим образом: с генератора тестовых воздействий через цифровую схему сигналы поступают на схему сжатия информации (сигнатурный анализатор). Сжатые выходные реакции (сигнатуры) попадают на схему сравнения, где они сравниваются с эталонными сигнатурами, которые хранятся в блоке эталонных реакций. Далее информация попадает в устройство вывода информации о состоянии схемы.
Все данные блоки реализованы в виде математической модели на компьютере.
В данной работе в качестве блока сжатия информации смоделирован многоканальный сигнатурный анализатор.
1.4. Принципы генерирования случайных и псевдослучайных последовательностей.
В задачах активных экспериментальных исследований современных сложных технических систем с применением статистических методов важное место принадлежит генерированию сигналов возбуждения.[4] Диктуется это не только необходимостью подачи на объект требуемого числа воздействий с заданными свойствами, но и максимальной скорости их выработки. Одним из наиболее распространённых в настоящее время методов формирования таких процессов является преобразование сигналов, получаемых с помощью так называемых генераторов белого шума (ГБШ). В применении к цифровым методам генерирования под белым шумом понимается последовательность некоррелированных чисел или цифр, распределённых, как правило, по равномерному закону.
Известны два основных метода получения цифрового белого шума: физический - генерирование случайных двоичных чисел с помощью специальных устройств - генераторов случайных чисел (ГСЧ); математический - формирование псевдослучайных числовых последовательностей (ПСЧП) по специальным программам или с использованием генераторов псевдослучайных чисел (ГПСЧ).
Принцип действия ГСЧ состоит в преобразовании случайного сигнала на выходе физического источника шума в импульсную последовательность с вероятностью появления импульса p(1)=0,5.
Общими и наиболее существенными недостатками, затрудняющими применение ГСЧ, являются ограниченное быстродействие, определяемое первичным аналоговым источником шума; низкая стабильность основных вероятностных характеристик, объясняемая нестабильностью первичных источников, дрейфом параметров преобразующих схем, источников питания и др., что требует периодической статистической проверки качества генерируемой последовательности; сложность аппаратурной реализации, вызываемая наличием нескольких источников питания; невозможность воспроизведения и предсказания генерируемых последовательностей в силу их случайной природы и т.д.
Указанные недостатки физических ГСЧ явились причиной всё более широкого распространения математических методов получения шумовых числовых последовательностей. Мгновенные значения таких псевдослучайных последовательностей в отличие от случайных в принципе могут быть предсказаны заранее. В то же время все оценки статистических характеристик конкретной реализации ПСЧП совпадают с оценками соответствующей ей случайной выборки. Любую статистическую характеристику псевдослучайной числовой последовательности можно получить, используя реализацию длиной в один период повторения ПСЧП. Для истинно случайной последовательности это потребовало бы бесконечно большую длину реализации. Искусственное увеличение периода ПС - сигнала неограниченно приближает его структуру к структуре одной из возможных реализаций истинно случайного процесса. Однако и при ограниченных величинах периода в определённых условиях псевдослучайные числовые последовательности могут заменить случайные. При анализе псевдослучайной реализации равной или меньшей длине периода вообще практически невозможно определить, является ли она отрезком регулярной или случайной последовательности. С другой стороны, если записать конкретную случайную реализацию на каком-либо носителе, и периодически воспроизводить её, то получим регулярную ПСЧП.
Таким образом, с точки зрения реальных характеристик трудно установить границу между случайными и псевдослучайными числовыми последовательностями. В то же время применение ПСЧП имеет ряд существенных преимуществ: периодический характер псевдослучайного сигнала обуславливает низкий уровень дисперсии оценок, получаемых при усреднении в течение целого числа периодов; характеристики ПСЧП абсолютно стабильны и определяются алгоритмом формирования псевдослучайных чисел; последовательность можно повторить с любого желаемого участка реализации, для чего не требуется сложных запоминающих устройств и др.
При этом, порождающий полином (x) M-последовательности, генератор которой содержит сумматоры по модулю два в цепи обратной связи, является взаимно обратным к полиному M(x), т.е. (x)= M-1(x)=xmM(x-1).
1.5. Особенности построения генераторов тестовых последовательностей.
При компактном тестировании для реализации тестовой последовательности используются простейшие методы, позволяющие избежать сложной процедуры синтеза.[2] К ним относятся следующие процедуры синтеза:
1. Формирование всевозможных входных тестовых наборов, т.е. полного перебора двоичных комбинаций. В результате применения подобного алгоритма генерируются так называемые счётчиковые последовательности.
2. Формирование случайных тестовых наборов с требуемыми вероятностями появления единичного и нулевого символов по каждому входу ЦС.
