Курсовая работа

Тема: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода .

Работу выполнил студент УТФ-4-2

Кулаков О. А.

Оглавление .

Введение

Моделирование как метод научного познания.

Введение в симплекс-метод

Словесное описание
Математическое описание
Ограничения
Переменные
Целевая функция

Симплекс-метод .

Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования
Вычислительные процедуры симплекс-метода

Анализ результатов .

Оптимальное решение
Статус ресурсов
Ценность ресурса
Максимальное изменение запаса ресурса
Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли ( стоимости )

Моделирование как метод научного познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний : техническое конструирование , строительство и архитектуру , астрономию , физику , химию , биологию и , наконец , общественные науки .
Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в . Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками . Отсутствовала единая система понятий, единая терминология . Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания .

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений . Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний .

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале .

Под моделирование понимается процесс построения , изучения и применения моделей . Оно тесно связано с такими категориями , как абстракция , аналогия , гипотеза и др . Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций , и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том , что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей . Модель выступает как своеобразный инструмент познания , который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект . Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций , аналогий , гипотез , других категорий и методов познания .

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты ( или проблемы , относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - циклический процесс . Это означает , что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй , третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель постепенно совершенствуется . Недостатки , обнаруженные после первого цикла моделирования , бусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели , можно исправить в последующих циклах . В методологии моделирования , таким образом , заложены большие возможности саморазвития .

Словесное описание

Фирма , производящая некоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение . Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $ , а стоимость телерекламы - в 100$ за минуту .

Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц . Так же известно , что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайней мере в 2 раза чаще , чем по телевидению .

Опыт предыдущих лет показал , что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежели радиореклама .

Задача заключается в правильном распределении финансовых средств фирмы .

Математическое описание .

X1 - время потраченное на радиорекламу .
X2 - время потраченное на телерекламу .
Z - искомая целевая функция , оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов рекламы .
X1=>0 , X2=>0 , Z=>0 ;
Max Z = X1 + 25X2 ;
5X1 + 100X2 0
Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными . При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата . В данной главе рассматривается общий метод решения задач ЛП , называемый симплекс-методом .

Информация , которую можно получить с помощью симплекс-метода , не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных . Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность .

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор , пока не будет получено оптимальное решение . Процедуры , реализуемые в рамках симплекс-метода , требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач линейного программирования .

Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений , используемых при решении большинства оптимизационных задач . В данной главе рассматриваются итерационные процедуры такого рода , обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций .

В гл 2 было показано , что правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками . Кроме того , переменные , фигурирующие в задачах ЛП , могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке . Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме , которую назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей . При стандартной форме линейной модели
1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью ;
2. Значения всех переменных модели неотрицательны ;
3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации .
Покажем , каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной
.

Ограничения

1. Исходное ограничение , записанное в виде неравенства типа ) , можно представить в виде равенства , прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ) .

Например , в левую часть исходного ограничения

5X1 + 100X2 0 , в результате чего исходное неравенство обращается в равенство

5X1 + 100X2 + S1 = 1000 , S1 => 0
Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса , переменную
S1 следует интерпретировать как остаток , или неиспользованную часть , данного ресурса .

Рассмотрим исходное ограничение другого типа :

X1 - 2X2 => 0
Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой , для обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части избыточную переменную S2 > 0 . В результате получим

X1 - 2X2 - S2 = 0 , S2 => 0
2. Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной , умножая оби части на -1 .
Например равенство X1 - 2X2 - S2 = 0 эквивалентно равенству - X1 + 2X2 +
S2 = 0
3. Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих частей на -1 .

Например можно вместо 2 < 4 записать - 2 > - 4 , неравенство X1 - 2X2
0

Переменные

Любую переменную Yi , не имеющую ограничение в знаке , можно представить как разность двух неотрицательных переменных :

Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.
Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях , которые содержат исходную переменную Yi , а также в выражении для целевой функции .

