Е.Б. Мундриевская, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования
Классической задачей статистической радиотехники является задача обнаружения сигнала на фоне случайных помех. Большинство из известных в настоящее время алгоритмов основано на байесовском подходе. Недостатком этого подхода является сложность получающихся алгоритмов и не всегда обоснованное на практике требование задания априорных распределений. Подобным недостатком избыточности априорной информации обладают и параметрические методы [2, 3, 4].
Особое положение среди алгоритмов обнаружения занимают непараметрические алгоритмы. Они более неприхотливы и универсальны, чем другие алгоритмы. Действительно, параметры обнаруживаемого сигнала могут быть известны неточно. Поэтому применение параметрических методов может быть затруднительно.
Основные виды непараметрических алгоритмов обнаружения рассмотрены в [5], к ним относятся знаковый, ранговый и их модификации.
Далее предложен новый непараметрический метод обнаружения синусоидального сигнала, основанный на изменении корреляционной функции наблюдаемой выборки.
Предположим, что на выходе некоторой системы наблюдается процесс, про который мы можем сказать следующее:
1. Это широкополосный шум известной верхней частоты .
2. Это смесь широкополосного шума с верхней частотой и синусоидального сигнала неизвестной частоты . Наблюдаемый процесс предполагается нормированным по интенсивности:
Требуется определить, какой из этих двух процессов мы наблюдаем (просто шум или шум с сигналом).
Для проcтоты изложения будем полагать, что , а и .
Пусть корреляционная функция шума имеет вид:
Корреляционную функцию сигнала запишем как:
Пусть
Величина этого отношения предполагается неизвестной.
Корреляционная функция смеси шума и сигнала:
Известно, что корреляционную функцию некоторого случайного процесса можно представить в виде канонического разложения [6]:
где, - ортонормированная система функций ( координатные функции );
Di - канонические дисперсии.
Очевидно, что . Поэтому можно предположить, что , где и - канонические дисперсии шума и сигнала.
Из условия следует, что .
Покажем, что для любого можно найти такие , что .
Запишем последнее выражение в развернутом виде:
Из (1) и (4):
Подставим в (7):
Приведем правую и левую часть неравенства к общему знаменателю:
Т. к. , то знаменатель можно отбросить. Раскроем скобки в правой части выражения:
Отсюда:
T. к. , то предыдущее выражение эквивалентно:
Очевидно, что при () . Следовательно . И каким бы ни было , которое нам неизвестно, может быть равен 0 при некоторых моментах корреляции, но не при всех. Т.е. .
Следовательно, алгоритм обнаружения сигнала в шуме можно строить исходя из вычисления канонических дисперсий наблюдаемой выборки.
При моделировании будем пользоваться следующей модификацией алгоритма, предложенного в [1].
Шаг 1. На основе выборки { yk} вычисляем ковариационные коэффициенты R(0)=Eyiy'i , R(1)=Eyi+1y'i , R(2)=Eyi+2y'i, R(3)=Eyi+3y'i .
Шаг 2. Строим матрицы:
Шаг 3. Вычисляем разложение:
Шаг 4. Определяем:
Шаг 5. Вычисляем разложение:
-- канонические дисперсии.
Шаг 6. Вычисляем сумму:
S=e1+e2.
Утверждается, что при любом можно устанавливить границу G распознавания гипотез о наличии или отсутствии сигнала так, чтобы Ssh+s>G>Ssh .
Покажем практическую состоятельность этого вывода.
Действительно, зная , можно организовать наблюдения с шагом .
Пусть - наблюдаемый процесс, который представляет собой шум без сигнала. При этом
Из предложенного алгоритма следует: если rsh(k)=0 (k=1,2,3), то .
Пусть теперь - наблюдаемый процесс, представляет собой комбинацию шума и сигнала, измеренную с шагом :
yi=yis + yish.
Шум и сигнал независимы друг от друга, поэтому
Поэтому
Rsh+s(k)=Eyi+ky'i=E(yi+ks + yi+ksh)(yis + yish)'=
=Eyi+ks(yis)'+Eyi+ksh(yish)'
Воспользуемся (8):
Rsh+s(k)=Eyi+ks(yis)'=rs(k).
Т.к. , то найдется такое , что , а значит, .
Несмотря на то, что мы предполагали неизвестной, , точнее , имеет значение для свойств критерия разделения гипотез о наличии или отсутствии сигнала в наблюдаемой выборке . Моделированием на точной корреляционной функции Rsh+s(k) было установлено, что зависимость от отношения имеет вид, изображенный на рисунке.
Список литературы
Desai U.B., Pal D., Kirkpatrick R.D. A realization approach to stochastic model reduction // Int. J. Control. 1985. Vol. 42. N. 4. P. 821-838.
Розов А.К. Алгоритмы последовательного обнаружения сигналов. СПб., 1991.
Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. М., 1989.
Жиглявский А.А., Красновский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Л., 1989.
Бирюков М.Н. Непараметрические алгоритмы обнаружения сигналов в импульсных помехах. М., 1991.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1969.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/