Московский городской институт управления Правительства Москвы
Лабораторные работы
по дисциплине
«Экономико-математические методы и модели»
Подготовила студентка V курса Евдокимова Е. Д.
Преподаватель – Новикова Г. М.
Москва
2004
Содержание
Задание №1……………………………………………………………….3
Задание №2……………………………………………………………….8
Задание №3……………………………………………………………...11
Задание №4……………………………………………………………...14
Задание №5……………………………………………………………...16
Задание №6……………………………………………………………...20
Задание №1
Тема: Сетевое моделирование при планировании
Задача: Разработка, анализ и оптимизация сетевого графика при календарном планировании проекта
Компания «АВС» реализует проекты серийного производства различных видов продукции. Каждый проект обеспечивает получение в неделю 100 тыс. $ дополнительной прибыли. Перечень работ и их характеристики представлены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Перечень работ и их характеристики
|Работы|Непосредственн|Продолжительность |Стоимость |Коэффициент|
| |о |работы, недель |работы, тыс.|затрат на |
| |предшествующие| |$ при |ускорение |
| |работы | |t(i,j)=tHB(I|работы |
| | | |,j) | |
| | |tmin |tmax | | |
|A |- |4 |6 |110 |22 |
|B |- |7 |9 |130 |28 |
|C |- |8 |11 |160 |18 |
|D |A |9 |12 |190 |35 |
|E |C |5 |8 |150 |28 |
|F |B, E |4 |6 |130 |25 |
|G |C |11 |15 |260 |55 |
|H |F, G |4 |6 |90 |15 |
Задание:
1. Изобразить проект с помощью сетевой модели.
2. Определить наиболее вероятную продолжительность каждой работы.
3. Найти все полные пути сетевого графика, определить критический путь, ожидаемую продолжительность выполнения проекта и полную стоимость всех работ.
4. Разработать математическую модель оптимизации процесса реализации проекта.
Сетевой график
D
A
H
B F
C E
G
Наиболее вероятная продолжительность работ
tНВ = (2tmin + 3tmax)/5 tНВ A = (2*4 + 3*6)/5 = 5,2 tНВ B= (2*7 + 3*9)/5 = 8,2 tНВ C= (2*8 + 3*11)/5 = 9,8 tНВ D= (2*9 + 3*12)/5 = 10,8 tНВ E= (2*5 + 3*8)/5 = 6,8 tНВ F= (2*4 + 3*6)/5 = 5,2 tНВ G= (2*11 + 3*15)/5 = 13,4 tНВ H= (2*4 + 3*6)/5 = 5,2
Возможные полные пути
I. 1 – 2 – 5. Длина: tНВ A + tНВ D =5,2 + 10,8 = 16
II. 1 – 3 – 6 – 5. Длина: tНВ B + tНВ F + tНВ H = 8,2 + 5,2 +5,2 =
18,6
III. 1 – 4 – 6 – 5. Длина: tНВ C + tНВ G + tНВ H = 9,8 + 13,4 + 5,2 =
28,4
IV. 1 – 4 – 3 – 6 – 5. Длина: tНВ C + tНВ E + tНВ F + tНВ H = 9,8 +
6,8 + 5,2 + 5,2= = 27
Максимальная длина пути, равная 28,4 недели соответствует пути III, на котором лежат работы C, G, H. Следовательно, он является критическим.
Математическая модель
Примем за x1, x2 , …, x8 продолжительность работ A, B,…, H соответственно. x1 ( 4 (1) x2 ( 7 (2) x3 ( 8 (3) x4 ( 9 (4) x5 ( 5 (5) x6 ( 4 (6) x7 ( 11 (7) x8 ( 4 (8) x1 ( 6 (9) x2 ( 9 (10) x3 ( 11 (11) x4 ( 12 (12) x5 ( 8 (13) x6 ( 6 (14) x7 ( 15 (15) x8 ( 6 (16) x1 + x4 + x9 ( 28,4 (17) x2 + x6 + x8 + x9 ( 28,4 (18) x3 + x7 + x8 + x9 ( 28,4 (19) x3 + x5 + x6 + x8 + x9 ( 28,4 (20)
Функция цели: 22x1 + 28x2 + 18x3 + 35x4 + 28x5+ 25x6 + 55x7 + 15x8 +
100x9 max
Исходная матрица
Таблица 1.2
|A |6 |5,2 |-0,8 |22 |-17,6 |110 |92,4 |
|B |9 |8,2 |-0,8 |28 |-22,4 |130 |107,6 |
|C |8 |9,8 |1,8 |18 |32,4 |160 |192,4 |
|D |12 |10,8 |-1,2 |35 |-42 |190 |148 |
|E |7 |6,8 |-0,2 |28 |-5,6 |150 |144,4 |
|F |4 |5,2 |1,2 |25 |30 |130 |160 |
|G |11 |13,4 |2,4 |55 |132 |260 |392 |
|H |4 |5,2 |1,2 |15 |18 |90 |108 |
|Всего | | | | |124,8 |1220 |1344,8 |
|затрат | | | | | | | |
Таким образом, время выполнения работ A, B, D, E увеличилось по
сравнению с наиболее вероятным; продолжительность остальных работ
уменьшилась. Затраты на реализацию проекта возросли на 124,8 тыс. $.