3. Формирование псевдослучайных тестовых последовательностей.
Основным свойством этих алгоритмов является то, что в результате их применения воспроизводятся последовательности очень большой длины. Поэтому на выходах проверяемой ЦС формируются её реакции, имеющие ту же длину. При этом если для генераторов тестовых последовательностей, формирующих счётчиковые, случайные и псевдослучайные последовательности, не существует проблемы их запоминания и хранения, то для выходных реакций каждой схемы такая проблема имеет место быть. Простейшим решением, позволяющим сократить объём хранимой информации об эталонных выходных реакциях, являются методы компактного тестирования.
ГЛАВА 2.Сигнатурный анализ.
2.1. Описание сигнатурного анализа.
В настоящее время в новой технике тестирования цифровых схем сигнатурный анализ применяется наиболее часто. Это было предопределено несколькими причинами [5], например такими: Равномерность закона распределения вероятности необнаружения ошибки кратности i и Множество необнаруживаемых ошибок V кратности i включает в себя маловероятные конфигурации ошибочных бит в последовательности данных.
Построить сигнатурный анализатор можно двумя способами: 1)метод деления полиномов и 2)метод свёртки.
Главная идея сигнатурного анализа при использовании метода деления полинома на полином основывается на выполнении операции деления многочленов. В качестве делимого используется поток данных, формируемых на выходе анализируемого цифрового узла, который может быть представлен как многочлен p(x) степени -1, где - длина потока. Делителем служит примитивный неприводимый полином (x), в результате деления на который получается частное q(x) и остаток S(x), связанные соотношением
2.2. Одноканальный сигнатурный анализатор.
Типовая структурная схема сигнатурного анализатора состоит из регистра сдвига и сумматора по модулю 2, на входы которого подключены выходы разрядов регистра в соответствии с порождающим полиномом(x) (рис. 2.3.) [5]. Управляющими сигналами сигнатурного анализатора являются СТАРТ, СТОП и СДВИГ. Сигналы СТАРТ и СТОП формируют временной интервал, в течение которого осуществляется процедура сжатия информации на анализаторе. Под действием сигнала СТАРТ элементы памяти регистра сдвига устанавливаются в исходное состояние, как правило, нулевое, а сам регистр начинает выполнять функцию сдвига на один разряд вправо под действием синхронизирующих сигналов СДВИГ. По приходу каждого синхронизирующего импульса в первый разряд регистра сдвига записывается информация, соответствующая выражению (2.1.2), где y(k){0,1} - k-й символ сжимаемой последовательности {y(k)}, k=1,2... ; i{0,1} - коэффициенты порождающего полинома (x); ai(k-1){0,1} - содержимое i-го элемента памяти регистра сдвига в k-1 такт. Процедура сдвига информации в регистре описывается соотношением (2.1.3). Причём , как правило, принимается равным или меньше величины 2m-1 и соответственно определяет длину сжимаемой последовательности. По истечении тактов функционирования сигнатурного анализатора на его элементах памяти фиксируется двоичный код, который представляет собой сигнатуру, отображаемую в виде 16-ричного кода.
Таким образом, путём формирования тестовой последовательности на входах анализируемого цифрового устройства для каждого его полюса находим эталонные значения сигнатур, множество которых запоминается и в дальнейшем используется для сравнения со значениями сигнатур, снимаемых с проверяемых устройств. Любое отличие реально полученной сигнатуры от эталонной свидетельствует о том, что полюс схемы функционирует отлично от случая исправного состояния устройства. Причина, вызвавшая отличие сигнатур на данном полюсе, может быть установлена последовательным анализом сигнатур от указанного полюса к входам устройства.
Эффективность использования такого сигнатурного анализатора ограничивается наличием в нём только одного информационного входа, в то время как количество выходов сложных цифровых узлов достигает значительных величин. Исследование подобных узлов осуществляется с использованием нескольких сигнатурных анализаторов, путём свёртки по модулю два выходных последовательностей или с применением некоторых других схемных решений.[1] Применение таких подходов для анализа многовыходных цифровых схем приводит или к существенному увеличению аппаратурных затрат, или к уменьшению величины вероятности P обнаружения ошибки. Поэтому для многовыходных цифровых узлов создание высокоэффективных цифровых анализаторов весьма актуально.
2.3. Многоканальные сигнатурные анализаторы.
