Оригинальную версию

Содержание

Введение
1. Основные понятия и определения
2. Топологическое представление радиоцепи
3. Расчет цепей на основе направленных графов
Список используемой литературы
Список обозначений

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОЧАСТОНЫХ РАДИОЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ НАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

Введение

В статье рассматриваются некоторые вопросы применения теории графов для расчета высокочастотных радиоцепей, описываемых матрицей рассеяния: составление графа цепи из нескольких 2 - полюсников, различные способы преобразования и примеры расчета.

1. Основные понятия и определения

Для расчетов радиоцепей большое распространение получили методы матричной алгебры. Однако эти методы применительно к анализу сложных цепей приводят к чрезвычайно трудоемким расчетам, затрудняют установление зависимостей между отдельными параметрами и представление исходной цепи в виде комплекса простых структур. Эти недостатки в значительной степени устраняются применением метода направленных графов [ 1, 2 ], сущность которого заключается в том, что матричные уравнения, описывающие систему, могут быть заменены соединениями элементарных графов, преобразования которых соответствуют матричным преобразованиям, но выполняются значительно проще. Преимущество этого метода также в том, что математическое описание задачи с помощью направленных графов естественным образом вытекает из физического строения системы и не требует записи исходных матричных уравнений. Направленный граф служит топологической формой представления уравнений системы относительно выбранных переменных, т.е. топологической моделью системы.
Рассмотрение топологических моделей высокочастотных цепей начнем с основных понятий теории графов. Необходимость этого вытекает из отсутствия единой терминологии и устранения возможности неправильного толкования отдельных терминов.
Графом - называется система точек и связывающих их линий. Каждая точка - узел графа; линия, связывающая две точки, - ветвь.
Направленный граф - граф, в котором все ветви имеют направление, ненаправленный - если ветви направления не имеют.
Направленному графу однозначно соответствует система линейных алгебраических уравнений, в которых узлы графа - переменные, а ветви - коэффициенты. Например системе уравнений

Узлы, имеющие только выходящие ветви - источники; узлы, имеющие только входящие ветви - стоки. На рис.1. источники - и , сток - .
Путь - непрерывная последовательность ветвей, вдоль которой каждый узел встречается не более одного раза. Если путь начинается и кончается в одной и той же точке, то он образует контур. Если контур образован одной ветвью, то это - элементарный контур. Дерево - совокупность соединенных ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного контура.
Каждая ветвь характеризуется величиной, называемой передачей ветви. Например, ветвь, соединяющая и , имеет передачу b. Величина пути - произведение передач ветвей пути k. Величина дерева - произведение передач ветвей этого дерева.

Определитель графа - сумма величин различных деревьев, содержащихся в данном графе. И, наконец, передача - сумма величин возможных путей между двумя узлами и .
в основе правил преобразования направленных графов потока сигналов лежит следующее утверждение - на величину сигнала в узде непосредственно влияют только входящие ветви; наличие выходных ветвей, если они не образуют элементарных контуров, на величину сигнала в узле не влияют.
Преобразования графов соответствуют преобразованиям, совершаемым с системой алгебраических уравнений, или, в более общем смысле, преобразованиям матрицы этой системы. Преобразования могут преследовать две цели - либо изменение структуры графа для более удобного (в каком-то смысле) установления зависимостей между величинами, либо для нахождения передачи между двумя узлами.

2.Топологическое представление радиоцепи

В теории электрорадио цепей существует несколько способов математического представления структуры цепи с помощью графов. Представления на основе токов и напряжений в качестве узловых переменных [ 1, 3 ] приводит к структурам графа, совпадающим с физической структурой электронной цепи. Радиотехнические цепи высоких и сверхвысоких частот также могут представлены [ 4 ] на основе полных токов и напряжений с использованием параметров матриц проводимостей и сопротивлений. Однако наибольший интерес для цепей с распределенными постоянными имеет представление на основе падающих и отраженных волн [ 5 ] , т.е. составляющих полных либо тока, либо, что чаще, напряжения. Если этот интерес определился ясным физическим смыслом и удобством параметров представления ( параметров матрицы рассеяния ), то с использованием графов сюда следует добавит другой важный фактор - совпадение физической структуры графа. Построение топологической модели сложной схемы начнем с простейшей - четырехполюсник, включенный между генератором и нагрузкой (рис. 2.). если - есть падающие и рассеиваемые волны на граничных сечениях четырехполюсника и - соответствующие волны в сечениях генератора и нагрузки, то имеют место следующие две системы уравнений, связывающих эти величины:
Соответствующие графы этих систем приведены на рис.3 а, б. Как видно на рис.3,а граф четырехполюсника, представленного, матрицей рассеяния [ S ] , совпадает с физической структурой системы и поэтому имеет простую интерпретацию.
С точки зрения теории графов, граф Т - матрицы получается из графа S - матрицы путем инверсии пути . В некоторых случаях такая инверсия упрощает расчет цепи, т.к. устраняет нежелательные контуры. Примером может служить последовательное соединение четырехполюсников, коэффициент передачи которых проще рассчитывается на основе Т - матрицы. Тем не менее, учитывая известные преимущества S - матрицы, ограничим рассмотрение соответствуемыми ей графами.
Связь между падающими и прошедшими волнами для шестиполюсника описывается следующей системой алгебраических уравнений:

Этой системе уравнений соответствует граф, приведенный на рис. 4. Анализируя этот граф, нетрудно установить некоторые закономерности его построения, на основании которых можно построить любой 2х - полюсник, не записывая соответствующую систему уравнений.
Действительно:
1) все а - источники, b - стоки;
2) из каждого узла а идут ветви к каждому узлу b ;
3) передача ветвей есть коэффициент матрицы рассеяния ;
4) узлы а так же, как и b ,непосредственной связи между собой не имеют.
Располагая а и b попарно ( по полюсам ) и а напротив b, получаем граф, структура которого совпадает с физической структурой распространения волн в рассматриваемом многополюснике.

Если шестиполюсник нагружен отражающими нагрузками с коэффициентами отражения

то все узлы становятся зависимыми. Фактически это означает, что стоки b имеют утечку энергии за счет отражения. Генератор - источник энергии включается в любой а - узел, а индикатор - в b - узел.
Рассмотрим несколько примеров построения графов измерительных систем.

На рис.5, а приведен граф рефлектометра - двух последовательно соединенных направленных ответвителей, из которых один, ближний к нагрузке, настроен на выделение отраженной волны, а второй падающей. Сигналы , поступающие на вход индикаторных устройств, являются очень сложными функциями всех параметров системы, в том числе измеряемого параметра . Знание этих функций позволяет наиболее правильно выбрать способ уменьшения влияния остаточных параметров и оценить остаточные погрешности. На рис.5, б приведен граф идеального рефлектометра, в котором остаточные параметры отсутствуют.

На рис.6 показан граф измерительной линии, в котором x и y - независимые переменные, связанные соотношением х + у = const, а , - входные матрицы и матрица элементов связи, на рис.7 приведен граф резонансного измерителя параметров четырехполюсников с малыми потерями, где х и у - независимые переменные.
Графы сложных устройств и их отдельных частей могут быть составлены на основании блок - схем этих устройств. Например, на рис. 8 дана блок - схема высокочастотной части гетеродинного измерителя ослабления и фазы коэффициента передачи с использованием направленных ответвителей для смещения сигналов. Граф этой схемы ( рис. 9 ) составлен на основе соединения графов четырехполюсников и шестиполюсников.