1.Модель с аддитивной компонентой
Аддитивную модель прогнозирования можно представить в виде формулы:

F = T + S + E где: F – прогнозируемое значение; Т – тренд; S – сезонная компонента;
Е – ошибка прогноза.
Алгоритм построения прогнозной модели
Для прогнозирования объема продаж, имеющего сезонный характер, предлагается следующий алгоритм построения прогнозной модели:
1.Определяется тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Существенным моментом при этом является предложение использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели.
2.Вычитая из фактических значений объёмов продаж значения тренда, определяют величины сезонной компоненты и корректируют таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.
3.Рассчитываются ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.
Применение алгоритма рассмотрим на следующем примере.
Исходные данные: Объемы фактических расходов бюджета _________ района, взяты из месячной и годовой отчетности финансового управления администрации
________ района. Данная статистика характеризуется тем, что значения объёма продаж имеют выраженный сезонный характер с возрастающим трендом. Исходная информация представлена в табл. 1.

табл.1
| |Объем фактических расходов |
|1 кв. 1999 |24518 |
|г. | |
|2 кв. 1999 |23778 |
|г. | |
|3 кв. 1999 |25143 |
|г. | |
|4 кв. 1999 |27622 |
|г. | |
|1 кв. 2000 |26149 |
|г. | |
|2 кв. 2000 |24123 |
|г. | |
|3 кв. 2000 |27580 |
|г. | |
|4 кв. 2000 |30854 |
|г. | |
|1 кв. 2001 |29147 |
|г. | |
|2 кв. 2001 |26478 |
|г. | |
|3 кв. 2001 |30159 |
|г. | |
|4 кв. 2001 |33149 |
|г. | |
|1 кв. 2002 |32451 |
|г. | |

Реализуем алгоритм построения прогнозной модели, описанный выше. Решение данной задачи рекомендуется осуществлять в среде MS Excel, что позволит существенно сократить количество расчётов и время построения модели.
1. Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные.
Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели)

Таблица 2.

Расчёт значений сезонной компоненты

| | |Значение |Сезонная компонента |
| | |тренда | |
|1 кв. |24518 |24518 |0 |
|1999 г. | | | |
|2 кв. |23778 |24962 |-1184 |
|1999 г. | | | |
|3 кв. |25143 |25012 |131 |
|1999 г. | | | |
|4 кв. |27622 |25217 |2405 |
|1999 г. | | | |
|1 кв. |26149 |26098 |51 |
|2000 г. | | | |
|2 кв. |24123 |26958 |-2835 |
|2000 г. | | | |
|3 кв. |27580 |27495 |85 |
|2000 г. | | | |
|4 кв. |30854 |28017 |2837 |
|2000 г. | | | |
|1 кв. |29147 |28964 |183 |
|2001 г. | | | |
|2 кв. |26478 |29617 |-3139 |
|2001 г. | | | |
|3 кв. |30159 |30498 |-339 |
|2001 г. | | | |
|4 кв. |33149 |31485 |1664 |
|2001 г. | | | |
|1 кв. |32451 |32451 |0 |
|2002 г. | | | |

Скорректируем значения сезонной компоненты таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.

|Таблица 3. |
|Расчет средних значений сезонной компоненты |
| | | | | | | |
| |1999 |2000 |2001 |Итого |Среднее |Сезонная компонента |
| |г. |г. |г. | | | |
|1 |0 |51 |183 |234 |78 |89,75 |
|кв. | | | | | | |
|2 |-1184 |-2835 |-3139 |-7158 |-2386 |-2374,25 |
|кв. | | | | | | |
|3 |131 |85 |-339 |-123 |-41 |-29,25 |
|кв. | | | | | | |
|4 |2405 |2837 |1664 |6906 |2302 |2313,75 |
|кв. | | | | | | |
| | | | |Сумма |-47 |0 |
| | | | | |-11,75 | |

3. Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.
Таблица 4.