Проблема анализа многовыходных цифровых схем и процесс их тестирования заключается в определении возникновения неисправности схемы по её выходным реакциям. Отличительной особенностью подобного анализа является необходимость исследования достаточно большого количества выходных реакций схемы (число их может достигать нескольких сотен). Поэтому использование традиционных методов компактного тестирования, применяемых для одновыходных цифровых схем, в данном случае не позволяет получить желаемого эффекта.[5] Действительно, попытка провести анализ n - выходной цифровой схемы одноканальным СА приводит к увеличению в n раз времени, необходимого для анализа схемы, или оборудования, требуемого для реализации n сигнатурных анализаторов. При этом остаётся открытым вопрос о разрядности сигнатуры, которая также может увеличиться в n раз. Поэтому на практике чаще всего используют специальные методы и приёмы. Наиболее часто применяемым из них является метод, основанный на преобразовании n выходных последовательностей длиной в одну последовательность по выражению:
Практическая реализация этого метода может быть выполнена как процедура сжатия в пространстве или во времени. В том и другом случае реализуется идея получения компактных оценок, характерная для методов компактного тестирования.
Как показано в [6] эффективность алгоритма сжатия информации, реализующего соотношение (2.3.1) определяется как:
где ? - кратность ошибки, причём для нечётных значений ? (- это вероятность необнаружения ошибки кратности ?).
Для оценки вида распределения вероятностей рассмотрим конкретный пример n=3 – выходной цифровой схемы, длина выходных реакций которой составляет 21. В результате преобразования трех исходных последовательностей в последовательность , некоторые их ошибки станут необнаруживаемыми и будут оцениваться выражением:
которое справедливо для .
Ограничиваясь , определяем согласно (2.3.3) .
Анализ полученных численных значений вероятностей , а также общего выражения (2.3.2) показывает неравномерность закона их распределения, что свидетельствует о достаточно невысокой эффективности рассматриваемого алгоритма сжатия. Кроме того, необходимо отметить большую размерность результата сжатия, которая равна длине выходных реакций схемы. Поэтому на практике чаще всего используется компромиссное решение, заключающееся в двухступенчатом преобразовании выходных реакций n – выходной цифровой схемы. Первоначально n выходных последовательностей длиной преобразуются в последовательность по выражению (2.3.1). Далее сформированная таким образом последовательность снимается в m – разрядную сигнатуру (рис. 2.4)
Она используется для анализа выходных реакций четырехвыходных цифровых схем. При этом конечное значение кода является результирующим значением сигнатуры S(y), представляющей собой компактную оценку сжатия четырех последовательностей
Можно показать, что схема, приведённая на рис.2.5, эквивалентна относительно конечного результата простейшей сигнатуры двухступенчатого сжатия информации (рис. 2.4). А это значит, что в обоих случаях для оценки эффективности можно применять формулу (2.3.3). Оба подхода получения сигнатур отличаются неравномерностью закона распределения вероятностей необнаружения ошибки кратности ?, а, следовательно, невысокой эффективностью. Кроме того, сигнатура многоканального сигнатурного анализатора (МСА), а также размерность сигнатуры S(y) однозначно определяется количеством выходов n исследуемой схемы. Поэтому с увеличением n сложность устройства сжатия и количество бит, используемых для представления сигнатуры S(y), принимает практически недопустимые размеры. Попытка использовать идею каскадирования многоканальных сигнатурных анализаторов позволяет уменьшить размерность результирующей сигнатуры, однако в этом случае оказывается сложным оценить достоверность такого анализатора [6], которая будет зависеть от организации взаимосвязи МСА и их конкретной реализации.
2.4.Многоканальный сигнатурный анализатор использованный в данной работе.
Предположим, что рассмотренный одноканальный анализатор используется для анализа цифрового узла, имеющего каналов, причём выходных последовательностей в данном случае преобразуются в одну последовательность вида
где - значение двоичного символа на -м выходе цифрового узла в -й такт его работы, а тактовая частота работы анализатора в раз выше частоты синхронизации исследуемого узла. При этом в каждый такт работы анализатора на его вход последовательно, начиная с первого выхода, поступают значения . Функционирование одноканального анализатора в многоканальном режиме, когда количество каналов равняется , описывается системой уравнений
где численное значение коэффициентов определяется на основании следующей системы уравнений
Для заданных значений и , где определяет достоверность диагностирования, алгоритм построения многоканального сигнатурного анализатора состоит из следующих этапов.
1. Вычисляются постоянные коэффициенты
где
2. Определяются коэффициенты причём значения коэффициентов вычисляются на основании соответствующей системы уравнений, а значения остальных коэффициентов определяются согласно выражению
3. Строится функциональная схема многоканального сигнатурного анализатора на основании полученной системы уравнений
При этом используются результаты этапов 1 и 2, позволяющих однозначно определить топологию связей многовходовых сумматоров по модулю два, на выходах которых формируются значения .