Увеличение затрат произошло, в основном, из-за работы G, по которой
наблюдается наибольшее сокращение времени в сочетании с наивысшим
коэффициентом затрат на выполнение работы.
Из-за сокращения критического пути проект будет введен в эксплуатацию на 5,4 недели раньше. Т. к. прибыль за неделю составляет 100 тыс. $, то за этот срок она составит 100 тыс. $ * 5,4 = 540 тыс. $.
В результате дополнительная прибыль с учетом возрастания затрат на проведение работ составит 540 тыс. $ - 124,8 тыс. $ = 415,2 тыс. $
Задание №2
Тема: Графы
Задача о коммивояжере
Имеется 4 пункта. Время переезда из пункта I в пункт j представлено в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Исходные данные
|Из пункта i |В пункт j |
| |1 |2 |3 |4 |
|1 |0 |8 |8 |6 |
|2 |4 |0 |6 |12 |
|3 |10 |12 |0 |18 |
|4 |8 |10 |4 |0 |
График представлен на рисунке.
Требуется найти оптимальный маршрут, вычеркнув из таблицы отсутствующие маршруты.
Математическая модель
Обозначим за x маршруты, приведенные в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Обозначения
|xi |Пункт |Пункт |Время |
| |отправления |назначения |переезда |
|x1 |1 |2 |8 |
|x2 |1 |3 |8 |
|Продолжение |
|x3 |1 |4 |6 |
|x4 |2 |1 |4 |
|x5 |2 |3 |6 |
|x6 |2 |4 |12 |
|x7 |3 |1 |10 |
|x8 |3 |2 |12 |
|x9 |3 |4 |18 |
|x10 |4 |1 |8 |
|x11 |4 |2 |10 |
|x12 |4 |3 |4 |
Сумма входящих и исходящих маршрутов в каждом пункте равна 1.
Следовательно, система условий-ограничений выглядит следующим образом: x1 + x2 + x3 = 1 (1) x4 + x5 + x6 = 1 (2) x7 + x8 + x9 = 1 (3) x10 + x11 + x12 = 1 (4) x4 + x7 + x10 = 1 (5) x1 + x8 + x11 = 1 (6) x2 + x5 + x12 = 1 (7) x3 + x6 + x9 = 1 (8)
Функция цели: 8x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 + 6x5 + 12x6 + 10x7 + 12x8 + 18x9
+ 8x10 + 10x11 + 4x12 min
Исходная матрица условий задачи представлена в таблице 2.3.
Таблица 2.3
|(12 |(13 |(21 |(32 |(34 |(45 |(53 |(54 |
|3 |2 |1 |3 |2 |2 |3 |1 |
Математическая модель
Примем за х1, х2, …, х5 предельные вероятности состояний в стационарном режиме пунктов S1, S2, …, S5 соответственно. Произведение вероятности состояния на интенсивность исходящих из этого пункта потоков равна произведению интенсивностей входящих потоков на вероятность состояния в стационарном режиме пунктов их отправления. Система уравнений Колмогорова для данной задачи в общем виде выглядит следующим образом:
((13 + (12 )* х1 = (21 * х2 (1)
(21 * х2 = (12 * х1+ (32 * х3 (2)
((32 + (34 )* х3 = (13 * х1 + (53 * х5 (3)
(45 * х4 = (34 * х3+ (54 * х5 (4)
((54 + (53 )* х5 = (45 * х4 (5)
Кроме того, сумма всех вероятностей равна 1. При подстановке данных таблицы 4.1 и добавлении переменной х6 получаем:
5 х1 - х2 + х6 = 0 (1) х2 - 3х1 - 3х3 + х6 = 0 (2)
5 х3 - 2х1 - 3х5 + х6 = 0 (3)
2 х4 - 2х3 – х3 + х6 = 0 (4)
4 х5 - 2х4 + х6 = 0 (5) х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 = 1 (6)
Функция цели: М х6 max
Таблица 4.2.