Расчёт ошибок
| |расходы |Значение |Отклонение |
| | |модели | |
|1 кв. 1999|24518 |24607,75 |-89,75 |
|г. | | | |
|2 кв. 1999|23778 |22587,75 |1190,25 |
|г. | | | |
|3 кв. 1999|25143 |24982,75 |160,25 |
|г. | | | |
|4 кв. 1999|27622 |27530,75 |91,25 |
|г. | | | |
|1 кв. 2000|26149 |26187,75 |-38,75 |
|г. | | | |
|2 кв. 2000|24123 |24583,75 |-460,75 |
|г. | | | |
|3 кв. 2000|27580 |27465,75 |114,25 |
|г. | | | |
|4 кв. 2000|30854 |30330,75 |523,25 |
|г. | | | |
|1 кв. 2001|29147 |29053,75 |93,25 |
|г. | | | |
|2 кв. 2001|26478 |27242,75 |-764,75 |
|г. | | | |
|3 кв. 2001|30159 |30468,75 |-309,75 |
|г. | | | |
|4 кв. 2001|33149 |33798,75 |-649,75 |
|г. | | | |
|1 кв. 2002|32451 |32540,75 |-89,75 |
|г. | | | |

Находим среднеквадратическую ошибку модели (Е) по формуле:
Е= ? О2 : ? (T+S)2 где:

Т- трендовое значение объёма расходов;

S – сезонная компонента;

О- отклонения модели от фактических значений
Е=(3079106/(361151*361151))*100% = 0,002361%
Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает экономические тенденции, определяющие объём расходов, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

2. Модель с мультипликативной компонентой.

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю -фондового значения, т.e. значение сезонной компоненты увеличивается с возрастанием значений тренда. Например, рассмотрим график следующих данных об объемах расходов.
Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в разные кварталы разные. Однако размах вариации фактических значении относительно линии тренда постоянно возрастает. Такую ситуацию можно представить с помощью модели с мультипликативной компонентой

A=T*S*Е

1.3.1. Расчет сезонной компоненты
Отличие расчета сезонной компоненты для мультипликативной модели от аддитивной модели заключается лишь в том, что в колонку 6 вписываются коэффициенты сезонности (аналог оценок сезонной компоненты в аддитивной модели)
Сезонные коэффициенты представляют собой доли тренда, поэтому принимают, что их сумма должна равняться количеству сезонов в году, т.е. 4, а не нулю, как в аддитивной модели.

| | |Итого |Скользя|Центрирова|Оценка |
| | |за 4 |щая |нная |сезонной |
| | |кварта|средняя|скользящая|компоненты |
| | |ла |за 4 |средняя | |
| | | |квартал| | |
| | | |а | | |
| |Y | |S |T |Y/T=S*E |
|1 кв. |24518| | | | |
|1999 г. | | | | | |
|2 кв. |23778| | | | |
|1999 г. | | | | | |
|3 кв. |25143|101061|25265,2| | |
|1999 г. | | |5 | | |
|4 кв. |27622|102692|25673 |25469,125 |1,084528817 |
|1999 г. | | | | | |
|1 кв. |26149|103037|25759,2|25716,125 |1,016832824 |
|2000 г. | | |5 | | |
|2 кв. |24123|105474|26368,5|26063,875 |0,925533905 |
|2000 г. | | | | | |
|3 кв. |27580|108706|27176,5|26772,5 |1,030161546 |
|2000 г. | | | | | |
|4 кв. |30854|111704|27926 |27551,25 |1,119876594 |
|2000 г. | | | | | |
|1 кв. |29147|114059|28514,7|28220,375 |1,032835318 |
|2001 г. | | |5 | | |
|2 кв. |26478|116638|29159,5|28837,125 |0,918191394 |
|2001 г. | | | | | |
|3 кв. |30159|118933|29733,2|29446,375 |1,024200772 |
|2001 г. | | |5 | | |
|4 кв. |33149|122237|30559,2|30146,25 |1,099606087 |
|2001 г. | | |5 | | |
|1 кв. |32451| | | | |
|2002 г. | | | | | |

Десезонализация данных при расчете тренда

Десезонализация данных производится по формуле:

[pic] [pic]

[pic] Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны, что более близко к реальной действительности, чем в предыдущем примере.

