Рефетека.ру / Математика

Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизаменяется на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (1.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                    (1.2)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                    (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.4)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

с граничными условиями

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.5)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.6)

где

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                              (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                              (1.8)

В каждом интервале Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси решения Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиуравнения (1.4) имеют вид:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                            (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (1.10)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                            (1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси от Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                                         (1.12)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписывается явно.

Пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

и пустьВычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения задачи (1)-(3) и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.13)

Заметим прежде, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                               (1.14)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Представим ее в виде

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                (1.16)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                       (1.17)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                           (1.18)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующее равенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                               (1.19)

при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.2 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосисовпадают со всеми корнями уравнения Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.4 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.2)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. В случае, когда Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси; таким образом, для каждого Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Если бы мы знали все значения собственных функций Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, соответствующие собственным числам Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизадачи на полуоси, в точке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то, решая задачи на конечном промежутке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным граничным условием Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Дирихле) и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Неймана). Пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                         (2.3)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси[1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                                        (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора (Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - длина промежутка Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Пример

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Известно, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосивычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

III. Сингулярная задача. Случай Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (2.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                  (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиудовлетворяет следующим условиям

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси , при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси сохраняет знак для больших Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда спектр оператора Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосии Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси) стремится к нулю при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным краевым условием Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то справедливо равенство Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси для всех Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи (2.1)-(2.2), промежуток Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

IV. Сингулярная задача. Случай Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (3.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                   (3.2)

с дополнительными условиями:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси голоморфна в точке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, причем Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с единственной предельной точкой Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, а собственные функции Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, отвечающие собственным значениям Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, имеют в интервале Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси в точности Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси .

Известно (см. [3]), что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа.

Введем обозначения: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

n

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Промежуток

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

1 0.2500 0.25000… 0.247…

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

(1.16,6.82)
2 0.1111 0.11107… 0.111…

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

(1.06,16.9)
3 0.0625 0.06249… 0.063…

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

(1.03,30.9)
4 0.0400 0.39995… 0.041…

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

(1.02,48.9)
5 0.0277 0.0277715 0.028…

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

(1.01,70.9)

Список литературы

Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4

Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.

Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.

Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.

Рефетека ру refoteka@gmail.com