Исходная матрица
|№ |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |х6 |Св.чл. |Знак |
|1 |5 |-1 |0 |0 |0 |1 |0 |= |
|2 |-3 |1 |-3 |0 |0 |1 |0 |= |
|3 |-2 |0 |5 |0 |-3 |1 |0 |= |
|4 |0 |0 |-2 |2 |-1 |1 |0 |= |
|5 |0 |0 |0 |-2 |4 |1 |0 |= |
|6 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |= |
|Ф.ц. |0 |0 |0 |0 |0 |М |max | |
Решение
Функционал = -500 х1 = 0,125 х2 = 0,625 х3 = 0,083 х4 = 0,111 х5 = 0,055
Сумма данных вероятностей составляет 0,999, т. е. погрешность, полученная при расчетах, крайне незначительна.
Задание №5
Тема: Имитационное моделирование
Задача: Расчет и анализ графика запуска-выпуска продукции в цехе мелкосерийного производства
В таблице 5.1 представлены технологические маршруты изготовления различных видов продукции, а также директивное время исполнения заказов (в условных единицах) и нормы затрат времени на обработку одной партии продукции на каждом из типов оборудования.
Общая масса заказа по каждому виду продукции разбивается на N партий так, что для каждого вида продукции выполняется условие:
Общая масса заказа = (масса партий)*(число партий)
Нормы затрат времени в каждом эксперименте имитационного моделирования обратно пропорциональны числу партий.
Требуется определить оптимальный маршрут изготовления продукции.
Таблица 5.1
Технологические маршруты изготовления продукции
| Продукция|Эксперимент №1 |Эксперимент №2 |Эксперимент №3 |
| | | | |
| | | | |
|Оборудование | | | |
|Изделие 1 |1 |6 |0 |0 |0 |1 |4 |26 |
|Изделие 2 |1 |0 |0 |0 |0 |2 |4 |14 |
|Изделие 3 |1 |0 |6 |0 |0 |0 |4 |25 |
|Изделие 4 |1 |0 |0 |0 |0 |3 |4 |12 |
|Изделие 5 |1 |0 |0 |3 |0 |0 |4 |25 |
|Изделие 6 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |4 |24 |
В итоге получился следующий график запуска-выпуска продукции.
Таблица 5.3.
График запуска-выпуска продукции
| |№1 |№2 |№3 | |
|№1 |0,15 |0,10 |0,30 |100 |
|№2 |0,25 |0,15 |0,25 |280 |
|№3 |0,30 |0,25 |0 |320 |
Математическая модель
х1 = 0,15х1 + 0,1х2 + 0,3х3 + 100 х2 = 0,25х1 + 0,15х2 + 0,25х3 + 280 х3 = 0,3х1 + 0,25х2 + 0х3 + 320
Отсюда, умножив уравнения на –1, получаем следующую систему уравнений ограничений:
0,85х1 - 0,1х2 - 0,3х3 - х4 = 100 (1)
-0,25х1 + 0,85х2 - 0,25х3 - х4 = 280 (2)
-0,3х1 + 0,25х2 + х3 - х4 = +320 (3)
Функция цели: -Мх4 max
Исходная матрица условий задачи представлена в таблице 6.2.
Таблица 6.2.
Исходная матрица
|№ |х1 |х2 |х3 |х4 |Знак |Св. чл. |
|1 |0,85 |-0,1 |-0,3 |-1 |= |100 |
|2 |-0,25 |0,85 |-0,25 |-1 |= |280 |
|3 |-0,3 |-0,25 |1 |-1 |= |320 |
|Ф. ц. |0 |0 |0 |-М |max | |
Решение
Функционал = 0 х1 = 401,292 х2 = 622,756 х3 = 596,077
Умножив полученные значения валового продукта на коэффициенты прямых затрат, получим решение, представленное в таблице 6.3.
Таблица 6.3.
Решение
|Производящие цехи |Потребляющие цехи |Конечный |Валовой |
| | |продукт |продукт |
| |1 |2 |3 | | |
|1 |60,15 |40,1 |120,3 |100 |401 |
|2 |155,75 |93,45 |155,75 |280 |623 |
|3 |178,8 |149,0 |0 |320 |596 |
|Итого | | | | | |
В таблице показаны затраты на производство продукции в количественном
выражении.
-----------------------
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
S1
S4
S3
S2
S5
1
3
5
2
4