| |1999 |2000 |2001 |Итого |Среднее|Сезонная |
| |г. |г. |г. | | |компонента |
|1 кв. | |1,0168|1,0328|2,0496|0,6832 |0,912225 |
|2 кв. | |0,9255|0,9182|1,8437|0,6146 |0,843592 |
|3 кв. | |1,0302|1,0242|2,0544|0,6848 |0,913825 |
|4 кв. |1,0845|1,1199|1,0996|3,304 |1,1013 |1,330358 |
| | | | |Сумма |3,0839 |4 |
| | | | |0,9161|0,229 | |

| |Фактическ|Сезонная |Десезонолизированн|
| |ий объем |компонент|ый объем продаж |
| |расходов |а | |
| |Y |S |Y/S |
|1 кв. |24518 |0,912225 |26877,14106 |
|1999 г. | | | |
|2 кв. |23778 |0,8435916|28186,62267 |
|1999 г. | |67 | |
|3 кв. |25143 |0,913825 |27514,02074 |
|1999 г. | | | |
|4 кв. |27622 |1,3303583|20762,82706 |
|1999 г. | |33 | |
|1 кв. |26149 |0,912225 |28665,07715 |
|2000 г. | | | |
|2 кв. |24123 |0,8435916|28595,58831 |
|2000 г. | |67 | |
|3 кв. |27580 |0,913825 |30180,83331 |
|2000 г. | | | |
|4 кв. |30854 |1,3303583|23192,2477 |
|2000 г. | |33 | |
|1 кв. |29147 |0,912225 |31951,54704 |
|2001 г. | | | |
|2 кв. |26478 |0,8435916|31387,22328 |
|2001 г. | |67 | |
|3 кв. |30159 |0,913825 |33003,03669 |
|2001 г. | | | |
|4 кв. |33149 |1,3303583|24917,34683 |
|2001 г. | |33 | |
|1 кв. |32451 |0,912225 |35573,46049 |
|2002 г. | | | |

Расчет ошибок

Ошибки прогнозируемых объемов расходов расчитывают по формуле:

E =A/(T*S)
| |Объем |Сезонная |Тренд |Ошибка |
| |расходо|компонент| | |
| |в |а | | |
|1 кв. 1999|24518 |0,912225 |26877,141|1 |
|г. | | |1 | |
|2 кв. 1999|23778 |0,8435916|28186,622|1 |
|г. | |7 |7 | |
|3 кв. 1999|25143 |0,913825 |27514,020|1 |
|г. | | |7 | |
|4 кв. 1999|27622 |1,3303583|20762,827|1 |
|г. | |3 |1 | |
|1 кв. 2000|26149 |0,912225 |28665,077|1 |
|г. | | |1 | |
|2 кв. 2000|24123 |0,8435916|28595,588|1 |
|г. | |7 |3 | |
|3 кв. 2000|27580 |0,913825 |30180,833|1 |
|г. | | |3 | |
|4 кв. 2000|30854 |1,3303583|23192,247|1 |
|г. | |3 |7 | |
|1 кв. 2001|29147 |0,912225 |31951,547|1 |
|г. | | | | |
|2 кв. 2001|26478 |0,8435916|31387,223|1 |
|г. | |7 |3 | |
|3 кв. 2001|30159 |0,913825 |33003,036|1 |
|г. | | |7 | |
|4 кв. 2001|33149 |1,3303583|24917,346|1 |
|г. | |3 |8 | |
|1 кв. 2002|32451 |0,912225 |35573,460|1 |
|г. | | |5 | |

Можно предположить, что величина ошибки второго прогноза будет несколько ниже чем первого.

3. Прогноз методом скользящей средней и экспоненциального сглаживания.

Для предсказаний значений временного ряда можно использовать более простую методику.

При расчете скользящей средней Ytnp c (m) все m значений параметра Y за m моментов времени учитываются с одинаковым весовым коэффициентом 1/m что не всегда обосновано. Для прогнозирования технико – экономических трендов момент времени, в котором наблюдалось значение параметра Y, играет решающее значение. Естественно предположить, что зависимость во временных рядах постепенно ослабевает с увеличением периода между двумя соседними точками. Так, если зависимость прогнозируемою параметра Yt представляется более сильной от значения Yt-1, чем от Yt-s то наблюдениям временного ряда следует придавать веса, которые должны уменьшаться но мере удаления oт фиксированного момента времени t. Это обстоятельство учитывается в методе экспоненциального сглаживания. Таким образом, при вычислении .ко экспоненциальной средней используются лишь предшествующая экспоненциальная средняя и последнее наблюдение, а все предыдущие наблюдения игнорируются.