2.6. Применение многоканальных анализаторов для диагностики неисправностей.
С помощью многоканальных сигнатурных анализаторов можно существенно ускорить процедуру контроля цифровых схем, которая практически увеличивается в n раз, где n – количество входов применяемого анализатора. В случае совпадения реально полученной сигнатуры с её эталонным значением считается, что с достаточно высокой вероятностью проверяемая цифровая схема находится в исправном состоянии. На этом процедура её исследования оканчивается. В противном случае, когда схема содержит неисправности, реальная сигнатура, как правило, отличается от эталонной, что служит основным аргументом для принятия гипотезы о неисправном состоянии схемы. В тоже время вид полученной сигнатуры не несёт никакой дополнительной информации о характере возникшей неисправности. Более того, остаётся открытым вопрос о том, какие из n анализируемых последовательностей, инициирующих реальную сигнатуру, содержат ошибки, т.е. возникает задача локализации неисправности с точностью до последовательности, несущей информацию о её присутствии. Рассмотрим возможные варианты решения данной задачи для случая применения n – канальных анализаторов.
Предварительно докажем следующую теорему.
Теорема. Суммарная сигнатура S(x), полученная для последовательностей на n – канальном сигнатурном анализаторе, равна поразрядной сумме по модулю два сигнатур , , причём каждая из сигнатур , формируется для последовательности при условии, что .
Доказательство. В n – канальном анализаторе n входных последовательностей преобразуются в одну вида:
Такая входная последовательность, анализируемая n канальным сигнатурным анализатором, описывается следующим двоичным полиномом:
который состоит из суммы по модулю два полиномов вида:
описывающих выходные последовательности . Каждый полином можно представить в виде соотношения:
где -полином, взаимно обратный полиному , используемому для реализации n – канального сигнатурного анализатора; - сигнатура последовательности .
Основной результат данной теоремы, выраженный соотношением (2.6.5), справедлив для примитивного полинома и произвольных значений n и l. Следствием этой теоремы является возможность определения эталонной сигнатуры для произвольного множества входных последовательностей. Так, эталонное значение сигнатуры для первой, второй и пятой последовательностей будет вычисляться как
Используя результаты теоремы, можно формализовать процедуру контроля цифровой схемы. При этом входными последовательностями этого анализатора в общем случае могут быть последовательности, формируемые на входных, промежуточных и выходных полюсах схемы, для которых в результате предварительных исследований определены значения эталонных сигнатур . Не нарушая общности, предположим, что n=2d, и представим процедуру контроля в виде следующего алгоритма.
Алгоритм контроля цифровой схемы локализацией неисправности до первой последовательности, содержащей вызванные ею ошибки.
1. В результате анализа n=2d реальных последовательностей на n – канальном анализаторе определяется значение сигнатуры S*(x), которое соответствует соотношению:
Учитывая эквивалентность функционирования n - канального сигнатурного анализатора и соответствующего ему одноканального анализатора относительно результата сжатия n входных последовательностей логично оценить достоверность МСА, используя результаты, полученные для одноканального сигнатурного анализатора. Действительно, в случае применения примитивного полинома вероятность необнаружения ошибок в последовательностях многоканальным сигнатурным анализатором для где m – старшая степень порождающего полинома, будет определяться соотношением:
Это соотношение справедливо для любого соотношения и , произведение которых равно 2m-1.[6] Приведённая интегральная характеристика эффективности МСА, также как и характеристика одноканального сигнатурного анализатора, является достаточно приближённой оценкой, справедливой для общих допущений. Более полной характеристикой МСА будет распределение вероятностей необнаружения возникшей ошибки кратности ? в анализируемых последовательностях . При этом численное значение указанных вероятностей, как и в случае одноканального анализатора, определяется выражениями:
Попытка применить это выражение для оценки значений при анализе последовательности , когда на n – канальном анализаторе не всегда позволяет получить верные результаты.
Теорема. Множество ошибок последовательности необнаруживаемых одноканальным СА, реализованном на основании примитивного полинома , старшая степень которого равна m, соответствует множеству необнаруживаемых ошибок n = 2d – канальным анализатором, (d – целое положительное число) при условии отсутствия ошибок в последовательностях .
Таким образом, достоверность многоканального сигнатурного анализатора может быть оценена либо интегральной величиной , либо распределением вероятностей необнаружения ? - кратной ошибки в анализируемых последовательностях . Более предпочтительным значением n является значение, удовлетворяющее требованию n = 2d. Анализ последовательности для на подобном анализаторе будет эквивалентен анализу на соответствующем одноканальном анализаторе.