Обычно находят решение задачи ЛП , в котором фигурируют переменные
Yi’ и Yi’’ , а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Yi
. Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том , что при любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение , т.е. если Yi’>0 , то Yi’’=0, и наоборот . Это позволяет рассматривать Yi’ как остаточную переменную , а Yi’’ - как избыточную переменную , причем лишь одна из этих переменных может принимать положительное значение . Указанная закономерность широко используется в целевом программировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30

Целевая функция

Целевая функция линейной оптимизационной модели , представлена в стандартной форме , может подлежать как максимизации , так и минимизации .
В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию
.

Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции , взятой с противоположным знаком , и наоборот . Например максимизация функции

Z = X1 + 25X2 эквивалентна минимизации функции

( -Z ) = -X1 - 25X2
Эквивалентность означает , что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X1 , X2 , в обоих случаях будут одинаковы . Отличие заключается только в том , что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки будут противоположны .

Симплекс-метод .

В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс , при котором , начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ) , осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор , пока не будет найдена точка , соответствующая оптимальному решению .

Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели , посроенной для нашей задачи . Пространство решений этой задачи представим на рис. 1 . Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ) . Решение , соответствующее этой точке , обычно называют начальным решением . От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке .

Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами .

1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей .

Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства решений .

2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться .

Таким образом , отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки , и все переходы осуществляются только к смежным точкам , причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность .

Определим пространство решений и угловые точки агебраически .
Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических и алгебраических определений .

|Геометрическое |Алгебраическое |
|определение |определение |
| |( симплекс метод ) |
|Пространство решений |Ограничения модели |
| |стандартной формы |
|Угловые точки |Базисное решение задачи в|
| |стандартной форме |

Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования .

Линейная модель , построенная для нашей задачи и приведенная к стандартной форме , имеет следующий вид :

Максимизировать

Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2

При ограничениях

5X1 + 100X2 + S1 = 1000

- X1 + 2X2 + S2 = 0

X1=>0 , X2=>0 , S1=>0 , S2=>0

Каждую точку пространства решений данной задачи , представленную на рис.1 , можно определить с помощью переменных X1 , X2 , S1 и S2 , фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0 ограничения модели эквивалентны равенствам , которые представляются соответствующими ребрами пространства решений . Увеличение переменных S1 и S2 будет соответствовать смещению допустимых точек с границ пространства решений в его внутреннюю область. Переменные X1 , X2 , S1 и S2 , ассоциированные с экстремальными точками А , В , и С можно упорядочить , исходя из того , какое значение ( нулевое или ненулевое ) имеет данная переменная в экстремальной точке .

|Экстремальная |Нулевые переменные|Ненулевые переменные|
|точка | | |
|А |S2 , X2 |S1 , X1 |
|В |S1 , X2 |S2 , X1 |
|С |S1 , S2 |X1 , X2 |

Анализируя таблицу , легко заметить две закономерности:

1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре

неизвестных , поэтому в каждой из экстремальных точек две ( = 4 - 2 ) переменные должны иметь нулевые значения .
2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной пе-

ременной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ) ,
Первая закономерность свидетельствует о возможности опре-

деления экстремальных точек алгебраическим способом путем при-

равнивания нулю такого количества переменных , которое равно

разности между количеством неизвестных и числом уравнений .

В этом состоит сущность свойства однозначности экстремальных

точек . На рис. 1 каждой неэкстремальной точке соответствует

не более одной нулевой переменной . Так , любая точка внутренней

области пространства решений вообще не имеет ни одной нулевой

переменной, а любая неэкстремальная точка , лежащая на границе ,

всегда имеет лишь одну нулевую переменную .
Свойство однозначности экстремальных точек позволяет опре-

делить их алгебраическим методом. Будем считать , что линейная

модель стандартной формы содержит т уравнений и п ( т 0 ( 1 )

X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0 ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-

трим два случая .

Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .
Случай 2: D1 < 0 . Решаем неравенства : ( 1 )
( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000

( 2 )
( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000

Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно

сделать вывод , что при - 1000 0
5/22 - 50/55d1 => 0
Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1