Например, пусть необходимо дать прогноз для t-=8 но данным следующего временного ряда: 1) методом скользящей средней для m=3, m =4$ 2) методом экспоненциального о сглаживания для [pic]=0,2; 0,6.

|1 кв. 1999|24518 |
|г. | |
|2 кв. 1999|23778 |
|г. | |
|3 кв. 1999|25143 |
|г. | |
|4 кв. 1999|27622 |
|г. | |
|1 кв. 2000|26149 |
|г. | |
|2 кв. 2000|24123 |
|г. | |
|3 кв. 2000|27580 |
|г. | |
|4 кв. 2000|30854 |
|г. | |
|1 кв. 2001|29147 |
|г. | |
|2 кв. 2001|26478 |
|г. | |
|3 кв. 2001|30159 |
|г. | |
|4 кв. 2001|33149 |
|г. | |
|1 кв. 2002|32451 |
|г. | |

Метод скользящей средней

Y14пр с(3) = (30159+33149+32451)/3=31919,67

Y14пр с (13) = (24518+23778+25143+27622+26149+24123+27580+30854+29147+
26478+30159+33149+32451)/13 = 27780,846

Метод экспоненциального сглаживания
| | |0,2 |погрешность |
|1 кв. 1999|24518 |#Н/Д |#Н/Д |
|г. | | | |
|2 кв. 1999|23778 |23778 |#Н/Д |
|г. | | | |
|3 кв. 1999|25143 |24870 |#Н/Д |
|г. | | | |
|4 кв. 1999|27622 |27071,|#Н/Д |
|г. | |6 | |
|1 кв. 2000|26149 |26333,|1851,838704 |
|г. | |52 | |
|2 кв. 2000|24123 |24565,|2106,426154 |
|г. | |1 | |
|3 кв. 2000|27580 |26977,|2223,149967 |
|г. | |02 | |
|4 кв. 2000|30854 |30078,|3109,499653 |
|г. | |6 | |
|1 кв. 2001|29147 |29333,|2886,08454 |
|г. | |32 | |
|2 кв. 2001|26478 |27049,|2831,47259 |
|г. | |06 | |
|3 кв. 2001|30159 |29537,|2496,160001 |
|г. | |01 | |
|4 кв. 2001|33149 |32426,|3207,855423 |
|г. | |6 | |
|1 кв. 2002|32451 | | |
|г. | | | |

[pic]

| | |0,6 |погрешнос|
| | | |ть |
|1 кв. 1999|24518 |#Н/Д |#Н/Д |
|г. | | | |
|2 кв. 1999|23778 |23778 |#Н/Д |
|г. | | | |
|3 кв. 1999|25143 |24324 |#Н/Д |
|г. | | | |
|4 кв. 1999|27622 |25643,|#Н/Д |
|г. | |2 | |
|1 кв. 2000|26149 |25845,|2081,3347|
|г. | |52 |19 |
|2 кв. 2000|24123 |25156,|2167,9262|
|г. | |51 |59 |
|3 кв. 2000|27580 |26125,|1741,2833|
|г. | |91 |27 |
|4 кв. 2000|30854 |28017,|3224,6566|
|г. | |14 |1 |
|1 кв. 2001|29147 |28469,|3136,0659|
|г. | |09 |79 |
|2 кв. 2001|26478 |27672,|3032,9227|
|г. | |65 |49 |
|3 кв. 2001|30159 |28667,|1951,3180|
|г. | |19 |4 |
|4 кв. 2001|33149 |30459,|3174,5321|
|г. | |91 |32 |
|1 кв. 2002|32451 | | |
|г. | | | |

[pic]

рис. 8.

Число членов скользящей средней m и параметр -экспоненциального сглаживания ([pic] определяется статистикой исследуемою процесса. Чем мень- ше m и чем больше [pic], тем сильнее peaгирует пpoгноз на колебания временного ряда, и наоборот, чем больше m и чем меньше [pic], чем более инерционным является процесс прогнозирования. Для подбора оптимального параметра прогнозирования необходимо провести сглаживание временною ряда с помощью нескольких различных значений параметра m или [pic] затем определить среднюю ошибку прогнозов и выбрать параметр, соответствующий минимальной ошибке.

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]